2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）周期问题（知识精讲+拓展培优）

这是一份2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）周期问题（知识精讲+拓展培优），共33页。试卷主要包含了关于周期问题等内容，欢迎下载使用。

定义：重复不断、周而复始的循环的现象，叫做周期现象，我们把这种规律性的问题叫做周期问题。
1、解决周期规律问题主要确定循环周期。仔细观察出现的现象，认真分析循环规律，总结出经过几次又开始重新开始，得出一个周期是几。（一个循环中经过的次数就是一个周期数）。
2、先找到数列的规律，再找数列中的数除以某个周期数所得余数的规律，然后确定循环周期是解决此类问题的关键。
3、关于周期问题：
总数÷周期数＝组数，即整除时，结果为周期的最后一个；
总数÷周期数＝组数……余数，即有余数时，余几就在下个周期中数几。
1．如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？
2．小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？
3．8 个格子排成一个正方形，依次编号（如图所示），小玲将棋子放在 3 号格子上，顺时针方向前进 245个格子后又倒退一个格子， 这时棋子应在几号格子上？
4．在学而思学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？
5．如图，七个小矮人住在A、B、C、D、E、F、G这7座房子中，白雪公主第一天在A房子中做客，从第二天开始按照BCDEFGFEDCBABC……的顺序每天在一个小矮人的房子中做客。请问，第150天白雪公主在哪个房子中做客？
6．有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
7．1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和．现在让第一个同学报l，那么最后一个同学报的数是多少?
8．有、、三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停秒钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，分钟后第二次同时开始鸣叫，此时蜂鸣器已是第次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒与第一次同时结束鸣叫？
9．小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？
10．有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？
11．一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月?
12．求的个位数字.
13．今天是星期三，那么从明天起第365天是星期几？
14．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米．甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如下图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）．操场四周栽了多少棵树？
15．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？
16．1111…1÷6，一共有1111个1，当商是整数时，余数是几？
17．小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：
●●○●●○●●○…
你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？
18．有一副扑克牌，一开始抓若干张（小于13张），然后进行下列操作：抓和手里现有的扑克牌数目相等的扑克牌，然后若扑克牌总数超过13张，则放回其中的13张，称为一次操作。进行了777次操作后，手里有7张牌，则一开始手里有多少张？
19．已知2002年元旦是星期二，问：
（1）再经过天是星期几？
（2）2002年10月1日是星期几？
（3）2002年元旦后的第200120022003天是星期几？
20．根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……
21．实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？
22．在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？
23．已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的5号是星期几？
24．流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
25．在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第50组是什么？
26．某商场楼前安装了一串彩灯，按照2黄、3红、1绿的顺序排列。第100盏彩灯是什么颜色的？这100盏彩灯里共有多少盏红灯？
27．试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和。
28．桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？
29．8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？
30．甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？
31．节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问：
⑴第150盏灯是什么颜色？
⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？
32．如下图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼．一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去．由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？
33．小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．
⑴最后1枚是几分硬币？
⑵这200枚硬币一共价值多少钱？
34．如下图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？
35．1999年1月1日是星期五，试问2002年6月1日是星期几？
36．同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？
37．数列9，8，6，2……从第2个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数字，请问，第99个数是多少？
38．下面是一个 12 位数，每三个相邻的数字之和都是 13，你知道问号表示的数字是几吗？
39．1994 位数，各位上的数字都是 3，它除以13，商的第 200 位（从左往右）数字是几？商的个位是几？
40．小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．
⑴第73颗是什么颜色的？
⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？
41．奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？
42．如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，”，第二组是“们，”……
⑴写出第62组是什么？
⑵如果“爱，”代表1991年，那么“科，”代表1992年……问2008年对应怎样的组？
43．下表中每列上一个汉字和下一个字母组成一组，例如，第一组是（我 A），第二组是（们 B）……问：第 82 组是什么？
44．一些数字按一定规律排列如下：3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，…，那么其中第1至300个数加起来是多少？
45．1998年元旦是星期五，l999年元旦是星期几？2000年元旦是星期几？2001年元旦是星期几？
46．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，……，即第一、 第二个数都是 1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第 2003个数除以 3 的余数．
47．有 A、B、C、D 四条直线（如图），从直线 A 开始，按直线方向从1开始依次在A、B、C、D上写自然数 1，2，3，…
（1）106 在哪条直线上？
（2）直线 B 上第 56 个数是多少？
48．某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡？
49．“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次．今年(1988年)是第二届．问2000年是第几届？
50．★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中一共有多少个五角星？
51．1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？
52．按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
53．在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的5日是星期几？
54．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？
55．长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？
56．图13中第一格内放着一个立方体木块，木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对，且A面向上．如果木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚到第21格进，木块向上的面是哪个字母？
57．有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
58．有一列数：
2，3，6，8，8，…．
从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数中的第80个数是多少?
