第14讲 直线与圆（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

这是一份第14讲 直线与圆（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用），文件包含第14讲直线与圆3大考点+强化训练原卷版docx、第14讲直线与圆3大考点+强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

考点分类讲解
考点一:直线的方程
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
【例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023高三·全国·专题练习）过点且与直线平行的直线方程为 .
考点二:圆的方程
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．
规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【例4】（2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（ ）
A．3B．4C．8D．6
考点三:直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
考向1 直线与圆的位置关系
规律方法 直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．E．均不是
【变式3】（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则 ．
考向2 圆与圆的位置关系
【例3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．3D．6
【变式1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·广西来宾·一模）若曲线与的图象有3个交点，则 .
【变式3】（2023·河北衡水·三模）若圆和有且仅有一条公切线，则 ；此公切线的方程为
【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．内含D．内切
【变式5】（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
强化训练
一、单选题
1．（23-24高三上·河南焦作·期末）若圆与轴相切，则（ ）
A．1B．C．2D．4
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．
3．（2024·四川南充·二模）已知圆，直线与圆C（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
4．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．
5．（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·浙江温州·模拟预测）设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
1．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（ ）
A．圆的半径为2
B．直线过定点
C．的最小值是
D．的最大值是0
2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线经过定点且与圆恒有两个公共点
B．圆心到直线的最大距离是2
C．存在一个值，使直线经过圆心
D．不存在使得圆与圆关于直线对称
3．（23-24高三上·福建·阶段练习）已知直线l：与圆C：，点P在圆C上，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是6
C．直线l与圆C一定相交
D．点P到直线l的距离的最大值是
三、填空题
1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数在，处分别取得极大值和极小值，记点，，的图象与轴正半轴的交点为.若的外接圆的圆心在以为直径的圆上，则 .
2．（2024·河南郑州·模拟预测）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程 .
3．（2024·陕西·模拟预测）若直线与曲线有公共点，则实数的范围是 .
四、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点.求点的轨迹的方程.
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，
(1)当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心.
(2)当时，求直线的方程.
4．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.
(1)求圆和抛物线的方程；
(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别做抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．
5．（23-24高三上·天津·期末）设，两点的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为.
(1)求的方程
(2)设直线与交于，两点，若的外接圆在处的切线与交于另一点，求的面积.