2022-2023学年江苏省盐城实验高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城实验高级中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，其中若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若数据，，，的方差为，则数据，，，为实数的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  设随机变量等可能取值，，，，，如果，那么(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数的导函数为，且满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  名学生参加数学建模活动，目前有个不同的数学建模小组，每个小组至少分配名学生，至多分配名学生，则不同的分配方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若，则方程可以表示下列哪些曲线(    )

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆

10.  某篮球运动员罚球命中的概率为，若罚球次，各次之间相互独立，其中命中的次数为，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点异于左，右顶点，且的周长为，则下列结论正确的是(    )

A. 椭圆的焦距为
B. 椭圆的短轴长为
C. 面积的最大值为
D. 椭圆上存在点，使得

12.  在棱长为的正方体中，，为底面内两动点且满足，异面直线与所成角为，则(    )

A.
B. 直线与为异面直线
C. 线段长度最小值等于
D. 三棱锥的体积可能取值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  二项式的展开式中常数项为______ ．

14.  如果随机变量，且，，则等于______ ．

15.  已知，，，则点到直线的距离为______．

16.  在长方体中，，，点为长方体表面上的动点，且，当最小时，的面积为        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
从个男生，个女生中选出人参加植树节活动．
共有多少种不同的选取方法？
若至少要选出个男生，且男生甲和女生乙不能同去，则共有多少种不同的选取方法？
若恰选出名女生，且人需要排队前往，但女生必须相邻，则共有多少种不同的列？

18.  本小题分
袋子中有个大小、材质都相同的小球，其中个白球，个红球每次从袋子中随机摸出个球，摸出的球不再放回，求：
在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
第二次摸到白球的概率．

19.  本小题分
求值：．
若，且求的值．

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，点是线段中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．

21.  本小题分
已知点在抛物线：上．
求抛物线的准线方程；
设直线与交于，两点，为坐标原点，且，求面积的最小值．

22.  本小题分
已知函数．
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
讨论函数的单调性．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点，，
．
故选：．
根据空间向量的坐标运算化简即可．
本题考查空间向量的坐标运算，考查学生计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查共线向量的充要条件的应用，属于基础题，这种题目可以作为选择和填空出现在高考题目中，是一个送分题目．
根据两个向量平行，写出两个向量平行的充要条件，得到两个向量的坐标之间的关系，根据横坐标、纵坐标和竖坐标分别相等，得到和的值．
【解答】解：且，
存在，使，
，
，
．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：由题设，则，
故选：．
根据方差的性质求新数据集的方差．
本题考查了方差的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，分别是，的中点，
，
是异面直线与所成的角，且是等边三角形，
．
故选：．
可连接，，从而得出是异面直线与所成的角，并且看出是等边三角形，从而可求出的值．
本题考查了三角形中位线的性质，异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解析：因为随机变量等可能取值，，，，，所以：，
因为：．
解得：．
故选C．
首先分析题目已知随机变量等可能取值，，，，，故可以得到取任意一个值的概率都是，又，代入解得即可．
此题主要考查等可能时间的概率问题，对于式子是解题的关键，题目知识点少，计算量小属于基础题目．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，代入求解即可．
此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对进行正确求导，把看成一个常数，就比较简单了．

【解答】

解：函数的导函数为，且满足，
，把代入可得，
解得，
．
故选：．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
，将名同学分成组，
若按、、分组，有种分组方法，
若按、、分组，有种分组方法，
则一共有种分组方法，
，将分好的组全排列，对应个不同的数学建模小组，有种情况，
则不同的分配方案有种．
故选：．
根据题意，分步进行分析：，将名同学分成组，按种分组方法讨论，相加可得方法数目，，将分好的组全排列，对应个不同的数学建模小组，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的实际应用，注意要先分组，再进行排列．
 

8.【答案】 

【解析】解：由直线方程可得，，则，
又，即，根据相似三角形可得，
则，
，
故选：．
根据直线方程可求得，根据相似三角形可得的坐标，再由椭圆定义求得，则可求出离心率．
本题考查椭圆离心率的求法，考查数形结合思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，，方程表示双曲线，
当时，方程为，即，表示两条直线，
当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，
当时，，方程表示焦点在轴的椭圆，
当时，，方程表示圆．
故选：．
分别讨论的取值，结合方程的形式，得到可能表示的曲线．
本题主要考查曲线方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
，，．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及期望与方差的公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，以及期望与方差的公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，
解得，
对选项，椭圆的焦距为，选项错误；
对选项，椭圆的短轴长为，选项正确；
对选项，面积的最大值为，选项正确；
对选项，设，，
，，
椭圆上不存在点，使得，选项错误．
故选：．
先根据题意建立方程求出，，，再利用椭圆的几何性质，可分别求解．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，可知，
即点在上，连接，则，

