2022-2023学年山东省枣庄市枣阳市六校联考九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省枣庄市枣阳市六校联考九年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，下列等式不一定成立的( )
A. a=csinAB. a=btanA
C. c=bcsBD. sin2A+sin2B=1
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示.如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则cscA=ca，那么下列说法正确的是( )
A. cscB⋅sinA=1B. cscB=bc
C. cscA⋅csB=1D. csc2A+csc2B=1
3.若点A(−3,y1)、B(2,y2)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1y2D. 无法确定
4.如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6，BC=12，则正方形MNPQ的边长为( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
5.如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE=32 2，正确的是( )
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
6.题目：“如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=15，P，Q分别是BC，CD上的点.”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下.下列判断正确的是( )
甲：若CQ=4，则在BC上存在2个点P，使△ABP与△PCQ相似；
乙：若AP⊥PQ，则CQ的最大值为254．
A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都错
7.如图，点A是反比例函数y=kx(x>0)图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8.若点P(a,4)也在此函数的图象上，则a的值是( )
A. 2
B. −2
C. 4
D. −4
8.方程x2+2x−1=0的根可视为直线y=x+2与双曲线y=1x交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x−2=0的实根x0所在的范围是( )
A. 00，图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小即可判断．
本题考查了反比例函数图象的性质，根据当k>0时，图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵正方形MNPQ内接于△ABC，BC边上的高AD=6，
∴∠ADC=∠ADB=∠CNP=∠BMQ=90°．
∵∠B=∠B，∠C=∠C，
∴△BMQ∽△BDA，△CNP∽△CDA，
∴BMBD=QMAD，NPAD=CNCD．
设正方形边长为x，则QM=NP=MN=x，
∴BM=x⋅BDAD，CN=x⋅CDAD，
∴BM+CN=x⋅(BD+CD)AD=x⋅BCAD．
又∵BM+CN=BC−MN，
∴x⋅BCAD=BC−MN，即12x6=12−x，
解得：x=4，
∴正方形MNPQ的边长为4．
故选：C．
根据正方形及三角形高的定义易得△BMQ∽△BDA，△CNP∽△CDA，再根据对应线段成比例可得BMBD=QMAD，NPAD=CNCD.设正方形边长为x，则QM=NP=MN=x，从而可求出BM+CN=x⋅(BD+CD)AD=x⋅BCAD.最后根据BM+CN=BC−MN，可列出关于x的方程，解出x的值即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．
5.【答案】D
【解析】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=45°，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=EC，∠DAE=∠DCE，
∴∠EAF=∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE=360°，
∴∠BCE+∠EFB=180°，
又∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE=∠BCE=∠EAF，
∴AE=EF，
∴EF=EC，故①正确；
∵EF=EC，∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴∠FAC=∠EFC=45°，
又∵∠ACF=∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴CFCG=CACF，
∴CF2=CG⋅CA，故②正确；
∵∠ECH=∠CDB，∠EHC=∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴CHDH=ECCD，
∴CHEC=DHCD，
∵∠ECH=∠DBC，∠BEC=∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴CHBC=ECBE，
∴CHEC=BCBE，
∴DHCD=BCBE，
∴BC⋅CD=DH⋅BE=16，故③正确；
∵BF=1，AB=4，
∴AF=3，AC=4 2，
∵∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠DCE，
又∵∠FAC=∠CDE=45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴AFDE=ACCD，
∴3DE= 2，
∴DE=3 22，故④正确，
