人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.2 Word版含答案

这是一份人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.2 Word版含答案，共11页。

4.2.2　圆与圆的位置关系学习目标　1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．知识点　两圆位置关系的判定思考1　圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案　圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2　已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案　联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理　(1)用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \o\al(2,2)，则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22).两圆C1，C2有以下位置关系：(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，将方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则①判别式Δ＞0时，C1与C2相交；②判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切；③判别式Δ＜0时，C1与C2相离或内含．类型一　两圆的位置关系eq \x(命题角度1　两圆位置关系的判断)例1　已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)A．内切 B．相交C．外切 D．相离答案　B解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0，))得两交点分别为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段的长度为2eq \r(2)，∴eq \r(a2＋－a2)＝2eq \r(2)，又a＞0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0,2)，半径为r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1,1)，半径为r2＝1，∴|MN|＝eq \r(0－12＋2－12)＝eq \r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，∴两圆相交．反思与感悟　判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．(5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1　已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　)A．1或3 B．4 C．0 D．2答案　D解析　由圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝eq \f(1,4)，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，∴|C1C2|＝eq \r(2－12＋－1＋22)＝eq \r(2).又r1＝1，r2＝eq \f(1,2)，则r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴圆C1与圆C2相交．故这两个圆的公切线共2条．eq \x(命题角度2　已知两圆的位置关系求参数)例2　当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)相离．解　将两圆方程写成标准方程，则C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离，此时a＞2或a＜－5.反思与感悟　(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．②计算两圆圆心的距离d.③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2　若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为(　　)A．±3 B．±5C．3或5 D．±3或±5答案　D解析　圆C1与圆C2的圆心距为d＝eq \r(a2＋0－02)＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.类型二　两圆的公共弦问题例3　已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．解　(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5eq \r(2)，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝eq \r(10).又∵|C1C2|＝2eq \r(5)，r1＋r2＝5eq \r(2)＋eq \r(10)，|r1－r2|＝|5eq \r(2)－eq \r(10)|，∴|r1－r2|<|C1C2|0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．答案　3或7解析　∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，由eq \r(32＋42)＝|2－r|，解得r＝7；当两圆外切时，由eq \r(32＋42)＝2＋r，解得r＝3.∴r＝3或7.11．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案　x2＋y2－eq \f(3,4)x－eq \f(3,4)y－eq \f(11,4)＝0解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－eq \f(3,4)，故所求圆的方程为x2＋y2－eq \f(3,4)x－eq \f(3,4)y－eq \f(11,4)＝0.三、解答题12．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，求圆O2的方程．解　(1)设圆O2半径为r2，因为两圆外切，所以|O1O2|＝r2＋2.又|O1O2|＝eq \r(22＋[1－－12])＝2eq \r(2)，所以r2＝|O1O2|－2＝2(eq \r(2)－1)，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq \r(2).(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝req \o\al(2,2)，因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋req \o\al(2,2)－8＝0，作O1H⊥AB，H为垂足，则|AH|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(2)，所以|O1H|＝eq \r(r\o\al(2,1)－|AH|2)＝eq \r(4－2)＝eq \r(2).由圆心O1(0，－1)到直线4x＋4y＋req \o\al(2,2)－8＝0的距离为eq \f(|r\o\al(2,2)－12|,4\r(2))＝eq \r(2)，得req \o\al(2,2)＝4或req \o\al(2,2)＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.四、探究与拓展13．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为________．答案　(x＋1)2＋(y＋1)2＝1解析　由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为eq \f(y－0,－1－0)＝eq \f(x＋2,－1＋2)，即x＋y＋2＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＋2＝0，))得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝eq \f(|－2－0|,\r(2))＝eq \r(2)，∴所求圆的半径r＝eq \r(\r(3)2－\r(2)2)＝1，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.14．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋eq \r(3)y＝0相切于点M(3，－eq \r(3))的圆的方程．解　圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×－\f(\r(3),3)＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2.))故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.位置关系相离内含相交内切外切圆心距与半径的关系d＞r1＋r2d＜|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2图示