第12讲 空间向量与空间角（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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考点分类讲解
考点一：异面直线所成的角
设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ.
则(1)θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)cs θ＝|cs〈a，b〉|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)
＝eq \f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1)＋c\\al(2,1))\r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2)＋c\\al(2,2))).
规律方法 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【例1】（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱（三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱）中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·全国·一模）在正四面体的侧面三角形的高线中，垂足不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 ．
【变式2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知长方体的底面是边长为2的正方形，为其上底面的中心，在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为.
(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成的角.
考点二：直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
则(1)θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；(2)sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
易错提醒 (1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝eq \f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq \f(π,2)，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．
(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．
【例2】(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq \r(3).
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值．
【变式1】(2023·泉州模拟)如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中点，E是BC的中点．
(1)证明：AB1∥平面DEC1；
(2)已知AB⊥BC1，CC1⊥平面ABC.求直线BC1与平面DEC1所成角的正弦值的最大值．
【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知在三棱锥中，，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，侧面与底面ABC垂直，．
(1)求证：．
(2)设，求与平面所成角的大小．
考点三：平面与平面的夹角
设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
则(1)θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；
(2)cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
易错提醒 平面与平面夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．
【例3】 (2023·新高考全国Ⅰ)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P.
【变式1】(2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))，求平面ABD与平面ABF夹角的正弦值．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，已知，，，分别是线段，的中点，．分别记二面角，，的平面角为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且为的中点.

(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.
强化训练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·陕西·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线共面
B．
C．直线与平面所成角的正切值为
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥可绕着任意旋转，平面，，分别是，的中点，，，点在平面上的射影为点.当最大时，二面角的大小是（ ）
A．105°B．90°C．60°D．45°
5．（23-24高三上·山西运城·期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高三·全国·专题练习）如图，在边长为4的菱形中，已知.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，二面角的大小为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·广东·开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南永州·二模）如图，在三棱锥中，，点在平面内，过作于，当与面所成最大角的正弦值是时，与平面所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
1．（2024·黑龙江·二模）已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线与所成角的余弦值为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
2．（2024·贵州黔东南·二模）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，则（ ）
A．B．四面体外接球的表面积为
C．平面D．直线与平面所成的角为
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，点是的中点，将正方形沿折起，如图所示，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ）

A．当时，与所成角的余弦值为
B．当时，三棱锥外接球的体积为
C．若，则
D．当时，与平面所成角的正弦值为
三、填空题
1．（23-24高三上·广东湛江·期末）如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则 .
2．（2024高三·全国·专题练习）正四面体的棱长为a，则它的高为： ，两个侧面形成二面角的余弦值为： .
3．（2024高三·全国·专题练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练．易知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小．若，，，则的最大值是 （仰角为直线与平面所成角）．

四、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）空间中A，B，C，D四点任意两点间距离都等于a，E为中点，在由A，B，C，D确定的四个等边三角形中，求与异面的三角形中线与所成角的余弦值．
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点．求直线与平面所成角的正弦值．
3．（23-24高三下·甘肃张掖·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，
(1)证明：平面平面；
(2)若是的中点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦值.
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，平面，是边长为2的正三角形，，平面，垂足为点，是的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求证：不可能是的垂心（三角形三条高的交点）．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知中，，，，AB上有一点P，沿PC将折成一个直二面角，若此时，求二面角的正弦值．