59．三种颜色的珠子依次排列如下图，第83个珠子是什么颜色的？
60．有一串数：1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个数是5的倍数？
61．有同样大小的白、黑、红三种珠子共84粒，按8粒白珠、5粒红珠、7粒黑珠的规律排列。请问最后一粒珠子是什么颜色？为什么？
62．小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…
你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？
63．国庆节，路旁挂起一排彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏，那么，第 80 盏灯应是什么颜色的？
64．30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色……的次序串成一圈。一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上。
65．下图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？
66．5×5×……×5÷3，共100个5相乘，当商是整数时，余数是几？
67．甲乙丙丁四个小朋友玩报数游戏，规定，甲报1乙报2丙报3丁报4甲报5乙报6丙报7……，问报2012的那个人是谁？
68．甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？
69．双桥小学为庆祝建校30周年，在校园内挂起了一盏盏小灯，小明发现，第1盏灯是白色的，从第1盏白色的灯起，每盏白色的灯后都紧接着有3盏彩色的灯，这3盏彩色的灯按紫色、蓝色、黄色的顺序排列，那么第73盏灯是什么颜色的？
70．节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共2013盏．从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯不断地排下去．问：
(1)第1982盏灯的颜色是什么？
(2)蓝灯共有多少盏？
71．课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？
72．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这 12 种动物按顺序轮流代表各年的年号，已知2004年是猴年，2104年是什么年？
73．43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种，3分一张和5分一张，每个人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张？
74．数列3、5、8、3、5、8、3、5、8……，请问：前152个数字中，有多少个奇数，有多少个偶数？
75．在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？
76．如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？
77．美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：
○●○○○●○○○●○○○……
那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？
美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？
78．图中是2002年5月份日历表．
（1）该月8号是星期几？
（2）该年6月1日是星期几？该年10月1日是星期几？
（3）2004年5月1日是星期几?
79．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？
80．在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图．小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每 隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
81．设N=2×2×……×2，共1991个2相乘，那么N的末位数字是几？
82．有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
83．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格，格线上依次标着0﹣11，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）；第二只钟一圈有7个格，格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格．开始时两个指针都指向0，如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？
84．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
85．有同样大小的红、白黑珠共180个，按5个红的、4个白的、3个黑的排列着，问：第158个珠是什么颜色的？黑珠共有多少个？
新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……
奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……
4
？
7
我
们
爱
科
学
我
们
爱
科
学
我
……
……
我
们
爱
数
学
我
们
爱
数
学
……
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
……
参考答案：
1．77
【分析】解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键．本题中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如此循环，周期为12．
【详解】因为，所以，红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈．
因为，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈．
所求的乘积是11×7=77.
