2022-2023学年山东省枣庄市枣阳市六校联考九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省枣庄市枣阳市六校联考九年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，下列等式不一定成立的( )
A. a=csinAB. a=btanA
C. c=bcsBD. sin2A+sin2B=1
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示.如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则cscA=ca，那么下列说法正确的是( )
A. cscB⋅sinA=1B. cscB=bc
C. cscA⋅csB=1D. csc2A+csc2B=1
3.若点A(−3,y1)、B(2,y2)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1y2D. 无法确定
4.如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6，BC=12，则正方形MNPQ的边长为( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
5.如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE=32 2，正确的是( )
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
6.题目：“如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=15，P，Q分别是BC，CD上的点.”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下.下列判断正确的是( )
甲：若CQ=4，则在BC上存在2个点P，使△ABP与△PCQ相似；
乙：若AP⊥PQ，则CQ的最大值为254．
A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都错
7.如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8.若点P(a,4)也在此函数的图象上，则a的值是( )
A. 2
B. −2
C. 4
D. −4
8.方程x2+2x−1=0的根可视为直线y=x+2与双曲线y=1x交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x−2=0的实根x0所在的范围是( )
A. 09.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE=1，∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF= 2，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF.下列结论：①△ECF的面积为172；②△AEG的周长为8；③EG2=DG2+BE2.其中正确的是( )
A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
10.如图，在平行四边形ABCD中，CE=ED，BE交AC于点F，则EF：FB的比值是______．
11.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念.如图所示，它的主体形状呈正六边形.若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠BAC的值是______．
12.如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C，D.若tan∠BAO=2，BC=3AC，则点D的坐标为______．
13.如图，反比例函数y=−18x的图象与直线y=12x+b(b>0)交于A，B两点(点A在点B右侧)，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为18，则b的值为______．
14.如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，OA=4，OC=2.若AB、BC上分别有点E、D，满足CD=1，∠DOE=45°，点则点E的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长.从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN=53°，已知斜坡CD的高DN=4米，坡比为1：2.5(即DN：CN=1：2.5)，DB=6米，求拉绳AC的长.(结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33)
16.(本小题9分)
如图，一次函数y=−2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为AB的中点，双曲线的一支y=kx(x>0)过C，连接OC，将OC向右平移至PD，线段PD交y=kx(x>0)于点E．
(1)求k的值；
(2)若PE：ED=1：3，求点E的坐标．
17.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC=5，sin∠ABC=35．
(1)求BC的长：
(2)BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．
18.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点(1,1)，(−12,−12),(− 3,− 3)，……都是和谐点．
(1)判断函数y=−4x的图象上______(填“是”或“否”)存在和谐点；
(2)若二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(52,52).
①求a、c的值；
