2022-2023学年山东省菏泽市单县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市单县九年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−12023的相反数是( )
A. 2023B. 12023C. −2023D. −12023
2.新型冠状病毒呈圆形或者椭圆形，最大直径约0.00000014米，该数据用科学记数法可表示为( )
A. 14×10−6B. 14×10−7C. 1.4×10−6D. 1.4×10−7
3.下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
4.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
5.某射击爱好者的10次射击成绩(单位：环)依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是( )
A. 众数是9B. 中位数是8.5C. 平均数是9D. 方差是1.2
6.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.则sin∠BAC的值是( )
A. 55
B. 105
C. 2 55
D. 12
7.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC=75°；②FDBC=23；③△FPD∽△PHB；④PFPH= 33.其中正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC=4，∠ABC=60°.若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE=x，OE2=y，则y关于x的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：(1+ 3)(1− 3)=______．
10.若关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则m的取值范围是______．
11.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为______．
12.已知平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D的坐标为(−12,9)，点A的坐标为(−15,0).以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG，位似图形与原图形的位似比为2：3，点C的对应点为点F，则点F的坐标为______.(写出一个即可)
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,4)，B(3,4)，将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．
14.如图，直线l1：y=12x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线l2：y=x于点O1，过点O1作y轴的平行线交直线l1于点A1，以此类推，令OA=a1，O1A1=a2，…，On−1An−1=an，则an= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
15.2021年我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．成为“脱贫胜利年”.技术扶贫也使得某县的一个电子公司扭亏为盈，该公司的显卡厂2019年电脑A型显卡的成本是100元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年A型电脑显卡的成本降低到81元/个．
(1)求这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率；
(2)公司电商销售平台以高于成本价10%的价格购进A型电脑显卡，以117.1元/个销售时，平均每天可销售20个．为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发观，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天要保持盈利720元，试求单价应降低多少元？
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：2−2+| 6−3|+2 3cs45°−(−2)2023⋅(12)2023．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，其中a是方程a2−4a−5=0的根．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D为AB上一点，且∠ACD=∠B．
(1)求证：△ADC∽△ACB．
(2)若AD=2，BD=3，求AC的长．
19.(本小题6分)
在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示，测得斜坡BE的坡度i= 3：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD.(结果保留根号)
20.(本小题7分)
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程(要求必须选修一门且只能选修一门)？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
21.(本小题7分)
如图，直线y=ax+b与双曲线y=kx交于点A(2,n)和点B(−4,−2)，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．
(1)求直线y=ax+b和双曲线y=kx的解析式；
(2)连接BC，求△ABC的面积；
(3)在x轴上找一点P，使|PA−PB|的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标．
22.(本小题10分)
如图，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=4.延长OA至点C，使AC=8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF=BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求EF的长．
23.(本小题10分)
【问题呈现】
(1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE．
【类比探究】
(2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD，CE.请直接写出BDCE的值．
【拓展提升】
(3)如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=512.连接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G.求cs∠BFC的值．