故选：D．
①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE=EC，∠DAE=∠DCE，由四边形的内角和定理可证∠AFE=∠BCE=∠EAF，可得AE=EF=EC；
②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2=CG⋅CA；
③通过证明△ECH∽△CDH，可得CHEC=DHCD，通过证明△ECH∽△EBC，可得CHEC=BCBE，可得结论；
④通过证明△AFC∽△DEC，可得AFDE=ACCD，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：甲：∵△ABP与△PCQ相似，∠B=∠C=90°，
∴分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解：
①当△ABP∽△PCQ时，设BP=x，则PC=15−x，
∴ABPC=BPCQ，即915−x=x4，
解得：x=3或x=12，
②当△ABP∽△QCP时，设BP=x，则PC=15−x，
∴ABQC=BPCP，即94=x15−x，
解得：x=13513，
综上所述，当CQ=4，在BC上存在3个点P，使△ABP与△PCQ相似，故甲错误；
乙：∵AP⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
∴∠APB+∠CPQ=90°，
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ABPC=BPCQ，
设BP=x，则PC=15−x，
即915−x=xCQ，
∴CQ=(15−x)x9=−(x−152)2+22549，
∵−(x−152)2≤0，
∴当x=152时，CQ最大，且CQ=254，故乙正确．
故选：B．
(1)由△ABP与△PCQ相似，∠B=∠C=90°，分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解：设BP=x，则PC=15−x，将各值分别代入ABPC=BPCQ与ABQC=BPCP中计算求解即可判断甲的正误；由AP⊥PQ，可证△ABP∽△PCQ，则ABPC=BPCQ，设BP=x，则PC=15−x，即915−x=xCQ，解得CQ=(15−x)x9=−(x−152)2+22549，然后求最大值即可判断乙的正误．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB垂直于x轴，△OAB的面积为8，k>0，
∴k=2×8=16，
∴y=16x，
∵点P(a,4)也在此函数的图象上，
∴4=16a，
∴a=4，
故选：C．
根据k的几何含义可得k的值，从而得出反比例函数的解析式，进而把点P的坐标代入，从而得出a的值．
本题考查了反比例函数的“k“的几何函数，点和函数图象的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
8.【答案】A
【解析】解：依题意得方程x3+3x−2=0的实根是函数y=x2+3与y=2x的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，
∴它们的交点在第一象限，
当x=1时，y=x2+3=4，y=2x=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x=12时，y=x2+3=314，y=2x=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x=13时，y=x2+3=319，y=2x=6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x−2=0的实根x0所在的范围00)得到关于x的一元二次方程后，利用求根公式法得到x1和x2的含b的表达式，代入方程求解即可．
本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、三角形面积公式、用坐标表示距离、解一元二次方程等知识，要求学生熟记相关概念、性质以及公式，能在不同的三角形之间进行面积的转换，找出其中包含的关系，并通过建立方程求解，对学生的综合能力由一定的要求，蕴含了数形结合的思想方法等．
14.【答案】(43,4)
【解析】解：延长OD，AB交于M，作EM⊥OM于N，设EN=x，
∵∠EOD=45°，
∴△EON是等腰直角三角形，
∴ON=NE=x，
∵CO=2，CD=1，
∴OD= OC2+CD2= 22+12= 5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴DC=AB=4，
∴DB=BC−CD=3，
∵OC//BM，
∴△OCD∽△MBD，
∴OD：DM=CD：BD，
∴ 5：DM=1：3，
∴DM=3 5，
∴OM=OD+DM=4 5，
∴MN=4 5−x，
∵∠M=∠DOC，
∴tanM=tan∠DOC，
∴ENMN=DCOC=12，
∴4 5−x=2x，
∴x=4 53，
∴OE= 2EN= 2x=4 103，
∴AE= OE2−OA2= (4 103)2−42=43，
∴点E的坐标是(43,4)．
故答案为：(43,4)．
延长OD，AB交于M，作EM⊥OM于N，设EN=x，由勾股定理求出OD的长，由相似三角形的性质求出DM的长，由锐角的正切求出EN，得到OE的长，由勾股定理求出AE的长，即可点E的坐标．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，关键是作辅助线构造相似三角形．
15.【答案】解：如图，延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，
∴NE=DB=6米．
∵斜坡CD的高DN=4米，坡比为1：2.5(即DN：CN=1：2.5)，
∴CN=10米，
∴CE=CN+NE=16米．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，CE=16米，∠ACE=53°，
∴AC=CE cs∠ACE≈160.6≈26.7(米)．
故拉绳AC的长约为26.7米．