由于平面，平面，故AA，
又，且，，平面，
故BD平面，平面，所以，
则，，A正确；
因为异面直线与所成角为，且，
故B与所成角为，即，则，
故点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当为该圆弧与的交点，且为，的交点时，直线与为相交直线，B错误：
由于点在上，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
故线段长度最小值为点到直线的距离减去圆弧的半径，即最小值为，C正确；
三棱锥的高为，假设其体积可取到，则其底面积，
又因为当点位于处，位于其所在圆弧与或的交点处时，
的面积取到最大值，最大值为，
因为，故假设成立，即三棱锥的体积可能取值为，D正确．
故选：．
证明平面，根据线面垂直的性质判断；确定点的轨迹，找到特殊位置说明直线与可以为相交直线，判断；根据圆的几何性质求出线段长度最小值判断；根据三棱锥的体积可能取值为，计算其底面积的取值，求出的面积的最大值，比较即可判断．
本题考查正方体中点的轨迹问题，以及距离最小值问题，体积问题等，属难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：二项式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中常数项为，
故答案为：．
根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于，即可得出，再代入得出答案．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得．
根据二项分布期望与方差的公式列方程求解即可．
本题考查二项分布的期望与方差的公式的应用，是中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，，，，，
点到直线的距离为：，
故答案为：
根据空间向量点到线的距离公式求解即可．
本题考查空间点、线、面距离的计算，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设的中点为，则，
由题意得：，且点是长方体表面上的动点，
所以点在以为直径的球的表面与长方体表面重合的部分上，
则，当且仅当点、、三点共线时取等号，
点、在平面上，所以点在平面上，
所以当最小时，以为直径的半圆与的交点即为点，如下图，

过点作于点，
因为，所以，
所以的面积．
故答案为：．
根据条件得到点在以为直径的球的表面与长方体表面重合的部分上，得出点、、三点共线时最小，即可求解．
本题主要考查棱柱的结构特征，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为一共有人，所以选出人参加植树节活动有种不同选法；
男生甲去乙不去不同的选法为：，
男生甲不去乙去不同的选法为：，
男生甲不去且乙不去不同的选法为：，
所以不同的选取方法数为：；
选出名女生，且人需要排队前往，但女生必须相邻，则共有种不同选法． 

【解析】运用组合的定义进行求解即可；
运用分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可；
运用组合和排列的定义进行求解即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

18.【答案】解：设第一次摸到红球的事件为，第二次摸到红球的事件为，
则，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
第二次摸到白球的情况分为两种：
第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率，
第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率，
所以第二次摸到白球的概率． 

【解析】利用条件概率的计算公式求解即可；
第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：由组合数的性质，可得，解得，
又因为，
所以或，
当时，原式，
当时，原式；
由，得，
即，解得或舍去，所以，
当时，由已知，得，
令，得，令，得，
所以． 

【解析】根据组合数的性质推出的取值范围，再分类求解；
先求出的值，再运用赋值法求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

20.【答案】解：证明：取的中点，连接，，如图所示：

因为，分别为，的中点，所以，，
又因为，，所以，，
即四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，，
所以平面．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
平面的法向量为，
平面的法向量为．
所以，，
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 

【解析】取的中点，连接，，四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定证明即可；
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的求法，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：将点代入抛物线方程，可得，解得，
所以，抛物线的方程为，
则抛物线准线方程为：，
设，，
易知直线的斜率存在，直线的方程为．
联立，得，
则，且．
又，所以，
即，即，
代入可得，解得或不符合题意，舍去，
此时恒成立．
所以，
所以，当时，面积有最小值． 

【解析】将点代入抛物线方程，得出抛物线的准线方程；
联立直线与抛物线的方程，由结合韦达定理得出面积的最小值．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

22.【答案】解：在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
，即，
即实数的取值范围为；
由题意得，
则，
令，
当时，，即在上单调递增；
当时，，
若，即时，恒成立，
恒成立，在上单调递增；
若，即且时，由得，，
若，则，则在上恒成立，
恒成立，
在上单调递增；
若，则，
当时，，当时，；
当时，，当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减． 

【解析】题意转化为在上恒成立，利用分离变量法，通过求解在的最大值，即可得出答案；
求导后，分别在、、和的情况下，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．