2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）方阵问题（知识精讲+拓展培优）

这是一份2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）方阵问题（知识精讲+拓展培优），共25页。

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数
平方内每边人数＝外每边人数－层数×2
若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
1．棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？
2．同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学．已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？
3．在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个行列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？
4．如图，4×4×4正方体方格柜子中，每个单位方格内放有一个球。三台相机分别记录柜子的三视图（如下所示）。侠盗罗宾准备一次性取走其中若干个球，但不能被发现（即需保证三视图的结果不变）。
（1）至多能取走多少个球？
（2）当取走球的数量最多时，有多少种不同的拿法？
5．四年级1班49人排成一个方队．这个方队最外围一共有多少人？
6．育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人．育英小学四年级有多少人？
7．学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？
8．在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有人，最内层有人，参加团体操表演的共多少人？
9．同学们排成一个三层的空心方阵．已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？
10．为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。问一共有多少个学生参加排练呢？
11．解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？
12．有一群学生排成三层空心方阵，多人，如空心部分增加两层，又少人，问有学生多少人？
13．用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒？
14．有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从里向外算起的第三层有多少人？
15．一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少只？
16．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇（把角上的树看作第一棵树），操场四周栽了多少棵树？
17．晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？
18．小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在至人之间，你能告诉他到底有多少人吗？
19．军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？
20．四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
21．一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？
22．军训的学生进行队列表演，排成了一个行列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？
23．小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？
24．某市国庆节有60000人参加游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以32人为一排．行进中，排与排之间相隔1米，队与队之间相隔6米．求这支游行队伍的长度．
25．节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了盆花，一共层，一共用去多少盆花？
26．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
27．解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
28．有一个3层中空方阵，最外层一边有10人，求全方阵的人数？
29．一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？
30．学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
31．小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
32．同学们用盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？
33．三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？
34．同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？
35．二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？
36．啦啦队排成方阵进行表演，最外围的一圈队员有64人，如果在外围再增加一圈队员，需要增加多少人？增加一圈后方阵里一共有多少人？
37．将一个每边枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子？
38．在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外边每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方块队共由多少个同学组成？
39．学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉人，问这个方阵共有多少人？
40．某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？
41．某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人，如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人．这个小学四年级的学生一共有多少人？
42．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？
43．仪仗队原计划64名少先队员手持彩旗，在彩车周围排成一个每边二层的方阵，后来决定在方阵外面再增加一层，成为三层方阵，求需要增加多少名学生？
44．校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？
45．学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？
46．有一队学生排成一个空心方阵，最外层60人，最内层28人，求总人数？
47．参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列．如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人．问参加团体操表演的运动员有多少人？
48．有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？
49．名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？
50．国庆70周年大阅兵，受阅方阵中共有15个徒步方阵，每个方阵2个领队，有14排，每排25人，共有多少人参加了徒步方阵？
51．运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
52．明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？
53．四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵．排列这个方阵共需要多少名同学？
54．有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?
55．在一个正方形的每条边上放8枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？最少能摆多少枚？（用○表示棋子）
56．同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学。每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？
参考答案：
1．棋子共有64粒,最外层有28粒
【分析】棋子排成每边8粒的正方形,即每排八粒,共八排,可见棋子总数是8个8粒,即8×8=64粒,最外层的棋子数可按公式:一周总点数=每边粒数×4-4求得.
【详解】8×8=64(粒)
8×4-4
=32-4
=28(粒)
答:棋子共有64粒,最外层有28粒.
