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- 第08讲 等差数列、等比数列（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用） 试卷 0 次下载
第05讲 导数的综合应用（3大考点母题突破+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）
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这是一份第05讲 导数的综合应用（3大考点母题突破+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用），文件包含第5讲导数的综合应用3大考点母题突破+强化训练原卷版docx、第5讲导数的综合应用3大考点母题突破+强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．
【知识导图】
【考点分析】
考点一：导数与不等式的证明
规律方法 利用导数证明不等式问题的方法
(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．
【母题．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
[子题1]（2024·安徽淮北·统考一模）已知函数，，（）.
(1)求函数的最小值；
(2)若有两个不同极值点，分别记为，，且.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围.
[子题2]（2024·陕西榆林·统考一模）设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.
【强化训练】
1．（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.
2．（2024·陕西榆林·统考一模）设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，（），求证：．
考点二：恒成立问题与能成立问题
规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．
[母题] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－eq \f(sin x,cs3x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)子题1]（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 对任意的 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值.
[子题2]（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
【强化训练】
1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知函数．
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围．
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .
3．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，．
(1)若恒成立，求a的取值集合；
(2)证明：．
4．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．（2024·陕西·校联考一模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：当时，对，不等式恒成立．
考点三：零点问题
规律方法 (1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤
①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．
③结合图象求解．
(2)已知零点求参数的取值范围
①结合图象与单调性，分析函数的极值点．
②依据零点确定极值的范围．
③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．
[母题]（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
[子题1] 单选题（2022·全国·模拟预测）已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
[子题2]（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数，其导函数为．
(1)求单调性；
(2)求零点个数．
【强化训练】
1．（2024下·全国·高二专题练习）已知函数，.
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
2．（2024下·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知，讨论函数的稳定点个数.
3．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，分析的单调性；
(2)若，证明：在，内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
4．（2024上·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末）已知函数.
(1)时，求函数的值域;
(2)若在上有两个实数根，求实数的取值范围.
5．（2024下·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．
【知识导图】
【考点分析】
考点一：导数与不等式的证明
规律方法 利用导数证明不等式问题的方法
(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．
【母题．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
[子题1]（2024·安徽淮北·统考一模）已知函数，，（）.
(1)求函数的最小值；
(2)若有两个不同极值点，分别记为，，且.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若不等式恒成立（为自然对数的底数），求正数的取值范围.
[子题2]（2024·陕西榆林·统考一模）设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.
【强化训练】
1．（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.
2．（2024·陕西榆林·统考一模）设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，（），求证：．
考点二：恒成立问题与能成立问题
规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a
[母题] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－eq \f(sin x,cs3x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)
(1)求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 对任意的 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值.
[子题2]（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
【强化训练】
1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知函数．
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围．
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .
3．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数，．
(1)若恒成立，求a的取值集合；
(2)证明：．
4．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．（2024·陕西·校联考一模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：当时，对，不等式恒成立．
考点三：零点问题
规律方法 (1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤
①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．
③结合图象求解．
(2)已知零点求参数的取值范围
①结合图象与单调性，分析函数的极值点．
②依据零点确定极值的范围．
③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．
[母题]（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
[子题1] 单选题（2022·全国·模拟预测）已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
[子题2]（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数，其导函数为．
(1)求单调性；
(2)求零点个数．
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1．（2024下·全国·高二专题练习）已知函数，.
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
2．（2024下·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知，讨论函数的稳定点个数.
3．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，分析的单调性；
(2)若，证明：在，内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
4．（2024上·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末）已知函数.
(1)时，求函数的值域;
(2)若在上有两个实数根，求实数的取值范围.
5．（2024下·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
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