②若1≤x≤m时，函数y=ax2+6x+c+14(a≠0)的最小值为−1，最大值为3，求实数m的取值范围．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
(1)求证：AB⋅CM=BP⋅PC；
(2)当△PCM为直角三角形时，求线段PB长度．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与双曲线y=kx相交于A，B两点，已知A(2,5).求：

(1)b和k的值；
(2)△OAB的面积．
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象都经过A(2,−4)、B(−4,m)两点．
(1)直接写出不等式ax+b≥kx的解集：______．
(2)求反比例函数和一次函数的表达式；
(3)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
22.(本小题9分)
如图，一次函数y=x−1的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(n,1)，B(−1,m)．
(1)求函数y=kx的表达式；
(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
(3)点C是反比例函数y=kx的图象上第一象限内的一个动点，当△ABC的面积等于△ABO的面积时，求C点的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、∵sinA=ac，
∴a=csinA，故本选项不符合题意；
B、∵tanA=ab，
∴a=btanA，故本选项不符合题意；
C、∵csB=ac，
∴c=acsB，故本选项符合题意；
D、sin2A+sin2B=(ac)2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据三角函数的定义就可以解决．
此题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系，熟练掌握三角函数的定义是关键．
2.【答案】C
【解析】解：根据定义得，cscB=cb，故B不符合题意；
cscB⋅sinA=cb⋅ac=ab，故A不符合题意；
cscA⋅csB=ca⋅ac=1，故C符合题意；
csc2A+csc2B=c2a2+c2b2=c4a2b2，故D不符合题意；
故选：C．
根据余割的定义：斜边与∠A的对边的比进行计算，再选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示，是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵k=6>0，
∴图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(−3,y1)在第三象限，点B(2,y2)在第一象限，
∴y2>0>y1，
故选：A．
根据k>0，图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小即可判断．
本题考查了反比例函数图象的性质，根据当k>0时，图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵正方形MNPQ内接于△ABC，BC边上的高AD=6，
∴∠ADC=∠ADB=∠CNP=∠BMQ=90°．
∵∠B=∠B，∠C=∠C，
∴△BMQ∽△BDA，△CNP∽△CDA，
∴BMBD=QMAD，NPAD=CNCD．
设正方形边长为x，则QM=NP=MN=x，
∴BM=x⋅BDAD，CN=x⋅CDAD，
∴BM+CN=x⋅(BD+CD)AD=x⋅BCAD．
又∵BM+CN=BC−MN，
∴x⋅BCAD=BC−MN，即12x6=12−x，
解得：x=4，
∴正方形MNPQ的边长为4．
故选：C．
根据正方形及三角形高的定义易得△BMQ∽△BDA，△CNP∽△CDA，再根据对应线段成比例可得BMBD=QMAD，NPAD=CNCD.设正方形边长为x，则QM=NP=MN=x，从而可求出BM+CN=x⋅(BD+CD)AD=x⋅BCAD.最后根据BM+CN=BC−MN，可列出关于x的方程，解出x的值即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．
5.【答案】D
【解析】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=45°，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=EC，∠DAE=∠DCE，
∴∠EAF=∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE=360°，
∴∠BCE+∠EFB=180°，
又∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE=∠BCE=∠EAF，
∴AE=EF，
∴EF=EC，故①正确；
∵EF=EC，∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴∠FAC=∠EFC=45°，
又∵∠ACF=∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴CFCG=CACF，
∴CF2=CG⋅CA，故②正确；
∵∠ECH=∠CDB，∠EHC=∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴CHDH=ECCD，
∴CHEC=DHCD，
∵∠ECH=∠DBC，∠BEC=∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴CHBC=ECBE，
∴CHEC=BCBE，
∴DHCD=BCBE，
∴BC⋅CD=DH⋅BE=16，故③正确；
∵BF=1，AB=4，
∴AF=3，AC=4 2，
∵∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠DCE，
又∵∠FAC=∠CDE=45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴AFDE=ACCD，
∴3DE= 2，
∴DE=3 22，故④正确，
故选：D．
