2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）隐藏周期（知识精讲+拓展培优）

这是一份2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）隐藏周期（知识精讲+拓展培优），共20页。学案主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

定义：重复不断、周而复始的循环的现象，叫做周期现象，我们把这种规律性的问题叫做周期问题。
1、解决周期规律问题主要确定循环周期。仔细观察出现的现象，认真分析循环规律，总结出经过几次又开始重新开始，得出一个周期是几。（一个循环中经过的次数就是一个周期数）。
2、先找到数列的规律，再找数列中的数除以某个周期数所得余数的规律，然后确定循环周期是解决此类问题的关键。
3、关于周期问题：
总数÷周期数＝组数，即整除时，结果为周期的最后一个；
总数÷周期数＝组数……余数，即有余数时，余几就在下个周期中数几。
一、解答题
1．30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色……的次序串成一圈。一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上。
2．实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？
3．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
4．某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡？
5．下图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？
6．课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？
7．已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的5号是星期几？
8．1994 位数，各位上的数字都是 3，它除以13，商的第 200 位（从左往右）数字是几？商的个位是几？
9．在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数)，则这个月的5日是星期几？
10．8 个格子排成一个正方形，依次编号（如图所示），小玲将棋子放在 3 号格子上，顺时针方向前进 245个格子后又倒退一个格子， 这时棋子应在几号格子上？
11．1998年元旦是星期五，l999年元旦是星期几？2000年元旦是星期几？2001年元旦是星期几？
12．1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？
13．小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？
14．有一副扑克牌，一开始抓若干张（小于13张），然后进行下列操作：抓和手里现有的扑克牌数目相等的扑克牌，然后若扑克牌总数超过13张，则放回其中的13张，称为一次操作。进行了777次操作后，手里有7张牌，则一开始手里有多少张？
15．图中是2002年5月份日历表．
（1）该月8号是星期几？
（2）该年6月1日是星期几？该年10月1日是星期几？
（3）2004年5月1日是星期几?
16．如下图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼．一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去．由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？
17．有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
18．小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？
19．⑴……（25个4），积的个位数是几？
⑵24个2相乘，积末位数字是几？
20．2008年的“六·一”儿童节是星期日，2008年的“十·一”是星期几？
21．一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月?
22．如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？
23．2002年的6月1日是星期六，那么这一年的10月1日是星期几呢？
24．有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
25．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，……，即第一、 第二个数都是 1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第 2003个数除以 3 的余数．
26．有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
27．有一列数：
2，3，6，8，8，…．
从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数中的第80个数是多少?
28．有一串数：1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个数是5的倍数？
29．今天是星期三，那么从明天起第365天是星期几？
30．设N=2×2×……×2，共1991个2相乘，那么N的末位数字是几？
31．同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？
32．甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？
33．1111…1÷6，一共有1111个1，当商是整数时，余数是几？
34．5×5×……×5÷3，共100个5相乘，当商是整数时，余数是几？
35．阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期几？
36．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？
参考答案：
1．7次
【分析】这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色的次序串成一圈，那么每10粒珠子一个周期，由于是串成一圈，所以相当于是按照8粒红色、2粒黑色的顺序无限排列。
【详解】把30颗珠子编号为1~30，其中6颗黑珠子序号是9，10，19，20，29，30；
由于是转圈跳动，那么黑珠子的序号可以认为是9、10、19、20、29、30分别假设30n；
蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，也就是从10号起跳；
依次到达的是17号、24号、31号、38号、45号、52号、59号、66号……
这里面，符合要求；
此时这只蚱蜢跳了7次；
答：这只蚱蜢至少要跳7次才能再次落在黑珠子上。
【点睛】本题考查的是周期问题，可以把环形情况下的周期问题转化成直线型的周期问题求解。
2．2
【详解】昨晚8点至今早8点，共经历(分钟)，，说明从今早8点整起，7分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳到“0”位，指针共跳了102次．
由于每次跳9格，所以共跳了(格)．每20格一圈，，因此从“0”位开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：，因此昨晚8点整时指针正指着2．
3．甲5乙13．
【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可．
解：
周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的，
那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13．
点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题．
4．第7天
【分析】该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.
【详解】一昼夜细菌减少65－40=25个
第6天的时候剩余细菌：200-25×6=50，则第7天就可.
5．11
【详解】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是：B=891÷(9×9)=11.