2．148人
【分析】我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵．女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和．
【详解】先由男生总人数，求出3层的男生空心方阵外层一边的人数：108÷4÷3+3=12（人）
因为每向里一层,每条边上的人数就少2，所以：
（1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3×2=6（人），总人数为：6×6=36（人）；
（2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2×2=16（人），总人数为：（16-2）×2×4=112（人）；
女同学总人数为:112+36=148(人)．
3．64人；36人
【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50~100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人。
【详解】10×10＝100（人）
8×8＋6×6
＝64＋36
＝100（人）
答：大方阵有64人，小方阵有36人。
【点睛】根据数据多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，熟记一些简单的平方数是解答此题的关键。
4．（1）27个；
（2）46656种
【分析】（1）如图所示，柜子中共有球：4×4×4＝64（个），要保证三视图不变，则每层最多取9个球，但最后一层一个球也不能取，只能取3层，最多取（9×3）个。
（2）在正方体中，每层最多去9个，每一层有（8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）种不同的拿法，即36种不同的拿法，共有4层可以拿3层，一共有（36×36×36）种不同的拿法。
【详解】（1）9×3＝27（个）
答：至多能取走27个球。
（2）36×36×36＝46656（种）
答：当取走球的数量最多时，有46656种不同的拿法。
【点睛】本题主要考查了对立体图形的思考问题，要考虑全面。
5．24人
【分析】先根据方阵总人数=每边人数×每边人数，求出这个方阵的每边人数，再利用方阵最外层四周人数=每边人数×4﹣4计算出最外层四周人数即可．
【详解】因为7×7=49，所以49人组成的方阵的每边人数是7人，
7×4﹣4
=28﹣4
=24（人）；
答：这个方队的最外围一共有24人．
6．230人
【分析】排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数．因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人．
【详解】（1）原来方阵中每排有：（5+26-1）÷2=15（人）
（2）四年级共有：15×15+5=230（人）
答：育英小学四年级有230人．
7．144人
【详解】解：（23+1）÷2=12（人）
12×12=144（人）
或 （23-1）÷2+1=12（人）
12×12=144(人)……高年级人数
8．人
【分析】根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个最外层有人的实心方阵中，减去了一个小方阵。外层每边人数：（人）。内层每边人数：（人），空心方阵人数：（人）。
【详解】（64÷4＋1）×（64÷4－1）－（32÷4＋1－2）×（32÷4＋1－2）
＝（16＋1）×（16＋1）－（8＋1－2）×（8＋1－2）
＝17×17－7×7
＝289－49
＝240（人）
答：参加团体操表演的共240人。
【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，空心方阵的总人数＝（外边人数）2－（内边人数）2。
9．84人
【分析】要求出这个方阵有多少人，就要先求出这个方阵最外层每边多少．已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）×2人，即10人．又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）×层数×4，即可求出这个方阵共有多少人．
【详解】[6+（3-1）×2-3]×3×4=84（人）
答：这个方阵共有84人．
10．人
【分析】在内部增加一层，人数由多出10人变为反而少6人，所以这一层人数为（10＋6）人，据此即可求出每层每边人数，再求出这个四层方阵的总人数，减去6，就是学生人数。
【详解】中间空心部分加一层，每边有：
（10＋6）÷4＋1
＝16÷4＋1
＝4＋1
＝5（人）
四层方阵有：
（4＋6＋8＋10）×4
＝28×4
＝112（人）；
一共有学生：
112－6＝106（人）
答：一共有106个学生参加排练。
【点睛】解答此题的关键是，找出新增加的这一层是多少人。
11．5层，160人
【详解】（48-16）÷8+1＝5（层）
（48+16）×5÷2＝160（人）
答：这个方阵有5层，一共有160人．
12．人
【分析】增加的两层人数为：（人），这两层人数之差是人，因此最里层有：（人），现在的方阵共层，那么最外层有：（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是人。
【详解】（9＋15－8）÷2
＝16÷2
＝8（人）
8＋8×4
＝8＋32
＝40（人）
40÷4＋1＝11（人）
（11－5）×5×4－15
＝6×5×4－15
＝120－15
＝105（人）
答：有学生105人。
【点睛】找出最外层的人数是解答此题的关键。
13．51粒
【详解】24×24=576（粒）
576÷4÷3+3
=48+3
=51(粒)
答:最外层每边棋子数为51粒．
14．方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人
【分析】（1）由题意，100个人站成一个实心方阵，10×10=100，所以最外层每边有10人，要求最外层一共有多少人，根据“四周的人数=（每边的人数﹣1）×4”解答；
（2）由于方阵相邻两层每边相差2人，相邻两层人数相差8人，所以用最外层的人数减去8即得从外向里算起的第二层有多少人；
（3）这个实心方阵的最里层有4人，用4+8+8即得从里向外算起的第三层有多少人．
【详解】（1）最外层：（10﹣1）×4=36（人），
（2）从外向里算起的第二层：36﹣8=28（人），
（3）从里向外算起的第三层：4+8+8=20（人）
答：这个方阵的最外层共36人，从外向里算起的第二层有28人，从里向外算起的第三层有20人．
15．40只