①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE=EC，∠DAE=∠DCE，由四边形的内角和定理可证∠AFE=∠BCE=∠EAF，可得AE=EF=EC；
②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2=CG⋅CA；
③通过证明△ECH∽△CDH，可得CHEC=DHCD，通过证明△ECH∽△EBC，可得CHEC=BCBE，可得结论；
④通过证明△AFC∽△DEC，可得AFDE=ACCD，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：甲：∵△ABP与△PCQ相似，∠B=∠C=90°，
∴分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解：
①当△ABP∽△PCQ时，设BP=x，则PC=15−x，
∴ABPC=BPCQ，即915−x=x4，
解得：x=3或x=12，
②当△ABP∽△QCP时，设BP=x，则PC=15−x，
∴ABQC=BPCP，即94=x15−x，
解得：x=13513，
综上所述，当CQ=4，在BC上存在3个点P，使△ABP与△PCQ相似，故甲错误；
乙：∵AP⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
∴∠APB+∠CPQ=90°，
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ABPC=BPCQ，
设BP=x，则PC=15−x，
即915−x=xCQ，
∴CQ=(15−x)x9=−(x−152)2+22549，
∵−(x−152)2≤0，
∴当x=152时，CQ最大，且CQ=254，故乙正确．
故选：B．
(1)由△ABP与△PCQ相似，∠B=∠C=90°，分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解：设BP=x，则PC=15−x，将各值分别代入ABPC=BPCQ与ABQC=BPCP中计算求解即可判断甲的正误；由AP⊥PQ，可证△ABP∽△PCQ，则ABPC=BPCQ，设BP=x，则PC=15−x，即915−x=xCQ，解得CQ=(15−x)x9=−(x−152)2+22549，然后求最大值即可判断乙的正误．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB垂直于x轴，△OAB的面积为8，k>0，
∴k=2×8=16，
∴y=16x，
∵点P(a,4)也在此函数的图象上，
∴4=16a，
∴a=4，
故选：C．
根据k的几何含义可得k的值，从而得出反比例函数的解析式，进而把点P的坐标代入，从而得出a的值．
本题考查了反比例函数的“k“的几何函数，点和函数图象的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
8.【答案】A
【解析】解：依题意得方程x3+3x−2=0的实根是函数y=x2+3与y=2x的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，
∴它们的交点在第一象限，
当x=1时，y=x2+3=4，y=2x=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x=12时，y=x2+3=314，y=2x=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x=13时，y=x2+3=319，y=2x=6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x−2=0的实根x0所在的范围0故选：A．
首先根据题意推断方程y=x2+3的实根是函数y=x2+3与y=2x的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点，即可判定推断方程实根x所在范围．
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
9.【答案】C
【解析】解：如图，
在正方形ABCD中，AD//BC，AB=BC=AD=4，∠B=∠BAD=90°，
∴∠HAD=90°，
∵HF/​/AD，
∴∠H=90°，
∵∠HAF=90°−∠DAM=45°，
∴∠AFH=∠HAF．
∵AF= 2，
∴AH=HF=1=BE．
∴EH=AE+AH=AB−BE+AH=4=BC，
∴△EHF≌△CBE(SAS)，
∴EF=EC，∠HEF=∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠HEF+∠BEC=90°，
∴∠FEC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE=1，BC=4，
∴EC2=BE2+BC2=17，
∴S△ECF=12EF⋅EC=12EC2=172，故①正确；
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF=90°=∠H=∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH=HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP=PF=AH=1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ=AB=4，BQ=AP=1，FQ=FP+PQ=5，CQ=BC−BQ=3，
∵AD/​/BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴FPFQ=PGCQ，
∴15=PG3，
∴PG=35，
∴AG=AP+PG=85，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG= AG2+AE2=175，
∴△AEG的周长为AG+EG+AE=85+175+3=8，故②正确；
∵AD=4，
∴DG=AD−AG=125，
∴DG2+BE2=14425+1=16925，
∵EG2=(175)2=28925≠16925，
∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，