2．星期四
【详解】21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期．…2，所以方方第100次取奶是星期四．
3．7号
【详解】245÷8=30（圈）……5（格）
从3起顺时针前进5格到8号格，又倒退1格，就是7号格．
4．100米 6棵
【详解】在小路的一侧种树,每隔5米种一棵,共种了21棵,可知在这21棵树中有20个间隔,每个间隔长是5米,所以小路原来的长度：5×（21－1）＝100（米）， 加长后一侧应种的树的棵数：
（100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：27－21＝6（棵）．
5．F
【分析】通过题目可以看出一个周期有多少个数组成，然后150天，判断里面有多少个周期，再看余几，就能知道第150天住在哪个房间。
【详解】从A到G再到B是一个周期，周期为12，
150÷12＝12（组）……6（个）。
答：第150天白雪公主在F房做客。
【点睛】本题主要考查隐藏的周期问题，先找周期。
6．余数是3，商的末位数字是8
【分析】我们可以用列表的方法寻求周期．
【详解】通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）
因为，所以这个数除以6后余数是3；
因为…2，所以这个数除以6后商的末位数字是8．
7．17
【详解】我们先写出几项，有1，10，6，17，13，9，18，14，10，6，17，…
不难看出从第2个数开始，每7个数存在10，6，17，13，9，18，14这样的循环．
而(1999－1)÷7＝285……3，所以最后一个同学报的是第285组数的第3个数，即17．
8．383秒
【详解】14分钟即秒，根据题意可知在840秒内蜂鸣器已经鸣叫了42次，也停了42次，那么蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为秒，所以蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：秒，那么蜂鸣器每次鸣叫持续秒，蜂鸣器每次鸣叫持续秒，
则、两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为秒和秒，
由于17,23=391，所以经过391秒之后与要第二次同时开始鸣叫，由于在此时与都停止鸣叫了8秒，所以与第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第秒．
9．星期四
【详解】从日历上可以看到，每个星期有7天，就是以7天为一个周期不断地重复．6月1日是星期六，那么再过7天，即6月8日，还是星期六；如果再过14天，即6月15日，还是星期六，所以要知道6月27日是星期几，首先要求出6月27日是6月1日后的第几天，（天）；因为每个星期都是7天，也就是周期为7，所以（星期）…5（天）．这样，从6月1日开始经过3个星期，最后一天是星期六，从这最后一天再过5天就是星期四．
10．黄色 绿花最多 红花最少 67朵
【分析】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有（朵）花．因为……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．
【详解】解法一：……6
红花有：5×9+5=50（朵）
绿花有：（朵）
红花比绿花少：（朵）
解法二：……6
一个周期少的：（朵）
（朵）
余下的6朵中还有5朵红花，所以（朵）.
11．5个月
【详解】1月1日是星期日，全年就有53个星期日．每月至少有4个星期日，53-4×12=5，多出5个星期日，在5个月中．即最多有5个月有5个星期日．
12．7
【详解】由128÷4＝32知，28128的个位数与的个位数相同，等于6．由29÷2＝14……1知，的个位数与的个位数相同，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7.
13．星期三
【详解】题中所说的第365天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第365天”．
（星期）…1（天），所以，从明天起，到第365天是星期三．
14．24棵
【分析】封闭型植树问题,时间一定，路程比等于速度比
【详解】甲走了两个边长加上4个间距，乙走了两个边长减去4个间距，所以甲比乙多走了8个间距，而甲的速度是乙的2倍，所以走的路程也是乙的两倍，所以乙走了8个间距，所以一圈一共有8+8×2=24个间距，所以操场一圈一共有24个间距．操场四周一共栽了24棵树．
15．白灯
【详解】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．
16．1
【详解】1÷6 余1
11÷6 余5
111÷6 余3
1111÷6 余1
11111÷6 余5
111111÷6 余3
可以得出一些规律，,增加一个1，每3次，余数出现重复。
1111÷3=370……1
答：当商是整数时，余数是1。
17．白球 黑球
【分析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．
【详解】因为，正好有30个周期，第90个是白球．
…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．