【分析】先由多余和不够的棋子数求出纵横方向都增加一层的棋子数，再求正方形每边的棋子数．
【详解】纵横方向各增加一层，所差棋子只数是：4＋9=13(只)
若棋子增加9只后，则正方形每边棋子只数是：(13+1)÷2=7(只)
原来棋子只数是：7×7-9=40(只)
答：有棋子40只．
16．棵
【分析】因为甲的速度是乙的两倍，乙走了操场的一条边，甲走了两条边，乙拐了一个弯之后走到第5棵树，实际走了4个间隔，那么甲应该走了8个间隔，相遇的树就是甲拐弯以后走的第9棵树，所以这一边有树：9＋413（棵）。操场周围的树一共有：（13－1）×448（棵）。
【详解】[（5－1）×2＋1＋（5－1）－1]×4
＝[4×2＋1＋4－1]×4
＝12×4
＝48（棵）
答：操场四周栽了48棵树。
【点睛】本题主要考查了植树问题、方阵问题的数量关系，根据“棵数＝间隔数＋1 ”、“四周人数＝（每边人数－1）×4”解题即可。
17．个
【分析】如图所示，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放14个棋子，就可以求出第二层每边的个数。知道各层每边的个数，就可以求出总数。
【详解】
（14－1）×4＋（14－2－1）×4
＝13×4＋11×4
＝52＋44
＝96（个）
答：一共用了96个棋子。
【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，据此解题即可。
18．人
【分析】方阵总人数的特点：它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是：总数是从开始若干个连续自然数的和，我们只要在的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数。由于队伍可以排成方阵，在至人的范围内人数可能是：6×6＝36（人），或是：（人），又因为： 36＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8，49＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋4，所以总人数是36人。
【详解】根据分析可知：
6×6＝36（人），36＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8，符合题意；
7×7＝49（人），49＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋4，不符合题意，舍去。
答：这个体操表演队伍有36人。
【点睛】解答此题的关键是，理解方阵和正三角形实心队列的特征。
19．要去掉13人；还剩下36人
【分析】如下图：
【详解】方法一：去掉的一行一列的人数为：7×2－1＝13（人）
剩下的人数为：7×7-13＝36（人）
方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即6×6＝36（人）
去掉的人数为：7×7-6×6＝13（人）
20．方阵最外层每边的人数是6人，整个方阵共有36人
【分析】根据四周人数与每边人数的关系可知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了．
【详解】（1）方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6（人）
（2）整个方阵共有学生人数：6×6=36（人）
21．人；人
【分析】把多余的人放在方阵内部还少人，可见方阵内部增加一层，需要：（人），因此向外三层的每层人数都可以求出。从内向外每层人数依次是：第一层：（人），第二层：（人），第三层：（人），总人数：（人），因为，所以排成实心方阵每边有人。
【详解】（16＋28＋8）＋（16＋28＋2×8）＋（16＋28＋3×8）＋16
＝52＋（16＋28＋16）＋（16＋28＋24）＋16
＝52＋60＋68＋16
＝196（人）
196＝14×14
答：这队战士共有196人，如果他们改成实心方阵，每边应有14人。
【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，据此求出总人数即可解题。
22．人
【分析】一行一列各人，顶点处重复；因为角上的一个同学被重复数了两次，所以要把多算的一次减掉。据此解题即可。
【详解】5×2－1
＝10－1
＝9（人）
答：要去掉9人。
【点睛】解答此题的关键是，要注意顶点处的重复现象。
23．11个；个
【分析】首先根据“每边的个数＝总数÷”求出每边的棋子数：（个），根据“每向里一层每边棋子数减少＂，求出从最外面数第二层中每边各有：（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需棋子：（个）。
【详解】40÷4＋1
＝10＋1
＝11（个）
（11－2）×（11－2）
＝9×9
＝81（个）
答：最外层每边有11棋子，如果他要把整个棋盘摆满，还需要81棋子。
【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。
24．1994米
【详解】每队有60000÷25＝2400人，所以每队有2400÷32＝75排，于是每队排排之间有74个间隔，即每队长74×1＝74米．
但是每队之间又间隔6米，25队有24个间隔，即24×6＝144米，那么这只游行队伍的长度为74×25+144＝1994米．
25．盆
【分析】不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少个，每层的花盆就少个，因此可以依次求出每层花盆的个数。最外层有花盆：（盆），第二层有：（盆），第三层有：（盆），共有：（盆）。
【详解】（12－1）×4
＝11×4
＝44（盆）
44＋44－2×4＋44－2×4×2
＝44＋36＋28
＝108（盆）
答：一共用去108盆花。
【点睛】正确理解：不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少个；这是解答此题的关键。
26．144人
【详解】20×20－（20－4）×（20－4）
＝400－256
＝144（人）
27．128人
【详解】解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数．
（1）中实方阵总人数：12×12=144（人）
（2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人）
（3）空心方阵人数：（6-2）×（6-2）=16（人）
（4）中空方阵人数：144-16=128（人）
解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形．
