2022-2023学年山东省枣庄市薛城区五校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年山东省枣庄市薛城区五校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  据统计，年我省出版期刊杂志总印数万册，其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  关于的方程的两个根互为相反数，则值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，平面直角坐标系中，点位于第一象限，点位于第四象限，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，则点的纵坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在边长为的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  如图，四边形中，，点在轴上，双曲线过点，交于点，连接若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点，点，点在该函数图象上，则；若方程的两根分别为和，且，则其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.  若，则锐角       

11.  不等式的解集为          ．

12.  已知不相等的实数、满足，，则______．

13.  如图，正方形边长为，点、分别为边、中点，分别交线段、于点、，则______．

14.  如图，内接于，于点，若，，的半径，则 ______ ．

15.  按规律排列的单项式：，，，，，，则第个单项式是        ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
“此生无悔入华夏，来世再做中国人”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：类接种了只需要注射一针的疫苗；类接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；类接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；类还没有接种图与图是根据此次调查得到的统计图不完整，请根据统计图回答下列问题：

此次抽样调查的人数是        人；
       ；        ；
为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集名志愿宣传者，现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？

19.  本小题分
一酒精消毒瓶如图，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图，，，，求点到直线的距离结果精确到．
参考数据：，，，，，

20.  本小题分
一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点做反比例函数．

求出，的值；
为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标；
在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由．

21.  本小题分
如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．
求证：≌；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，在中，，与相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连结．
求证：是的切线．
若，，求的半径．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．
求的值及．
求的最大值．
设的面积为，的面积为，若，求此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则
，即，
当时，方程无解，故舍去．
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．
本题考查的是根与系数的关系．，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立，即，．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，连结，作轴于点，则，
四边形是边长为的正方形，
，，
，
，，
，
，
点的纵坐标为，
故选：．
连结，作轴于点，由，，得，由，，得，则，则点的纵坐标为，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为．
在中，
，
．
，，
，
．
．
在中，
，
．
．
故选：．
过点作，先在中求出、、，再求出，最后在中，利用等腰三角形的性质得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的函数值及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，作于点，
则，

是边长为的等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故选：．
过点作于点，作于点，利用解直角三角形可得，，再证明≌，可得，即可求得答案．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
证明∽，求得：，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】
解：，
∽，
，
，

故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
，
，
若设
则，


则
在双曲线上


即．
故选：．
由于，可以设则，，由于，则，然后即可求出，依据可求，即求出的值．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出点坐标是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线对称轴为直线，
，即，正确．
由图象可得时，，
，错误．
抛物线经过，
，
，
，
，
抛物线开口向下，
，，错误．
点和点到抛物线对称轴距离相等，
，错误．
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，
抛物线解析式为，
的两根为抛物线与直线的交点的横坐标，
由图象可得，正确．
故选：．
根据抛物线对称轴为直线可得与的关系，从而判断，由时可判断，由抛物线经过及抛物线对称轴可求出与，与的关系，从而判断，由，，三点到对称轴的距离大小判断，将方程的解转化为抛物线与直线的交点问题，从而判断
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
先去分母、再移项即可．
本题考查的是解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：不相等的实数、满足，，
、可看作方程的两实数解，
，，
．
故答案为：．
利用已知条件可把、看作方程的两实数解，则根据根与系数的关系得到，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，，分别是，的中点，
，，，
，
和中，
，
≌，
，
而，
，
，即，
，
，
，
：：：，
，
，
．
故答案为：．
根据正方形的性质及勾股定理得的长，根据全等三角形的判定与性质得，然后由相似三角形的对应边成比例及三角形的面积公式可得答案．
此题考查的是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握其性质定理是解决此题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
首先作直径，连接，易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得．
【解答】
解：作直径，连接，

，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：第个单项式是，
第个单项式是，
第个单项式是，
第个单项式是，

第个单项式是．
根据题意归纳出各项系数的符号和字母指数的规律．
此题考查了整式规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：人，
故答案为：；
，
，
，
，
故答案为：，；
列表如下：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的有种，
恰好抽到一男一女的概率为．
根据图和图中的数据计算即可；
根据图和图中的数据和的数据求解即可；
采用列表法求求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了树状图或列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
 

19.【答案】解：过点作，垂足为，交的延长线于点，过点作，垂足为，

，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
点到直线的距离约为． 

【解析】过点作，垂足为，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据已知可得，从而可得，然后利用平行线的性质求出，从而求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长．
本题考查了解直角三角形的应，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：点在直线：上，
，
，
反比例函数经过点，
，
解得：；
在中，令，得，
，
令，得，
解得：，
，
为线段上的点，
设，且，
将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
，
点恰巧在反比例函数上，
，
解得：，，
，
，
当时，，
；
在轴上存在点，使得．
当点在轴正半轴上时，如图，过点作轴交轴于点，
则，
此时点；

当点在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点，
，
，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
令，得，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
先求得，，设，且，根据平移性质可得，代入，即可求得答案；
在轴上存在点，使得分两种情况：当点在轴正半轴上时，当点在轴负半轴上时，分别求得点的坐标即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平移变换的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，得出，利用设坐标表示出点是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形为正方形，
，，
又，
四边形为矩形，
，
的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，
，，
，
在和中，
，
≌；
连接，
的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，
，
设，
，
在中，，
，
，
，是公共角，
∽，
：：，
，，
，
：：，
，
≌，
，
． 

【解析】首先利用正方形的性质可以得到，，然后利用可以得到，进一步得到，最后利用全等三角形的判定方法即可求解；
连接，利用的垂直平分线得到，设，则，然后利用勾股定理即可求出，最后利用相似三角形的判定与性质解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质相似三角形的判定与性质，综合性比较强，对于学生的要求比较高．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

，
．
，
．
与相切于点，
．
．
．
在和中，
，
≌．
．
半径，
是的切线．
解：由得：，
，
．
∽．
，
，，
，
．
．
在中，
．
∽，
，
即：，
解得：． 

【解析】连接，利用与相切于点，可得；通过说明≌得到，结论得证；
利用，可得，于是∽，得到，将已知条件代入可得，利用勾股定理在中可求，进而求得的半径．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，掌握圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于点，与轴交于点，
，，，
，，
．
．
故，．
由点，可得，直线的表达式为．
由知，，
则抛物线的表达式为．
，
，，
．
，且，
当时，有最大值，为．
，，
．
又，
∽，
的面积为，的面积为，，
．
，
．
由可知，
，
解得，不符合题意，舍去．
故此时的值为． 

【解析】利用抛物线与轴、轴的交点，分别求出的值，点的坐标，再利用锐角三角形的概念求出．
利用点，的坐标求出直线的表达式，用点的坐标表示出点，的坐标，再利用两点间的距离公式表示出的长，最后利用求二次函数的最值的方法求出的最大值．
利用已知条件判定∽，再利用相似三角形的面积比的性质得出这两个相似三角形的相似比，通过利用锐角三角函数即可求出的值．
本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、抛物线上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．