6．“34”是乙报的，“71”是丙报的
【详解】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次．因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一遍，也就是说是以4为一个周期重复的．34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8遍以后第二个人报的，即乙报的．…3，所以“71”应是第三个人报的，即丙报的．
7．星期五
【分析】这道题表面看无从下手．实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天数只能是4或5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是4天．
【详解】用列表法可以得到答案．
所以这个月的5号是星期五．
8．5 2
【详解】用竖式试算，可以得出商是按照的顺序不断重复出现，所以商的第200位是200÷6=33……2,所以这个数字是5；
被除数从左边起第二个3开始，每6个3组成的数除以13商256410,1994位数中有（1994-1）÷6==332……1，余数是1，商的个位是2.
9．星期三
【详解】一个星期有7天，7是奇数(单数)，所以任意两个相继星期天的日数奇偶性不同．于是在每个月从l日到28日这28天中，有个星期天，且其中有两个星期天的日期是偶数，从而题中第3个日期为偶数的星期天必为30日．由此可以推知，这个月的第1个星期天是日，那么，5日为星期三．
所以这个月的5日是星期三．
10．7号
【详解】245÷8=30（圈）……5（格）
从3起顺时针前进5格到8号格，又倒退1格，就是7号格．
11．星期六 星期日 星期二
【详解】l998年是平年，1998年元旦到l999年元旦共365天．，即l998年元旦到1999年元旦要经过52个星期又l天，1998年元旦是星期五，经过52个星期还是星期五，再经过1天便是星期六，因此l999年元旦是星期六．1999年元旦到2000年元旦也是365天，也要经过52周又l天，故2000年元旦是星期日．因为2000年是闰年，2月份有29天，故2000年元旦到2001年元旦共366天，366÷7=52⋯⋯2，2000年元旦是星期日，经过52周还是星期日，再过2天便是星期二，即2001年元旦是星期二．
12．星期六
【详解】00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，2005年的元旦是星期六
13．星期四
【详解】从日历上可以看到，每个星期有7天，就是以7天为一个周期不断地重复．6月1日是星期六，那么再过7天，即6月8日，还是星期六；如果再过14天，即6月15日，还是星期六，所以要知道6月27日是星期几，首先要求出6月27日是6月1日后的第几天，（天）；因为每个星期都是7天，也就是周期为7，所以（星期）…5（天）．这样，从6月1日开始经过3个星期，最后一天是星期六，从这最后一天再过5天就是星期四．
14．张
【分析】根据第777次操作后得到的的结果，从后往前进行倒推，可以依次求出前面的每一层操作得到的数量，找出隐藏的周期，转化为周期问题求解。
【详解】根据倒推法知道第次操作后是；
那么第776次操作就是：；
第775次操作就是；
找到规律是遇见奇数就是加后除以2，遇见偶数就是直接除以，所以操作后得到这样一串数为：、、、、、、、、、、、、、，观察发现是个一周期，所以，所以第一次手里的数是，一开始手里的数是张扑克。
答：一开始手里有4张。
【点睛】本题将周期问题与还原问题相结合，在倒推的时候注意区分奇数和偶数。
15．（1）星期三 （2）星期六 星期二 （3）星期六
【分析】一个星期有7天，因此7天为一个周期．从表中我们可以看出l号～７号是一个周期，1号是第一个循环的第一天，7号是第一个循环的最后一天，8号是第二个循环的第一天，计算天数时为了方便，我们可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”的方法．在算该年6月1日、10月1日、2004年5月1日是星期几时，要注意应准确地算出各是经过了多少天，这其中不要忘记2004年是闰年，共有366天．
【详解】⑴该月的8号是星期三．
⑵从5月1日到5月31日共31天，，所以6月1日是星期六．从5月1日到9月30日共l53天．，所以10月1日是星期二．
⑶从2002年的5月1日到2004年的4月30日共731天．，所以2004年5月1日是星期六．
16．0米
【详解】根据题上给出的条件动手画图．四次再次回到0号位置．2004是4的倍数，所以第2004号位和0号位之间的距离是0米．
17．余数是3，商的末位数字是8
【分析】我们可以用列表的方法寻求周期．
【详解】通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）
因为，所以这个数除以6后余数是3；
因为…2，所以这个数除以6后商的末位数字是8．
18．星期四
【详解】21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期．…2，所以方方第100次取奶是星期四．
19．（1）4 （2）6
【详解】⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以…1，25个4相乘，积的末位数字是4．
⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组所以24个2相乘，积末位数字是6．
20．星期三
【详解】（天）123÷7=17…4，这个周期从周日开始，那么第4天正好是星期三．
21．5个月
【详解】1月1日是星期日，全年就有53个星期日．每月至少有4个星期日，53-4×12=5，多出5个星期日，在5个月中．即最多有5个月有5个星期日．
22．15号
【详解】这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792÷16=49…8，所以他走到9号位置.又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970÷16＝60…10，因此这个人到了第15(=9+16-10)号椅子.
