培优点01 切线放缩（2大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

展开

这是一份培优点01 切线放缩（2大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用），文件包含培优点01切线放缩2大考点+强化训练原卷版docx、培优点01切线放缩2大考点+强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页，欢迎下载使用。

【知识导图】
【考点分析】
考点一：单切线放缩
常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x＋1.当x>－1时，ln(x＋1)≤x.当x>0时，x>sin x；当x<0时，x规律方法该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.
【例1】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）已知函数，．
(1)若函数（其中：为的导数）有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，求证：．
【变式】（2023上·贵州黔东南·高三统考期中）函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若，求证：.
考点二：双切线放缩
规律方法含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明．
【例2】（2024上·浙江嘉兴·高三统考期末）已知函数．
(1)若时，在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；
(2)若，时，函数有两个极值点，，求证：．
【变式】（2024下·河北·高三校联考开学考试）已知函数
(1)若、在处切线的斜率相等，求的值；
(2)若方有两个实数根，试证明：;
(3)若方程有两个实数根，试证明：.
【强化训练】
1．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.
2．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.
3.(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝sin x－aln(x＋1)．
(1)若a＝1，证明：当x∈[0,1]时，f(x)≥0；
(2)若a＝－1，证明：当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤2ex－2.
4.(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(a,x)－2x.
(1)当a>0时，讨论f(x)的单调性；
(2)证明：ex＋eq \f(a－2x2－2x,x)>f(x)．
5.(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝xln x－x.若f(x)＝b有两个实数根x1，x2，且x16.(2023·山东省实验中学模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)(ex－1)，若函数g(x)＝f(x)－m(m>0)有两个零点x1，x2，且x17．(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)．
(1)证明：当x>－1时，f(x)≤x；
(2)已知n∈N*，证明：>sin(n＋1)．
8．(2023·遂宁模拟)已知函数f(x)＝a(x＋1)－eq \f(x＋3,ex)，x∈R.
(1)若f(x)是减函数，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1eq \f(2a,e)＋2.

相关试卷更多