2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）间隔发车问题（知识精讲+拓展培优）

这是一份2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）间隔发车问题（知识精讲+拓展培优），共12页。
（一）解决相遇问题的主要核心公式：
速度和×相遇时间=相遇距离
相遇距离÷相遇时间=速度和
相遇距离÷速度和=相遇时间
（二）解决追及问题的核心公式：
速度差×追及时间=追及距离
追及距离÷追及时间=速度差
追及距离÷速度差=追及时间.
（三）解决流水行船问题的核心公式：
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
（四）解决过桥问题的核心公式：
过桥问题：路程=桥长+车长
路程÷速度=时间
1．甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行。每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了多少分钟。
2．某人沿公路匀速行走，他发现公路上的汽车每隔20分就有一辆超过他，每隔12分就有一辆和他相遇．已知公共汽车发车时间间隔相同．运行的速度也相同，问公共汽车每隔多少分发一辆？
3．某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人．如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？
4．甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位骑车的学生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？
5．电车发车站每隔固定的时间发出一辆电车。小王骑自行车每隔14分钟就被一辆后面开来的电车追上；如果小王车速提高20%，则每隔15分钟就被一辆后面开来的电车追上，那么相邻两辆电车的发车时间相差多少分钟？
6．小乐步行去学校的路上注意到每隔4分钟就遇到一辆迎面开来的公交车，到了学校小乐发现自己忘记把一件重要的东西带来了，只好借了同学的自行车以原来步行三倍的速度回家，这时小乐发现每隔12分钟有一辆公交车从后面超过他，如果小乐步行、骑车以及公交车的速度都是匀速的话，那么公交车站发车的时间间隔到底为多少？
7．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上反方向步行。甲沿电车发车方向每分钟步行米，每隔分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行米，每隔分遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？
8．甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？
9．小峰骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，于是只好坐出租车去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果这三种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公交车站每隔多少分钟发一辆车？
10．A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单程需80分。问：
（1）8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？
（2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？
11．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？
参考答案：
1．60分钟
【分析】由题意可知，两辆电车之间的距离
＝电车行8分钟的路程（每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车）
＝电车行5分钟的路程＋小张行5分钟的路程
＝电车行6分钟的路程＋小王行6分钟的路程
据此分析他们之间的速度关系，再求解即可。
【详解】由分析可得：小张速度是电车速度的
小王速度是电车速度的
小张与小王的速度和是电车速度的
所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的，即分钟
答：小张与小王在途中相遇时他们已行走了60分钟。
【点睛】认真读题，理清数量间的关系，是解答本题的关键。
2．每隔15分发一辆车
【分析】发车间隔问题，主要的数量关系等同于相遇关系或者追及关系，关键在于把前后两车间隔的距离在车和人相遇的过程中看作“路程和”，在车超过人的过程中看作“路程差”.所以，可把前后两车间隔的距离看作“1”.另外，本题应用了和差关系，请注意．
【详解】解：设车的速度和人的速度分别为V车， V人
1=（V车-V人）×20 即V车-V人=
1=（V车+V人）×12 即V车+V人=
V车=（+）÷2=
1÷=15（分）
答：公共汽车每隔15分发一辆车．
3．4分
【分析】此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了．
【详解】解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得

由①②，得
4(=6(-)
=……③
将③代入①，得
4（+）=
解得x=4.
答：汽车站每隔4分发一班车．
【点睛】此题引入v1，v2两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关．
4．16分钟、分钟、分钟