18．张
【分析】根据第777次操作后得到的的结果，从后往前进行倒推，可以依次求出前面的每一层操作得到的数量，找出隐藏的周期，转化为周期问题求解。
【详解】根据倒推法知道第次操作后是；
那么第776次操作就是：；
第775次操作就是；
找到规律是遇见奇数就是加后除以2，遇见偶数就是直接除以，所以操作后得到这样一串数为：、、、、、、、、、、、、、，观察发现是个一周期，所以，所以第一次手里的数是，一开始手里的数是张扑克。
答：一开始手里有4张。
【点睛】本题将周期问题与还原问题相结合，在倒推的时候注意区分奇数和偶数。
19．（1）星期二 （2）星期二 （3）星期一
【分析】星期是每七天一循环的，因此我们只要求出上面几个数除以7得的余数，再加上元旦的星期二即可．
【详解】（1）由于
因为
因此再过天仍然是星期二．
（2）从元旦到国庆共计天数
31+28+31+30+31+30+31+31+30=31×5+30×3+28≡（3×5+2×3）md(7) ≡0 md(7)
因此2002年国庆仍然是星期二．
（3）200120022003=2001×100000000+2002×10000+2003≡（6×2+1）md(7) ≡6 md(7)
因此，2002年元旦后的第200120022003天是星期一．
20．第41个
【详解】观察题目可知数列个位数字每8个数一组，十位数字依次增加，则可列式为：5×8＋1=41，即51为第41个数．
21．2
【详解】昨晚8点至今早8点，共经历(分钟)，，说明从今早8点整起，7分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳到“0”位，指针共跳了102次．
由于每次跳9格，所以共跳了(格)．每20格一圈，，因此从“0”位开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：，因此昨晚8点整时指针正指着2．
22．12个
【详解】…5．
（个）．
23．星期五
【分析】这道题表面看无从下手．实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天数只能是4或5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是4天．
【详解】用列表法可以得到答案．
所以这个月的5号是星期五．
24．黄色
【详解】小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是，因此只要用2003除以15，
2003÷15=133…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄色．
25．北奥
【详解】要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期，…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”．
26．红色；50盏
【分析】观察题干，这组彩灯按照的排列特点是6个气球一个循环周期，分别按照颜色2黄、3红、1绿的顺序排列，计算出第几个周期的第几个即可。再计算出100盏彩灯共有几个这样的周期，余下几盏红灯，每个周期有3盏红灯，相加即可。
【详解】因为100÷（2＋3＋1）
＝100÷6
＝16（组）⋯4（盏）
3×16＋2
＝48＋2
＝50（盏）
答：第100盏彩灯是红颜色的，这100盏彩灯里共有50盏红灯。
【点睛】根据题意得出这组彩灯的排列周期特点是解决本题的关键。
27．1480
【分析】计算出和被11除的余数并找出余数的变化规律，再求出被11除时余数的周期，找出符合条件的的值是哪些，计算可知，满足条件的的值3个为1组，可以构成一个等差数列，最后利用等差数列的求和公式计算出结果即可。
【详解】被11除的余数依次为：为3，为9，为5，为4，为1，为3，为9，为5，为4，为1…
通过逐次计算，可以求出被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1…
同理可以求出被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1…
所以，被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6…
余数为0时表示可以能被11整除，则每一个周期中，只有第3、4、6这三个数满足条件
即＝3，4，6，13，14，16…93，94，96时能被11整除
所有满足条件的自然数n的和表示为：
答：不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和是1480。
【点睛】灵活运用同余定理找出满足条件的的值是解答题目的关键。
28．一角 五角
【详解】…1
14÷6=2…2
所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．
29．8号
【详解】将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．
30．75厘米
【详解】在前30厘米内未被涂黑的是：1，3，5，在31-60厘米内的是：4，2，因此60厘米一个周期：（1+3+5+4+2）×300/60=75厘米 .
