专题二　培优点5　极化恒等式、奔驰定理与等和线定理2024年高考数学

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A．13 B．7 C．5 D．3
2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9)
C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
3．如图，在四边形MNPQ中，若eq \(NO,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))，|eq \(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq \(OP,\s\up6(→))|＝10，eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝－28，则eq \(NP,\s\up6(→))·eq \(QP,\s\up6(→))等于( )
A．64 B．42
C．36 D．28
4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[1,3] D．[0,4]
5．(2023·佛山模拟)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足MB＝2MA，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值是( )
A．－eq \f(9,4) B．4
C．12 D．18
6.(多选)给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的取值可以是( )
A．1 B.eq \f(5,4) C．2 D.eq \f(5,2)
7．(多选)(2023·六安模拟)已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·eq \(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq \(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有( )
A．若2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝4∶3∶2
B．若|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，∠AOB＝eq \f(2π,3)，且2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC＝eq \f(9\r(3),4)
C．若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，则O为△ABC的垂心
D．若O为△ABC的内心，且5eq \(OA,\s\up6(→))＋12eq \(OB,\s\up6(→))＋13eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则 ∠ACB＝eq \f(π,2)
8.(2023·黄冈模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝45°.若M为菱形ABCD内部(含边界)任一点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的取值范围是________．
9．若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋5eq \(OC,\s\up6(→))＝0.则△ABC的面积为________．
10.如图，圆O是边长为2eq \r(3)的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，eq \(BM,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为________．