∴正确的有①②，
故选：C．
先判断出∠H=90°，进而求出AH=HF=1=BE.进而判断出△EHF≌△CBE(SAS)，得出EF=EC，∠HEF=∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2=17，即可得出①正确；
先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP=PF=AH=1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ=4，BQ=1，FQ=5，CQ=3，再判断出△FPG∽△FQC，得出FPFQ=PGCQ，求出PG=35，再根据勾股定理求得EG=175，即△AEG的周长为8，判断出②正确；
先求出DG=125，进而求出DG2+BE2=16925，再求出EG2=28925≠16925，判断出③错误，即可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出AG是解本题的关键．
10.【答案】1：2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE/​/AB，CD=AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴EF：FB=CE：AB．
∵CE=ED，
∴CE：CD=1：2，
∴EF：FB=1：2．
故答案为：1：2．
证明△CEF∽△ABF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△CEF∽△ABF是解答本题的关键．
11.【答案】 3
【解析】解：如图，连接AB、BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB=BC=AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴tan∠ABE=tan60°= 3，
故答案为： 3．
由正六边形的性质得AB=BC=AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC=60°，即可得出结论．
本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】(1,6)
【解析】解：在Rt△AOB中，
∵tan∠BAO=2，
∴BO=2OA，
∵A(4,0)，
∴B(0,8)，
∵A、B两点在函数y=ax+b上，
将A(4,0)、B(0,8)代入y=ax+b得：
4a+b=0b=8，解得：a=−2b=8，
∴y=−2x+8，
设C(x1,y1)，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则CE//BO，
∴△ACE∽△ABO，
∴ACAB=CEBO，
又∵BC=3AC，
∴ACAB=CEBO=14，
即CE8=14，则CE=2，即y1=2，
∴−2x1+8=2，
∴x1=3，
∴C(3,2)，
∴k=x1y1=3×2=6，
∴y=6x；
联立y=−2x+8y=6x，解得：x=1y=6或x=3y=2，
∴D(1,6)，
故答案为：(1,6)．
根据tan∠BAO=2，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；设C(x1,y1)，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则CE//BO，得出△ACE∽△ABO，根据相似三角形的性质解出点C的坐标，可得反比例函数表达式，联立反比例函数与一次函数即可求解．
本题考查反了反比例函数和一次函数的交点，涉及到相似三角形的性质与判定等，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键．
13.【答案】9 22
【解析】解：如图所示，设B(x1,y1)，A(x2,y2)，直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D，
∴x1⋅y1=x2⋅y2=−18，OD=−x1，BD=y1，
∴S△BOD=12⋅|x1⋅y1|=9，S△OAC=12⋅|x2⋅y2|=9，
∴S△OAC+S△OBD=18，
又∵阴影部分面积为18，
∴S△GBD+(S△OBD−S△OEC)+(S△OAC−S△OEC)=18，
∴S△GBD+(S△OBD−S△OEC)+(S△OAC−S△OEC)=S△OAC+S△OBD，
∴S△GBD=2S△OEC，
∵直线解析式为y=12x+b(b>0)，
令y=0，则x=−2b，
∴G(−2b,0)，
∴OG=2b，
∴S△BDG=12⋅DG⋅BD=12(2b+x1)y1，
设直线OB的解析式为：y=mx(m≠0)，
代入B点坐标后得：y=y1x1x，
∴E(x2,y1x1x2)，
∴OC=−x2，CE=y1x1⋅x2，
∴S△OCE=12OC⋅CE=12⋅(−x2)y1x1⋅x2=−y1x222x1，
∴12(2b+x1)y1=2⋅(−y1x222x1)，
∴2by1+x1⋅y1=−2y1x22x1，
∴2bx1+x12=−2x22，
∴2x22+x12=−2bx1，
由y=−18xy=12x+b，可得：12x2+bx+18=0，
其中Δ=b2−4×12×18=b2−36，
∵x1∴x1=−b− Δ，x2=−b+ Δ，
∴2(−b+ Δ)2+(−b− Δ)2=−2b(−b− Δ)，
化简得：3Δ+b2=4b Δ，
平方后得：9Δ2+b4=10b2Δ，
将Δ=b2−36代入可得：9(b2−36)2+b4=10b2(b2−36)，
∴9(b4−72b2+362)+b4=10b4−360b2，
由b>0，
解得：b=9 22，
∴b的值为9 22．
故答案为：9 22．
先设出A点和B点的坐标，利用反比例函数的性质，得到S△OAC+S△OBD=18，再由阴影面积也是18，得出S△GBD=2S△OEC，分别表示出点E、D的坐标后，将S△GBD和S△OEC表示出来，建立关于x1和x2的方程，联立y=−18x与y=12x+b(b>0)得到关于x的一元二次方程后，利用求根公式法得到x1和x2的含b的表达式，代入方程求解即可．