24.(本小题10分)
抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于A(t,0)，B(8,0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx−6经过点B.点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
【解答】
解：−12023的相反数是12023，
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：∵0.00000014=1.4×10−7．
故选：D．
利用科学记数法的一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，确定a和n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
B、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；
D、圆台的左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意．
故选：C．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．
4.【答案】A
【解析】解：∵b>0，c<0，
∴△=b2−4c>0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
计算判别式的值即可判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意；
B、该组成绩的中位数是9+92=9，故本选项不符合题意；
C、该组成绩x−=110×(7+9+10+8+9+8+10+10+9+10)=9，故本选项符合题意；
D、该组成绩数据的方差S2=110×[(7−9)2+2×(8−9)2+3×(9−9)2+4×(10−9)2]=1，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据众数、中位数、平均数和方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
6.【答案】A
【解析】解：延长AC至格点D，连接BD，如图，
由题意得：
AB2=32+42=25，AD2=22+42=20，BD2=12+22=5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAC=BDAB= 55．
故选：A．
延长AC至格点D，连接BD，利用勾股定理及其逆定理得到△ABD为直角三角形，∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长AC至格点D，连接BD，利用勾股定理及其逆定理得到△ABD为直角三角形是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，AD/​/BC，
∴∠ABE=∠DCF=30°，∠BCF=∠DFP=60°，
∴∠DPC=∠CDP=75°，故①正确；
∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC−∠HBC=60°−45°=15°，
∴∠PDF=∠PBH=15°，
又∵∠BPH=∠DFP=60°，
∴△FPD∽△PHB，故③正确；
∴PFPH=DFBP，
∴PFPH=DFBP=DFBC=DFDC，
∵∠DCF=30°，
∴DC= 3DF，
∴DFDC= 33，
∴PFPH=DFBC= 33，故②错误，④正确；
故选：C．
由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠DPC=∠CDP=75°，故①正确；通过证明∠PDF=∠PBH=15°，再根据∠BPH=∠DFP=60°，可证△FPD∽△PHB，故③正确；由相似三角形的性质可得PFPH=DFBC= 33，故②错误，④正确；即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，二次函数的图象，求解函数解析式及函数值的范围是解题的关键．
过O点作OM⊥AB于M，由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AB，AC的长，结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求得OM，AM的长，设BE=x，则EM=5−x，利用勾股定理可求得y与x的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值的取值范围，即可判断函数的图象．
【解答】
解：过O点作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵BC=4，
∴AB=8，AC=4 3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=12AC=2 3，
∴OM=12AO= 3，
∴AM= AO2−OM2=3，
设BE=x，OE2=y，则EM=AB−AM−BE=8−3−x=5−x，
∵OE2=OM2+EM2，
∴y=(x−5)2+3，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为(5,3)，与y轴的交点为(0,28)，
∵0≤x≤8，
∴当x=8时y=12，
故符合解析式的图象为：
故选：C．
9.【答案】−2
【解析】解：原式=12−( 3)2
=1−3
=−2．
故答案为：−2．
利用平方差公式求解即可求得答案．
此题考查了二次根式的乘除运算．此题难度不大，注意能借助于平方差公式求解是解此题的关键．
10.【答案】m≥5
【解析】解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m−3，
解不等式2x+53−3<2−x，得：x<2，
∵不等式组无解，
∴m−3≥2，
∴m≥5，
故答案为：m≥5．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11.【答案】25π12
【解析】解：∵AC2+BC2=25，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
由旋转的性质可知，△AED的面积=△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积−△ABC的面积，
=扇形ADB的面积
=30π×52360
=25π12，
故答案为：25π12．
根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．
12.【答案】(−2,−6)或(2,6)
【解析】解：∵平行四边形ABCD，点D的坐标为(−12,9)，点A的坐标为(−15,0)，
∴C(3,9)，
∵以B为位似中心，点C的对应点为点F，位似图形与原图形的位似比为2：3，
∴点F的坐标为：(3×23,9×23)或[3×(−23),9×(−23)]即(−2,−6)或(2,6)．