31．（1）黄色 （2）80盏
【分析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是（盏）灯．，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．
⑵如果是200盏灯，就是200÷(5+4+1)=20的周期．每个周期都有4盏蓝灯，（盏） 前200盏彩灯中有80盏蓝灯．
【详解】⑴（盏）
150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．
⑵200÷(5+4+1)=20
（盏）
前200盏彩灯中有80盏蓝灯．
32．0米
【详解】根据题上给出的条件动手画图．四次再次回到0号位置．2004是4的倍数，所以第2004号位和0号位之间的距离是0米．
33．（1）1分 （2）398分
【分析】⑴每个周期有枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断．
⑵每个周期中6枚硬币共价值1×3+2×2+1×5=12（分），用这个数乘周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了．
【详解】⑴……2，所以最后一枚是1分硬币．
⑵每个周期中6枚硬币共价值1×3+2×2+1×5=12（分），用这个数乘周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了（分）．
所以，这200枚硬币一共价值398分．
34．4天
【详解】根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进485-329=156（个）位置．156÷8=19……4，就是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置. 要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置. 8÷4=2（个）周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号位置.
35．星期六
【详解】略
36．第8个
【详解】第一次1～2报数，报2的是第2，4，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2的是第4，8，12这三名同学，最后这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的这个同学是这列中的第8个．
37．6
【分析】根据题目的含义依次写出后面的数，写几个数的时候，属于有头周期问题，后面的数按照周期排列的。把第一个数拿走变成98个数，然后根据周期问题判断这些数里有多少个周期，还余几。
【详解】9，8，6，2，4，8，6，2，4……周期为4，有头周期，头是9，
99－1＝98（个），98÷4＝24（组）……2（个）。
答：第99个数是6。
【点睛】本题主要考查隐藏的周期问题，先找周期。
38．2
【详解】因为每3个相邻的数字之和都是13,所以三个数字必循环出现，第一个数字4与第二个数字？再与最后一个数字7之和等于13，即4+?+7=13，故？=2. 这个12位数是427427427427。
39．5 2
【详解】用竖式试算，可以得出商是按照的顺序不断重复出现，所以商的第200位是200÷6=33……2,所以这个数字是5；
被除数从左边起第二个3开始，每6个3组成的数除以13商256410,1994位数中有（1994-1）÷6==332……1，余数是1，商的个位是2.
40．（1）蓝色 （2）第47颗 （3）14颗
【分析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．
⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．
【详解】⑴(组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．
⑵ (颗)
⑶ (颗)
41．欢
【详解】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为…3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字．
42．（1）“们，” （2）“学，”
【分析】（1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“”七个字母为一个周期．
⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“” 七个字母为一个周期．
【详解】（1）62÷5=12……2
……6
所以第62组是“们，”
⑵（组）
17÷5=3……2
……3
所以2008年对应的组为“学，”．
43．（们、B）
【详解】解法一：第一行是按照“我、们、爱、数、学”五个字为一周期，第二行按照A、B、C、D四个字母为一周期。
82÷5=16……2，所以第一行是“们”；
82÷4=20……2，所以第二行是“B”；
综上，第82组是（们、B）。
解法二：因为82÷20=4……2，
循环中的第二个字母是B，对应的汉字是们，所以第82组是表中的（们、B），
答：第82组是（们、B）。
44．1500
【分析】这一列数是按照3，5，1，9，7这样重复循环排列的，周期是5，按照周期问题求解，先确定周期数，再用每个周期的数之和乘周期数，加上多出来的数即可。
【详解】
答：第1至300个数加起来是1500。
【点睛】本题考查的是周期问题，求解周期问题，最关键的是确定周期是多少。
45．星期六 星期日 星期二
【详解】l998年是平年，1998年元旦到l999年元旦共365天．，即l998年元旦到1999年元旦要经过52个星期又l天，1998年元旦是星期五，经过52个星期还是星期五，再经过1天便是星期六，因此l999年元旦是星期六．1999年元旦到2000年元旦也是365天，也要经过52周又l天，故2000年元旦是星期日．因为2000年是闰年，2月份有29天，故2000年元旦到2001年元旦共366天，366÷7=52⋯⋯2，2000年元旦是星期日，经过52周还是星期日，再过2天便是星期二，即2001年元旦是星期二．
46．2
【详解】找规律,每个数除以3的余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2,可以看出循环节长度是8,第2003个就是第3个,余数是2
47．（1）B直线 （2）222
【详解】（1）106÷4=26……2，所以106 在B直线上
（2）2+（56-1）×4
=2+55×4
=2+220
=222
答：直线 B 上第 56 个数是222。
48．第7天
【分析】该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.