【分析】首先根据题意，可得在平路上，汽车每分钟行驶平路上汽车间隔的，因为该学生平路上的速度是汽车在平路上速度的四分之一，所以自行车每分钟行驶汽车平路上间隔的，再根据路程÷速度＝时间，用1除以汽车和自行车在平路上的速度之和，求出在平路时每隔多少分钟遇到一辆汽车；同理：上坡路上（或下坡路上），汽车每分钟行驶上坡路上（或下坡路上）汽车间隔的，因为该学生上坡路上（或下坡路上）的速度是汽车在上坡路上（或下坡路上）速度的四分之一，所以自行车每分钟行驶汽车上坡路上（或下坡路上）间隔的÷120%×80%（或÷80%×120%），再根据路程÷速度＝时间，用1除以汽车和自行车在上坡路上（或下坡路上）的速度之和，求出在上坡路（或下坡路）时每隔多少分钟遇到一辆汽车；据此可知，这位学生骑车在平路、上坡、下坡时分别每隔[1÷（＋×）]、[1÷（＋×÷120%×80%）]、[1÷（＋×÷80%×120%）]分钟遇到一辆汽车。
【详解】平路阶段：
1÷（＋×）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝16（分钟）
上坡阶段：
1÷（＋×÷120%×80%）
＝1÷（＋×××）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（分钟）
下坡阶段：
1÷（＋×÷80%×120%）
＝1÷（＋××）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（分钟）
答：这位骑车的学生在平路、上坡、下坡时分别每隔16分钟、分钟、分钟遇到一辆汽车。
【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出汽车和自行车在平路、上坡、下坡时的速度之和是多少。
5．10.5分钟
【分析】同一方向发出的相邻两车之间的距离总是固定的，由这一条件，我们可以得到：（电车速度－小王速度）×14＝[电车速度－（1＋20%）×小王速度]×15，据此可求出电车速度与小王速度的比；即可算出相邻两辆电车之间的距离与他们速度的关系，进而求得发车时间间隔。
【详解】由题意可知：（电车速度－小王速度）×14＝[电车速度－（1＋20%）×小王速度]×15
化简可得，电车速度＝4×小王速度
即电车速度∶小王速度＝4∶1；
设小王每分钟骑1份路程，那么电车每分钟走4份路程；相邻两电车之间的距离是（4－1）×14＝3×14＝42（份）路程；
发车时间相差：42÷4＝10.5（分钟）
答：相邻两辆电车的发车时间相差10.5分钟。
【点睛】根据题干中所给数量关系，算出小王的速度和电车速度的关系是解答本题的关键。
6．4.8分钟
【详解】设公交车的间距为S，根据公式可得关系式：
，
类似的关系：；
由两个关系式得到：
等式化简为：
根据公交车发车过程中的数量关系有，（其中t为发车的时间间隔）
因此有等式：，
将代入得到：
（分钟）
7．14分钟
【分析】由于电车间隔时间相等，且发车时间也一样，可以假设电车速度是x米/分列出方程求解即可。
【详解】解：设电车速度是x米/分，根据题意列方程：
20（x－60）＝10（x＋80）
20x－1200＝10x＋800
10x＝2000
x＝200
（200－60）×20÷200＝14（分钟）
答：电车总站每隔14分钟开出一辆电车。
【点睛】求出电车速度是解题关键。列方程解决实际问题时，要根据题目，找到最合适的未知量设为x，并不一定求什么设什么。
8．8辆
【分析】乘客从甲站到乙站所用的时间为45分钟，7点01分到达乙站，那么从上午6时到7点01分，乙站发出的车辆在途中都会与乘客相遇，据此解答即可。
【详解】从6点到7点01分，共61分钟；
61÷8＝7（辆）……5（分）
7＋1＝8（辆）
答：途中他能遇到8辆从乙站开往甲站的公共汽车。
【点睛】别忘了6点和6点08分从乙站开出的汽车，途中也会与这名乘客相遇。
9．6分钟
【详解】列出问题所涉及的所有数量关系，求出各种交通工具的速度比．
解： 题目条件涉及到的数量涉及到的数量关系有：
汽车间距=（公交速度-骑车速度）×9分钟；
汽车间距=（出租车速度-公交速度）×9分钟；
所以，公交速度-骑车速度=出租车速度-公交速度；
将上面这条等式变形得到：
公交速度=（骑车速度+出租车速度）÷2=3×骑车速度．
那么：
所以公交车站每隔6分钟发一辆公交车．
10．（1）5辆；6辆 （2）3辆
【分析】分析各辆车的出发和到达时间，判断两辆车是否相遇，找出各辆车遇到的车辆的出发时间。
运用“折线示意图”能更好地说明整个行程过程。从“8：30”引出的线段与其他线段一共有5个端点，所以8：30从A站发出的车一共遇到5辆从B站发出的车，同样的9：00从A站发出的车一共遇到6辆从B站发出的车，11：00从A站发出的车一共遇到3辆从B站发出的车。
【详解】（1）从A站发车的司机看到的车辆包括两类：
一类是他自己发车以前，已经从B站出发但还没到达A站的所有车辆，也就是发车前80分钟内B站所发的所有车辆。
另一类是他发车以后到他抵达B站这段时间内从B站发出的所有车辆，即发车后105分钟内从B站开出的所有车辆。
这就是说在A站车辆出发前80分钟到出发后105分钟之间这185分钟时间区间内，B站发出的所有车辆，该司机都能看到。实际上这185分钟中，只有发车前60分、发车前30分、发车当时、发车后30分、发车后60分、发车后90分，有车辆从B站开出，所以8：30从A站发车的司机能看到8：00到10：00从B站发出的5辆车，而9：00从A站发车的司机能看到8：00到10：30从B站发出的6辆车。
（2）11点以后不再有车辆从B站发出，11点发车的司机不可能看到他发车后105分钟内从B站开出的车，所以他只能看到3辆车。
【点睛】考查了间隔发车问题。对于一般间隔发车问题，可以直接利用公式或者方程解答。比较复杂的可以用柳卡图。
11．11分钟
【分析】10分15秒＝10.25分，同一方向发出的相邻两车之间的距离总是固定的，由此可得，解出电车速度，进而得出相邻两电车之间的距离，最后除以电车速度即可解答。
【详解】10分15秒＝10.25分
解：设电车的速度为x米/分。
（60＋x）×10.25＝（82＋x）×10
615＋10.25x＝820＋10x
0.25x＝205
x＝820
相邻两电车之间的距离：（82＋820）×10
＝902×10
＝9020（米）
9020÷820＝11（分钟）
答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车。
【点睛】此题主要考查学生对复杂行程问题的理解与应用。