本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、三角形面积公式、用坐标表示距离、解一元二次方程等知识，要求学生熟记相关概念、性质以及公式，能在不同的三角形之间进行面积的转换，找出其中包含的关系，并通过建立方程求解，对学生的综合能力由一定的要求，蕴含了数形结合的思想方法等．
14.【答案】(43,4)
【解析】解：延长OD，AB交于M，作EM⊥OM于N，设EN=x，
∵∠EOD=45°，
∴△EON是等腰直角三角形，
∴ON=NE=x，
∵CO=2，CD=1，
∴OD= OC2+CD2= 22+12= 5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴DC=AB=4，
∴DB=BC−CD=3，
∵OC//BM，
∴△OCD∽△MBD，
∴OD：DM=CD：BD，
∴ 5：DM=1：3，
∴DM=3 5，
∴OM=OD+DM=4 5，
∴MN=4 5−x，
∵∠M=∠DOC，
∴tanM=tan∠DOC，
∴ENMN=DCOC=12，
∴4 5−x=2x，
∴x=4 53，
∴OE= 2EN= 2x=4 103，
∴AE= OE2−OA2= (4 103)2−42=43，
∴点E的坐标是(43,4)．
故答案为：(43,4)．
延长OD，AB交于M，作EM⊥OM于N，设EN=x，由勾股定理求出OD的长，由相似三角形的性质求出DM的长，由锐角的正切求出EN，得到OE的长，由勾股定理求出AE的长，即可点E的坐标．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，关键是作辅助线构造相似三角形．
15.【答案】解：如图，延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，
∴NE=DB=6米．
∵斜坡CD的高DN=4米，坡比为1：2.5(即DN：CN=1：2.5)，
∴CN=10米，
∴CE=CN+NE=16米．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，CE=16米，∠ACE=53°，
∴AC=CE cs∠ACE≈160.6≈26.7(米)．
故拉绳AC的长约为26.7米．
【解析】延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，那么NE=DB=6米．解Rt△CDN，求出CN=10米，得出CE=CN+NE=16米．解Rt△ACE，即可求出拉绳AC的长．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)把x=0代入y=−2x+4得：
y=4，
∴点B的坐标为(0,4)，
把y=0代入y=−2x+4得：
−2x+4=0，
解得：x=2，
∴点A的坐标为(2,0)，
∵C为AB的中点，
∴点C的坐标为(1,2)，
把(1,2)代入y=kx(x>0)得：
k=1×2=2．
(2)过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，如图所示：
∵将OC向右平移至PD，点C的坐标为(1,2)，
∴DG=2，
∵PE：ED=1：3，
∴PEPD=14，
∵DG⊥x轴，EF⊥x轴，
∴EF/​/DG，
∴△PEF∽△PDG，
∴EFDG=PEPD=14，
∴EF=14DG=12，
∴E点的纵坐标为12，
把y=12代入y=2x得：
12=1x，
解得：x=4，
∴点E的坐标为(4,12)．
【解析】(1)先根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，根据中点坐标求出点C的坐标，把点C的坐标代入y=kx(x>0)求出k的值即可；
(2)过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，根据DG=2，PE：ED=1：3，求出EF=12，将y=12代入y=2x得出x=4，即可得出点E的坐标．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，中点坐标公式，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握中点坐标公式．
17.【答案】解：(1)过点A作AD⊥BC于D，
∴sin∠ABC=ADAB．
∴AD=AB⋅sin∠ABC=5×35=3，
∴BD= 52−32=4．
∵AB=AC，
∴BC=2BD=8．
(2)补全图形，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴sin∠ACB=sin∠ABC=35．
∵BE⊥AC于E，sin∠ECB=BEBC，
∴BE=BC⋅sin∠ECD=8×35=245．

【解析】(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D，利用等腰三角形的性质可得BC=2BD，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义可求出BD的长，从而进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论可得sin∠ABC=sin∠ACB=35，然后Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】否
【解析】解：(1)不存在和谐点，理由如下，
函数y=−4x的和谐点为(x,x)，可得x2=−4，
∵任何数的平方大于等于0，
∴函数y=−4x的图象上不存在和谐点，
故答案为：否；
(2)①∵点(52,52)是二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的和谐点，
∴52=254a+15+c，
∴c=−254a−252，
∵二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c=x有且只有一个根，
∴Δ=25−4ac=0，
∴a=−1，c=−254；
②由①可知y=−x2+6x−6=−(x−3)2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
当x=1时，y=−1，
当x=3时，y=3，
当x=5时，y=−1，
∵函数的最大值为3，最小值为−1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为−1．