【详解】一昼夜细菌减少65－40=25个
第6天的时候剩余细菌：200-25×6=50，则第7天就可.
49．第八届
【详解】“每隔一年举行一次”的意思是每两年举行1次．1988年到2000年还有2000－1988＝12年，因此还要举行12÷2＝6届．1988年是第二届，所以2000年是1＋6＝8届．
这题目因为数字不大，直接数也能很快数出来：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000年分别是第二、三、四、五、六、七、八届．
答：2000年举行第八届．
50．圆形 35个
【详解】…2
第87个图形是圆形
（个）．
51．星期六
【详解】00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，2005年的元旦是星期六
52．黑色 51个
【详解】从图中可以看出，按照6个为一个周期，因为…4，所以第100个三角形应该是这一个周期当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白色三角形，余下的4个三角形中还有3个白色的，所以一共有个．
53．星期三
【详解】一个星期有7天，7是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同．于是在每个月从l日到28日这28天中，有个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第3个日期为偶数的星期天必为30日．由此可以推知，这个月的第1个星期天是日，那么，5日为星期三．
所以这个月的5日是星期三．
54．15米/秒
【分析】因为红绿灯变换的时间周期是60秒，所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒。换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯。根据路程＝速度×时间公式，速度＝路程÷时间计算即可。
【详解】900÷60＝15（米/秒）
答：汽车以每秒15米的速度行驶可以一路绿灯。
【点睛】本题考查学生利用除法计算来分析问题和解决问题的能力。
55．根
【分析】根据题意，画出涂色示意图如下；由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点。而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得一个短木棍，故4厘米的短木棍共有：（根）。
【详解】画出涂色示意图如下：
可知，每（5×6）厘米里可以锯2个4厘米的短木棍；
100÷30＝3（个）……10（厘米）
剩下的10厘米还可以锯出1个4厘米长的短木棍。
2×3＋1＝7（根）
答：长度是4厘米的短木棍有7根。
【点睛】由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点，这是解题的关键。画涂色示意图发现，这是一个周期为5与6最小公倍数的周期问题。
56．A
【详解】当木块沿着同一个方向滚动时，每滚动四格，会回到原来的状态．所以当木块向左滚动四格后，即在第五格的时候，状态与第一格一样．同理，当木块从第五格滚第九格时，最终状态也未改变．从而第1格、第5格、第9格、第13格、第17格、第21格的状态是一样的．因此，当木块滚到第21格时，木块向上的面是字母A．
57．余数是1，商的末位数字是5
【详解】余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5），因为…1，所以这个数除以6后余数是1；因为(1111−1)÷3=370，所以这个数除以6后商的末位数字是5．
58．8
【详解】我们可以接着写出数列的后几项为：2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6…
不难看出数列从第4项开始出现周期循环，重复出现8，8，4，2，8，6这6个数．
而(80－3)÷6＝12……5，即数列的第80项出现在第13次循环中的第5个数，故第80项为8．
59．
【分析】是按照这7个珠子为一组排列的，用83除以7算出按这样的规律排列了几组，余数是几第83个珠子就是这组中的第几个。
【详解】83÷7＝11（组）……6（个）
答：第83个珠子是。
【点睛】此题考查的是简单的周期问题知识。关键看几个一组，共分几组，再看余数。
60．401
【分析】由同余定理可知，两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数，计算出这个数列中余数的周期，分析一个完整周期里有多少个数是5的倍数，再求出2009里面有多少个完整的周期，再根据余数确定不够一个完整周期时里面有多少个数能被5整除，据此解答。
【详解】由题意可知，这串数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，17711，24476，42187，66663，108850，…
这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，…
分析可知，这串余数中每20个数为一个循环，且一个循环中每5个数中有五个数是5的倍数。