故答案为：(−2,−6)或(2,6)．
利用平行四边形的性质结合位似图形的性质得出F点坐标．
此题主要考查了位似变换以及平行四边形的性质，正确得出C点坐标是解题关键．
13.【答案】6
【解析】解：过点F作FG⊥x轴，FH⊥y轴；过点D作DQ⊥x轴．
根据题意可知，AC=OE=BD，
设AC=OE=BD=a，
∴四边形ACEO的面积为4a，
∴k=4a，
∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG为△EDQ的中位线，
∴FG=12DQ=2，EG=12EQ=32，
∴四边形HFGO的面积为2(a+32)，
∴k=4a=2(a+32)，
解得：a=32，
∴k=6．
故答案为：6．
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
14.【答案】(12)n−1
【解析】解：把x=0代入y=12x+1得，y=1，
∴A(0,1)，
∴OA=a1=1，
把y=1代入y=x得，x=1，
∴O1(1,1)，
把x=1代入y=12x+1得，y=12×1+1=32，
∴A1(1,32)，
∴O1A1=a2=32−1=12，
把y=32代入y=x得，y=32，
∴O2(32,32)，
把x=32代入y=12x+1得，y=12×32+1=74，
∴A2(32,74)，
∴O2A2=a3=74−32=14，
…，
∴On−1An−1=an=(12)n−1．
故答案为：(12)n−1．
由直线l1的解析式求得A，即可求得a1，把A的坐标代入y=x求得O1的坐标，进而求得A1的坐标，即可求得a2，把A1的纵坐标代入y=x求得O2的坐标，进而求得A2的坐标，即可求得a3，…，得到规律，即可求得On−1An−1=an=(12)n−1．
本题考查了规律型：图形的变化类，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合函数的解析式是解题的关键．
15.【答案】解：(1)设这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率为x，
依题意，得100(1−x)2=81．
解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)．
答：平均下降率为10%．
(2)设单价应降低m元，则每个的销售利润为(117.1−m−81×110%)=(28−m)元，每天可售出(20+2m)个，
依题意得：(28−m)(20+2m)=720．
整理，得m2−18m+80=0．
解得m1=10，m2=8．
∵为了增加销量，
∴m=10，
答：单价应降低10元．
【解析】(1)设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价=2019年该类电脑显卡的出厂价×(1−下降率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设单价应降低m元，则每个的销售利润为(28−m)元，每天可售出(20+2m)个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】解：2−2+| 6−3|+2 3cs45°−(−2)2023⋅(12)2023
=14+3− 6+2 3× 22+(2×12)2023
=14+3− 6+ 6+12023
=14+3− 6+ 6+1
=414．
【解析】先计算绝对值、乘方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
17.【答案】解：(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9
=((a+1)(a−1)a−3−(a+1)(a−3)a−3)×(a−3)2a+1
=(a−1)(a−3)−(a−3)2
=2a−6，
∵a是方程a2−4a−5=0的根，
∴a=5或a=−1(不合题意舍去)，
则原式=4．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，由a为已知方程的根，得到a=5，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】(1)证明：在△ADC、△ACB中，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB；
(2)解：∵△ADC∽△ACB，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC2=AB⋅AD，
∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5，
∴AC2=5×2=10，
∴AC= 10．
【解析】(1)根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB；
(2)根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB⋅AD，将数值代入计算即可求出AC的长．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：
①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两三角形相似)；
②相似三角形的对应边成比例．
19.【答案】解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABFC是矩形，
∴CF=AB，
∵斜坡BE的坡度i= 3：4，坡底AE的长为8米，
∴AB=2 3米，
∴CF=2 3米，
设DF=x米，

在Rt△GEH中，tan∠GEH=GHEH= 3，
∴EH=2，
∴BG=AH=AE+EH=8+2=10(米)，
∵∠DGF=∠GEH=60°，∠DBG=30°，
∴DG=BG=10(米)，
在直角△DGF中，sin∠DGF=DFDG，
∴DF=5 3，
则CD=5 3+2 3=7 3(米)．
答：CD的高度是7 3米．
【解析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF−CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】(1)120；99；
(2)条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360∘=18(名)，
则选修“园艺”的学生人数为：120−30−33−18−15=24(名)，
补全条形统计图如下：
(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
【解析】解：(1)参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%=120(名)，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×33120=99°，
故答案为：120，99；
(2)条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360∘=18(名)，