（1）每个长方形的长=外边人数-层数，12-4=8（人）；
（2）每个长方形的宽是层数：4人；
（3）总人数：8×4×4=128（人）
28．84人
【详解】解：最外层一边有10人，那么最外层有4+（8×4）=36（人）
第二层总人数：4+（6×4）=28（人）
第三层总人数：4+（4×4）=20（人）
全方阵总人数：36+28+20＝84（人）
答：全方阵84人．
29．144人
【详解】44÷4+1=12（人）
12×12=144（人）
28÷4+1=8（人）
（8-2）×（8-2）=36（人）
144-36=108（人）
30．256人
【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数．根据四周人数和每边人数的关系可知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了．
【详解】方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
31．36枚
【详解】解：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数．
因为10×10＝100（枚），并且是实心的方阵，所以正方形最外层每边有10枚．
（10-1）×4=9×4=36（枚）
答：最外边的一层共有36枚棋子．
32．盆
【分析】对于两层方阵，外层比内层多盆，两层共盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是：（盆），从而得出需增加的盆数：（盆）。
【详解】（64＋8）÷2＋8
＝72÷2＋8
＝36＋8
＝44（盆）
答：还需44盆花。
【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，这是解题关键。
33．9人；81人
【分析】根据“四周人数＝（每边人数－1）×4”可得：每边人数为：（四周人数＋4）÷4＝每边人数，求出每边的人数，再根据“总人数＝每边人数×每边人数”，即可求出这个方阵的总人数。
【详解】（32＋4）÷4
＝36÷4
＝9（人）
9×9＝81（人）
答：这个方阵共有三年级学生81人。
【点睛】熟练掌握方阵问题的解题方法，是解答此题的关键。
34．81人
【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少人，就是求实心方阵中布点的总数．
【详解】9×9=81（人）
答：这个方阵一共有81人．
35．人
【分析】因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是人，因有人是既在他所在的行，又在他所在的列。若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，据此即可求出原来一行或一列的人数和参加健美操表演的人数。
【详解】（17－1）÷2
＝16÷2
＝8（人）
8×8＝64（人）
答：原来准备参加健美操表演的有64人。
【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。
36．72人；361人
【分析】根据四周人数＝（每边人数－1）×4，即每边人数＝四周人数÷4＋1，代入数值求出原来每边的人数，在外围再增加一圈队员，也就是外圈比里面的一圈每边增加2人，即用算出的每边人数加上2，为再增加一圈后的外围单边人数，根据四周人数＝（每边人数－1）×4可求出这时最外圈的人数，即为新增加的人数；该方阵为实心方阵，所以总人数＝每边人数×每边人数，代入数据即可。
【详解】由分析可得：
64÷4＋1
＝16＋1
＝17（人）
17＋2＝19（人）
（19－1）×4
＝18×4
＝72（人）
19×19＝361（人）
答：需要增加72人，增加一圈后方阵里一共有361人。
【点睛】本题属于封闭型植树问题，熟练掌握方阵一圈人数和每边人数的关系。
37．个
【分析】棋子总数为：（枚），由于空心方阵总个数＝（每边个数－层数）×层数×，所以，每边个数＝空心方阵总个数÷层数÷＋层数，得出最外层每边有枚棋子。
【详解】16×16÷4÷4＋4
＝16＋4
＝20（个）
答：此空心方阵的最外层每边有20个棋子。
【点睛】熟记：空心方阵总个数＝（每边个数－层数）×层数×，是解答此题的关键。
38．解：（30﹣5）×5×4+20，
=500+20，
=520（人）；
或302﹣（30﹣2×5）2+20，
=900﹣400+20，
=520（人）；
答：这个方块队共由520个同学组成．
【详解】【分析】空心方阵的层数是：10﹣5=5层，根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”算出人数，再加上20即可得出答案．
39．人
【分析】正方形队列，每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两次，那么现在求每行的人数时就要在里面多加一个。现在每行的人数是：（人），共有：（人）。
【详解】（11＋1）÷2
＝12÷2
＝6（人）
6×6＝36（人）
答：这个方阵共有36人。
【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。
40．人
【分析】根据题意，后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是：（人），因此可以求出总人数：（人）。
【详解】（17＋1）÷2
＝18÷2
＝9（人）
9×9＝81（人）
答：现共有战士81人。
【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。
41．239人
【分析】排成四层空心方阵多15人，在方阵的空心部分增加一层21人，说明增加这一层的人数就是从外向内第五层的人数是（15+21）人，根据每相邻两层的人数相差8人，可分别求出每层人数，然后相加，再加上多的15人，就可求出四年级的总人数．
【详解】（1）从外向内第五层有：15+21=36（人）
（2）从外向内第四层有：36+8=44（人）
（3）从外向内第三层有：44+8=52（人）
（4）从外向内第二层有：52+8=60（人）
（5）最外层有：60+8=68（人）
（6）四年级一共有：44+52+60+68+15=239（人）
答：四年级的学生一共有239人．
42．解：8×4﹣4
=32﹣4
=28（盆）
8×8=64（盆）
答：最外层一共摆了28盆，这个方阵花坛共有64盆花
【详解】【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解决问题．
43．44人
【详解】（64+8）÷2=36（人） 36+8=44(人) 增加人数