……4，则前2009个数中有401个是5的倍数。
答：有401个数是5的倍数。
【点睛】灵活运用同余定理是解答题目的关键。
61．白色 ；理由见详解
【分析】按8粒白珠、5粒红珠、7粒黑珠的规律排列，一组有（8＋5＋7）粒珠子，用84除以每组珠子数，算出按这样的规律排列了几组，余数是几，第84颗珠子颜色就是这一组中的第几粒珠子颜色。
【详解】8＋5＋7
＝13＋7
＝20（粒）
84÷20＝4（组）……4（粒）
答：第84粒珠子是白色的。
【点睛】此题考查的是简单的周期问题知识。关键看几个一组，共分几组，再看余数。
62．7 279
【详解】⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，…1
⑵每个周期各个数之和是：．再用每个周期各数之和乘周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．，所以，这81个数相加的和是279．
63．绿色
【详解】白+红+黄+绿=一个周期=4盏灯
80÷4=20
所以是绿灯。
答：第80盏灯应是绿色的。
64．7次
【分析】这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色的次序串成一圈，那么每10粒珠子一个周期，由于是串成一圈，所以相当于是按照8粒红色、2粒黑色的顺序无限排列。
【详解】把30颗珠子编号为1~30，其中6颗黑珠子序号是9，10，19，20，29，30；
由于是转圈跳动，那么黑珠子的序号可以认为是9、10、19、20、29、30分别假设30n；
蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，也就是从10号起跳；
依次到达的是17号、24号、31号、38号、45号、52号、59号、66号……
这里面，符合要求；
此时这只蚱蜢跳了7次；
答：这只蚱蜢至少要跳7次才能再次落在黑珠子上。
【点睛】本题考查的是周期问题，可以把环形情况下的周期问题转化成直线型的周期问题求解。
65．11
【详解】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是：B=891÷(9×9)=11.
66．1
【详解】5÷3=1……2
5×5÷3=8……1
5×5×5÷3=41……2
5×5×5×5÷3=208……1
……
余数的变化按照乘数中5的个数规律为：2,1,2,1，……
所以，100个5相乘，当商是整数时，余数是1.
67．丁
【详解】略
68．5次
【详解】甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从周三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.
69．白色
【分析】根据题意，灯是按照白色、紫色、蓝色、黄色的顺序排列的，4盏灯为一组。73÷4＝18（组）……1（盏），也就是说，第73盏灯是第19组里的第1盏灯，是白色的灯。
【详解】1＋3＝4（盏）
73÷4＝18（组）……1（盏）
答：第73盏灯是白色的。
【点睛】本题考查的是周期问题，周期问题一般利用有余数的除法解决。
70．（1）红色 （2）669盏
【详解】略
71．“34”是乙报的，“71”是丙报的
【详解】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次．因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一遍，也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8遍以后第二个人报的，即乙报的．…3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的．
72．鼠年
【详解】（2104-2004）÷12=8……4
所以2104年是鼠年。
答：2104年是鼠年。
73．84张
【分析】钱数与张数的关系列表如下：
从表中可以看出3分的张数正好循环，周期是5，由此解决问题．
【详解】43÷5=8…3，
所以3分画片有：（1+3+2+4）×8+1+3=84（张）
答：他们所买的3分画片的总数是84张．
74．奇数102个；偶数50个
【分析】周期为3，每个周期里，2个奇数，1个偶数，152除以3，商50余2，多出来的两个数是3和5，也是奇数。
【详解】
（个）
（个）
答：奇数102个；偶数50个。
【点睛】本题实质上考查的是周期问题，求解周期问题，要注意除完整周期外多出来的部分的情况。
75．解：100÷2+1=51（棵）
51÷3=17（个周期）
柳树：17×1×2=34（棵）
杨树：17×2×2=68（棵）
34+68=102（棵）
34÷102=
68÷102=
答：柳树占植树总数的，杨树占植树总数的．
【详解】周期性问题
先考虑在公路一侧栽树的情况，两端都要栽，栽树的棵数=间隔数+1；再把3棵树看作一个周期，求出一侧植树的总棵数包含几个周期，进而分别求得两种树的棵数，再乘2求得两侧栽的棵数，最后分别用柳树、杨树的棵数除以植树总数即可．
76．15号
【详解】这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.
