培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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考点分类讲解
考点一：向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
变式：(1)a·b＝eq \f(a＋b2,4)－eq \f(a－b2,4)，
a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(CB,\s\up6(→))2＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \(MB,\s\up6(→))2.
规律方法 利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范围是________．
【变式】．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点二:平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．
【例2】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·eq \(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq \(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·eq \(OA,\s\up6(→))＋b·eq \(OB,\s\up6(→))＋c·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶4
C．2∶3∶4 D．2∶3∶6
考点三:等和(高)线定理
等和(高)线
平面内一组基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(——→))，eq \(OP′,\s\up6(——→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
规律方法 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．
【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【变式3】已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A．B．C．D．
强化训练
一、单选题
1．如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（ ）
A．13B．7C．5D．3
2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
3．设向量满足， ，则=
A．1B．2C．3D．5
4．已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
6．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
7．在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为( )
A．2B．3C．D．
9．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
11．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
14．已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
15．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
16．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
17．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
18．在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．当点为中点时，
C．的最大值为
D．满足的点有且只有一个
三、填空题
19．在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
20．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .
21．如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为，与的夹角为,且，，若,则的值为 .
22．（22-23高三上·江苏南通·期中）如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则= ．
23．已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
24．在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围是 ．
25．四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 .
26．点为内一点，，则的面积之比是 .