则选修“园艺”的学生人数为：120−30−33−18−15=24(名)，
补全条形统计图如下：
(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
(1)由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
(2)求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx过点B(−4,−2)，
∴k=−4×(−2)=8，
∴反比例函数的表达式为：y=8x，
将点A(2,n)代入上式并解得：n=4，
故点A(2,4)，
将点A、B的坐标代入y=ax+b得2a+b=4−4a+b=−2，
解得a=1b=2，
故直线AB的表达式为：y=x+2；

(2)∵AC⊥x轴，垂足为C，
∴C(2,0)，
在y=x+2中，令y=0，则x=−2，
∴一次函数图象与x轴的交点D为(−2,0)，
∴CD=4，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×4×4+12×4×2=12；
(3)过点B作x轴的对称点B′(−4,2)，连接AB′交x轴于点P，|PA−PB|=|PA−PB′|=AB′为最大，
设直线AB′的解析式为y=mx+n，
∴2m+n=4−4m+n=2，
解得m=13n=103，
∴直线AB′的表达式为：y=13x+103，
令y=0，则x=−10，
故P点的坐标为(−10,0)．
【解析】(1)通过反比例函数过点B，求出反比例函数的表达式，进而求出点A的坐标，进而利用待定系数法求得一次函数的解析式；
(2)求得直线与x轴的交点D，利用S△ABC=S△ACD+S△BCD即可求解；
(3)证明|PA−PB|=|PA−PB′|=AB′为最大，即可求出点P的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，其中利用点的对称性确定点P的位置是本题的难点，题目体现了方程思想，综合性较强．
22.【答案】(1)证明：∵OA=2，AB=4，AC=8，
∴OAAB=ABAC，
∵∠OAB=∠BAC=90°，
∴△OAB∽△BAC，
∴∠BOA=∠ABC，
∵∠OBA+∠BOA=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
即∠OBC=90°，
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：如图，过点O作OG⊥BF于点G，

∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF=BE，
∴BG=AB，
∵OB=OB，
∴Rt△BOG≌Rt△BOA(HL)，
∴∠FBD=∠EBD，即BD平分∠FBE，
∵BF=BE，即△BEF为等腰三角形，
∴BD⊥EF，DF=DE，
∵OA=2，AB=4，
∴OB= OA2+AB2=2 5，
在Rt△ABO中，sin∠OBA=OAOB=22 5= 55，
在Rt△BDE中，sin∠DBE=DEBE=DE8= 55，
∴DE=8 55
∴EF=16 55．
【解析】(1)根据题意可得OAAB=ABAC，∠OAB=∠BAC=90°，以此推出△OAB∽△BAC，根据相似三角形的性质可得∠BOA=∠ABC，以此得到∠OBA+∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
(2)过点O作OG⊥BF于点G，根据题意可证明Rt△BOG≌Rt△BOA，以此得到BD平分∠FBE，则BD⊥EF，DF=DE，再根据sin∠OBA=OAOB=DEBE= 55，以此即可求解．
本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ADAE=ABAC=1 2，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC=1 2= 22；
(3)解：①∵ABBC=ADDE=512，∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE=513，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=513；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴cs∠BFC=ABAC=513．
【解析】(1)证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
(2)证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
(3)①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
24.【答案】解：(1)将B(8,0)代入y=ax2+114x−6，
∴64a+22−6=0，
∴a=−14，
∴y=−14x2+114x−6，
当y=0时，−14t2+114t−6=0，
解得t=3或t=8(舍)，
∴t=3，
∵B(8,0)在直线y=kx−6上，
∴8k−6=0，
解得k=34，
∴y=34x−6；
(2)作PM⊥x轴交于M，且C点坐标为(0,−6)，
∵P点横坐标为m，
∴P(m,−14m2+114m−6)，
∴PM=14m2−114m+6，AM=m−3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC+∠PAM=90°，∠APM+∠PAM=90°，
∴∠OAC=∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴OAOC=PMAM，即OA⋅MA=CO⋅PM，
3(m−3)=6(14m2−114m+6)，
解得m=3(舍)或m=10，
∴P(10,−72)；
(3)作PN⊥x轴交于BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，
∴PN=−14m2+114m−6−(34m−6)=−14m2+2m，
由△PQN∽△BOC，
∴PNBC=NQOC=PQOB，
∵OB=8，OC=6，BC=10，
∴QN=35PN，PQ=45PN，
由△CNE∽△CBO，
∴CN=54EN=54m，
∴CQ+12PQ=CN+NQ+12PQ=CN+PN，
∴CQ+12PQ=54m−14m2+2m=−14m2+134m=−14(x−132)2+16916，
当m=132时，CQ+12PQ的最大值是16916．
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；
(2)作PM⊥x轴交于M，可求PM=14m2−114m+6，AM=m−3，通过证明△COA∽△AMP，利用OAOC=PMAM，求m的值即可求P点坐标；
(3)作PN⊥x轴交于BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，通过证明△PQN∽△BOC，求出QN=35PN，PQ=45PN，再由△CNE∽△CBO，求出CN=54EN=54m，则CQ+12PQ=CN+PN=−14(x−132)2+16916，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．