23．星期二
【分析】我们只要算出6月1日到10月1日要经过多少天，然后按照7天为一个周期，运用周期变化规律解答．由于6月1日与10月1日这两个日子不在同一个月里，就要考虑经过月份是什么月？一共有多少天？
【详解】因为6月有30天，7月有31天，8月有31天，9月有30天，所以6月1日到10月1日要经过的天数：（天），123÷7=17…4 ，这个周期从周六开始，那么第4天正好是星期二．
24．0
【分析】按照从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和这个规律，先确定前面的几个数，然后除以3，观察余数的规律，确定周期，按照周期问题求解即可。
【详解】这列数的前面几个分别是3，10，13，23，36，59，95，
被3除后的余数依次为0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，，
观察得：余数的排列规律是：0，1，1，2，0，2，2，1为周期重复出现；
，余数为0。
【点睛】本题实质上考查的是周期问题，确定周期是解决问题的关键。
25．2
【详解】找规律,每个数除以3的余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2,可以看出循环节长度是8,第2003个就是第3个,余数是2
26．余数是1，商的末位数字是5
【详解】余数出现的周期为3（1，5，3）；第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5），因为…1，所以这个数除以6后余数是1；因为(1111−1)÷3=370，所以这个数除以6后商的末位数字是5．
27．8
【详解】我们可以接着写出数列的后几项为：2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6…
不难看出数列从第4项开始出现周期循环，重复出现8，8，4，2，8，6这6个数．
而(80－3)÷6＝12……5，即数列的第80项出现在第13次循环中的第5个数，故第80项为8．
28．401
【分析】由同余定理可知，两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数，计算出这个数列中余数的周期，分析一个完整周期里有多少个数是5的倍数，再求出2009里面有多少个完整的周期，再根据余数确定不够一个完整周期时里面有多少个数能被5整除，据此解答。
【详解】由题意可知，这串数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，17711，24476，42187，66663，108850，…
这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，…
分析可知，这串余数中每20个数为一个循环，且一个循环中每5个数中有五个数是5的倍数。
……4，则前2009个数中有401个是5的倍数。
答：有401个数是5的倍数。
【点睛】灵活运用同余定理是解答题目的关键。
29．星期三
【详解】题中所说的第365天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第365天”．
（星期）…1（天），所以，从明天起，到第365天是星期三．
30．8
【详解】因为21=2……末位为2
22=4……末位为4
23=8……末位为8
24=16……末位为6
25=32……末位为2
26=64……末位为4
27=128……末位为8
28=256……末位为6
……
所以2的N次方末位数字是2、4、8、6四个一组的依次循环
因为1991÷4=497……3
所以2的1991次方的末位数字为8
31．第8个
【详解】第一次1～2报数，报2的是第2，4，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2的是第4，8，12这三名同学，最后这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的这个同学是这列中的第8个．
32．5次
【详解】甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从周三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.
33．1
【详解】1÷6 余1
11÷6 余5
111÷6 余3
1111÷6 余1
11111÷6 余5
111111÷6 余3
可以得出一些规律，,增加一个1，每3次，余数出现重复。
1111÷3=370……1
答：当商是整数时，余数是1。
34．1
【详解】5÷3=1……2
5×5÷3=8……1
5×5×5÷3=41……2
5×5×5×5÷3=208……1
……
余数的变化按照乘数中5的个数规律为：2,1,2,1，……
所以，100个5相乘，当商是整数时，余数是1.
35．星期六
【详解】每四年有一个闰年，闰年的年份被4整除，所以从1978年至1999年共有17个平年，5个闰年，由此可以算出总天数，用总天数除以7，余1是星期一，余2是星期二，依次类推
（天），（星期）……6（天），所以，阳历2000年1月1日是星期六．
36．6 11995
【分析】根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……除了开始的“1989”四个数字外，其余按“286884”周期出现，周期数为6个．
【详解】因为，所以，第l999个数字是6．
这1999个数字的和是：
=11995
被除数中“1”的个数
1
2
3
4
5
6
7
…
除以6后余数的末位数字
1
5
3
1
5
3
1
…
除以6后商的末位数字
0
1
8
5
1
8
5
…