77．黑色 26个
【分析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．
【详解】因为…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．
在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有（个）
78．（1）星期三 （2）星期六 星期二 （3）星期六
【分析】一个星期有7天，因此7天为一个周期．从表中我们可以看出l号～７号是一个周期，1号是第一个循环的第一天，7号是第一个循环的最后一天，8号是第二个循环的第一天，计算天数时为了方便，我们可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法．在算该年6月1日、10月1日、2004年5月1日是星期几时，要注意应准确地算出各是经过了多少天，这其中不要忘记2004年是闰年，共有366天．
【详解】⑴该月的8号是星期三．
⑵从5月1日到5月31日共31天，，所以6月1日是星期六．从5月1日到9月30日共l53天．，所以10月1日是星期二．
⑶从2002年的5月1日到2004年的4月30日共731天．，所以2004年5月1日是星期六．
79．6 11995
【分析】根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……除了开始的“1989”四个数字外，其余按“286884”周期出现，周期数为6个．
【详解】因为，所以，第l999个数字是6．
这1999个数字的和是：
=11995
80．91个
【详解】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…B孔的编号就是圆圈上的孔数,每隔2孔跳一步，跳在1，4，7，10，…上．最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1,同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A，就意味着总孔数是7的倍数．
如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除．注意：15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于7的)倍数加1都不能被7整除，而15×7＝105已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是15×6十1＝91
答：圆圈上共有91个孔．
81．8
【详解】因为21=2……末位为2
22=4……末位为4
23=8……末位为8
24=16……末位为6
25=32……末位为2
26=64……末位为4
27=128……末位为8
28=256……末位为6
……
所以2的N次方末位数字是2、4、8、6四个一组的依次循环
因为1991÷4=497……3
所以2的1991次方的末位数字为8
82．0
【分析】按照从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和这个规律，先确定前面的几个数，然后除以3，观察余数的规律，确定周期，按照周期问题求解即可。
【详解】这列数的前面几个分别是3，10，13，23，36，59，95，
被3除后的余数依次为0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，，
观察得：余数的排列规律是：0，1，1，2，0，2，2，1为周期重复出现；
，余数为0。
【点睛】本题实质上考查的是周期问题，确定周期是解决问题的关键。
83．6.
【详解】试题分析：第一只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11一周，每分钟跳过2个格，从0开始，跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、0…规律是6分钟一个循环；
第二只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6一周，每分钟跳过3个格，从0开始，跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、6…规律是7分钟一个循环，6和7的最小公倍数42分钟两个钟循环一次是42分钟，一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2，如下所画出的表格所示，找到指向同一个标数时的规律，即可得解．
解：如图，
根据以上分析，42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2；
30÷4=7…2
那么当两个指针第30次指向同一个标数时，是第8个循环的第二个，即它们的指针指着数字6；
答：它们的指针指着6．
点评：认真分析，找出规律“42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2”是解决此题的关键．
84．甲5乙13．
【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可．
解：
周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的，
那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13．
点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题．
85．红色 45个
【详解】5+4+3＝12（个）
158÷12＝13……2
180÷12＝15
15×3=45（个）
答：第158个珠是红色的；黑珠共有45个。
被除数中“1”的个数
1
2
3
4
5
6
7
…
除以6后余数的末位数字
1
5
3
1
5
3
1
…
除以6后商的末位数字
0
1
8
5
1
8
5
…