(1)设函数y=−4x的和谐点为(x,x)，可得x2=−4，求解即可；
(2)将点(52,52)代入y=ax2+6x+c，再由ax2+6x+c=x有且只有一个根，Δ=25−4ac=0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y=−x2+6x−6=−(x−3)2+3，当x=1时，y=−1，当x=3时，y=3，当x=5时，y=−1，则3≤m≤5时满足题意．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠BAP+∠B+∠APB=180°=∠APB+∠APM+∠CPM，∠APM=∠B，
∴∠BAP=∠CPM，
∴△ABP∽△PCM，
∴AB⋅CM=BP⋅PC；
(2)解：∵△ABP∽△PCM，△PCM为直角三角形，
∴△ABP为直角三角形．
①当∠APB=90°时，如图1所示．
∵AB=AC，
∴BP=PC=12BC=4cm；
②当∠BAP=90°时，如图2所示．
∵cs∠ABP=ABBP=45，
∴5BP=45，
∴BP=254．
综上所述：当△PCM为直角三角形时，点P、B之间的距离为4cm或254cm．
【解析】(1)根据AB=AC可得出∠B=∠C，由三角形的内角和定理结合平角等于180°，即可找出∠BAP=∠CPM，进而即可证出△ABP∽△PCM；
(2)根据相似三角形的性质可得出△ABP为直角三角形，分∠APB=90°及∠BAP=90°两种情况考虑，①当∠APB=90°时，根据等腰三角形的性质可求出BP的长度；②当∠BAP=90°时，利用解直角三角形可求出BP的长度．综上即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形，解题的关键是：(1)通过角的计算找出∠BAP=∠CPM；(2)分∠APB=90°及∠BAP=90°两种情况考虑．
20.【答案】解：(1)∵直线y=x+b与双曲线y=kx相交于A，B两点，已知A(2,5)，
∴5=2+b，5=k2．
解得：b=3，k=10．
(2)如图，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∴AD=2．
∵b=3，k=10，
∴y=x+3，y=10x．
由y=x+3y=10x得：x1=2y1=5或x2=−5y2=−2，
∴B点坐标为(−5,−2)．
∴BE=5．
设直线y=x+3与y轴交于点C．
∴C点坐标为(0,3)．
∴OC=3．
∴S△AOC=12OC⋅AD=12×3×2=3，
S△BOC=12OC⋅BE=12×3×5=152．
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=212．
【解析】(1)由直线y=x+b与双曲线y=kx相交于A，B两点，A(2,5)，即可得到结论；
(2)过A作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E根据y=x+3，y=10x，得到B(−5,−2)，C(0,3)，求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】x≤−4或0【解析】解：(1)由图象可知，不等式ax+b≥kx的解集为x≤−4或0故答案为：x≤−4或0(2)将A(2,−4)，B(−4,m)两点代入y=kx中，得k=2×(−4)=−4m，
解得k=−8，m=2，
∴反比例函数的表达式为y=−8x；
将A(2,−4)和B(−4,2)代入y=ax+b中得2a+b=−4−4a+b=2，
解得a=−1b=−2，
∴一次函数的表达式为：y=−x−2；
(3)设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C(−2,4)．
在y=−x−2中，当x=−2时，y=0，
∴D(−2,0)，
∴CD垂直x轴于点D，
∴S△ABC=S△ADC+S△BCD=12×4×(2+2)+12×4×(4−2)=8+4=12．
(1)根据图象求得即可；
(2)把A，B两点的坐标代入y=kx中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
(3)如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC=S△ACD+S△BCD即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=x−1的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(n,1)，B(−1,m)，
∴m=−1−1=−2，1=n−1，
∴n=2，
∴B(−1,−2)，A(2,1)，
∴k=1×2=2，
∴y=2x；
(2)由图象可知：
当−12时，直线在双曲线上方，
∴一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为：−12；
(3)∵△ABC的面积等于△ABO的面积，
∴点C到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，
∴将直线AB向上或向下平移1个单位，得到直线l1，l2，直线l1，l2与双曲线在第一象限的交点即为点C，
如图：

∵y=x−1，
∴l1：y=x，l2：y=x−2，
联立y=xy=2x，
解得：x= 2y= 2或x=− 2y=− 2(不合题意，舍去)；
∴C( 2, 2)；
联立y=x−2y=2x，
解得：x=1+ 3y= 3−1或x=1− 3y=−1− 3(不合题意，舍去)；
∴C(1+ 3, 3−1)；
综上：点C的坐标为：( 2, 2)或(1+ 3, 3−1)．
【解析】(1)点A(n,1)，B(−1,m)在一次函数上，求出m，n的值，待定系数法求出y=kx的表达式即可；
(2)找到直线在双曲线上方时，x的取值范围即可；
(3)△ABC的面积等于△ABO的面积，得到点C到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，根据平行线间的距离处处相等，将直线AB向上或向下平移1个单位，得到直线l1，l2，直线l1，l2与双曲线在第一象限的交点即为点C，进行求解即可．
本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．