或 64÷4÷2+2=10(人) (10+2)×4-4=44(人)
44．10人；人
【分析】根据“每边人数＝四周人数÷4＋1”，求出最外层每边人数；再根据“实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”，求出这个方阵共有三年级学生的人数。
【详解】36÷4＋1
＝9＋1
＝10（人）
10×10＝100（人）
答：方阵外层每边有10人，这个方阵共有三年级学生100人。
【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。
45．49人
【分析】去掉一行一列时，我们需要思考去掉了几个人，因为是正方形队列，所以每行每列的人数一样多，站在行和列的交点的同学既属于这一行也属于这一列，所以现在求每行（或每列）的人数时需要用13加上1得出两行（或两列）共有14人，再求出1行（或1列）的人数，最后求出总人数即可。
【详解】（13＋1）÷2
＝14÷2
＝7（人）
7×7＝49（人）
答：这个方阵共有49人。
【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。
46．220人
【详解】60÷4+1=16（人）……最外每边人数
16×16=256（人）……实心方阵总人数
28÷4+1=8（人）……最里层每边人数
（8-2）×（8-2）=36（人）……最里实心方阵
256-36＝220（人）……总人数
47．289人
【分析】方阵问题的核心是求最外层每边人数．
【详解】去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17人，方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17＝289（人）．
48．144盆
【详解】由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆．这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数．因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆．
答：一共摆了144盆．
49．人
【分析】名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，剩下的是行列的方阵，即剩下人，减少了 人。
【详解】方法一：100－9×9
＝100－81
＝19（人）
方法二：
10×2－1
＝20－1
＝19（个）
答：减少了9人。
【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系：“实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。
50．5280人
【分析】用每排的人数乘排数，再加上2，求出一共方阵的人数，再乘方阵的个数即可。
【详解】（25×14＋2）×15
＝（350＋2）×15
＝352×15
＝5280（人）
答：共有5280人参加了徒步方阵。
【点睛】求出一共方阵的人数，是解答此题的关键。
51．32人
【详解】9×9＝81（人）
（9-2）×（9-2）＝49（人）
81-49＝32（人）
答：要减少32名运动员．
52．这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子
【分析】（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数．
（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘层数，再乘4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个．
【详解】（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）×4=40（个）
（2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）×3×4=144（个）
答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子．
53．64名
【分析】这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数．排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点．求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？
【详解】8×8=64（人）
答：排列这个方阵，共需要64名同学．
54．方阵最外层杨树12棵，柳树12棵;
方阵中共有杨树25棵，柳树24棵或者杨树24棵，柳树25棵.
【分析】根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树.观察图（1）（2）,不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的．因而杨树和柳树的棵数相等．即最外层杨、柳树分别为（7-1）×4÷2=12（棵）．
当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵．
【详解】（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1）×4÷2=12（棵）
（2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：
杨树：（7×7+1）÷2=25（棵）
柳树：7×7-25=24（棵）
（3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树
柳树（7×7+1）÷2=25（棵）
杨树7×7-25=24（棵）
答：方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵．
55．最多：32枚 最少：28枚
【分析】四个角都不放时，需要的花盆数最多，利用每边盆数×4计算即可；四个角都放时，需要的花盆数最少，根据每边盆数×4﹣4即可解答；
如图：
最多：
最少：
【详解】8×4=32（枚）
8×4﹣4=28（枚）
答：最多需要32枚，最少需要28枚．
56．77人
【分析】根据题意先分别算出每行和每列的人数，即是做操队列的列数和行数，再相乘，就是做操的同学共有的人数。
【详解】4＋6＋1＝11（人）
5＋3－1＝7（人）
11×7＝77（人）
答：做操的同学一共有77人。
【点睛】找出这个队列的行数与列数是解答此题的关键。