【解析】延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，那么NE=DB=6米．解Rt△CDN，求出CN=10米，得出CE=CN+NE=16米．解Rt△ACE，即可求出拉绳AC的长．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】解：(1)把x=0代入y=−2x+4得：
y=4，
∴点B的坐标为(0,4)，
把y=0代入y=−2x+4得：
−2x+4=0，
解得：x=2，
∴点A的坐标为(2,0)，
∵C为AB的中点，
∴点C的坐标为(1,2)，
把(1,2)代入y=kx(x>0)得：
k=1×2=2．
(2)过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，如图所示：
∵将OC向右平移至PD，点C的坐标为(1,2)，
∴DG=2，
∵PE：ED=1：3，
∴PEPD=14，
∵DG⊥x轴，EF⊥x轴，
∴EF/​/DG，
∴△PEF∽△PDG，
∴EFDG=PEPD=14，
∴EF=14DG=12，
∴E点的纵坐标为12，
把y=12代入y=2x得：
12=1x，
解得：x=4，
∴点E的坐标为(4,12)．
【解析】(1)先根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，根据中点坐标求出点C的坐标，把点C的坐标代入y=kx(x>0)求出k的值即可；
(2)过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，根据DG=2，PE：ED=1：3，求出EF=12，将y=12代入y=2x得出x=4，即可得出点E的坐标．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，中点坐标公式，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握中点坐标公式．
17.【答案】解：(1)过点A作AD⊥BC于D，
∴sin∠ABC=ADAB．
∴AD=AB⋅sin∠ABC=5×35=3，
∴BD= 52−32=4．
∵AB=AC，
∴BC=2BD=8．
(2)补全图形，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴sin∠ACB=sin∠ABC=35．
∵BE⊥AC于E，sin∠ECB=BEBC，
∴BE=BC⋅sin∠ECD=8×35=245．

【解析】(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D，利用等腰三角形的性质可得BC=2BD，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义可求出BD的长，从而进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论可得sin∠ABC=sin∠ACB=35，然后Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】否
【解析】解：(1)不存在和谐点，理由如下，
函数y=−4x的和谐点为(x,x)，可得x2=−4，
∵任何数的平方大于等于0，
∴函数y=−4x的图象上不存在和谐点，
故答案为：否；
(2)①∵点(52,52)是二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的和谐点，
∴52=254a+15+c，
∴c=−254a−252，
∵二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c=x有且只有一个根，
∴Δ=25−4ac=0，
∴a=−1，c=−254；
②由①可知y=−x2+6x−6=−(x−3)2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
当x=1时，y=−1，
当x=3时，y=3，
当x=5时，y=−1，
∵函数的最大值为3，最小值为−1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为−1．
(1)设函数y=−4x的和谐点为(x,x)，可得x2=−4，求解即可；
(2)将点(52,52)代入y=ax2+6x+c，再由ax2+6x+c=x有且只有一个根，Δ=25−4ac=0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y=−x2+6x−6=−(x−3)2+3，当x=1时，y=−1，当x=3时，y=3，当x=5时，y=−1，则3≤m≤5时满足题意．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠BAP+∠B+∠APB=180°=∠APB+∠APM+∠CPM，∠APM=∠B，
∴∠BAP=∠CPM，
∴△ABP∽△PCM，
∴AB⋅CM=BP⋅PC；
(2)解：∵△ABP∽△PCM，△PCM为直角三角形，
∴△ABP为直角三角形．
①当∠APB=90°时，如图1所示．
∵AB=AC，
∴BP=PC=12BC=4cm；
②当∠BAP=90°时，如图2所示．
∵cs∠ABP=ABBP=45，
∴5BP=45，
∴BP=254．
综上所述：当△PCM为直角三角形时，点P、B之间的距离为4cm或254cm．
【解析】(1)根据AB=AC可得出∠B=∠C，由三角形的内角和定理结合平角等于180°，即可找出∠BAP=∠CPM，进而即可证出△ABP∽△PCM；
(2)根据相似三角形的性质可得出△ABP为直角三角形，分∠APB=90°及∠BAP=90°两种情况考虑，①当∠APB=90°时，根据等腰三角形的性质可求出BP的长度；②当∠BAP=90°时，利用解直角三角形可求出BP的长度．综上即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形，解题的关键是：(1)通过角的计算找出∠BAP=∠CPM；(2)分∠APB=90°及∠BAP=90°两种情况考虑．
20.【答案】解：(1)∵直线y=x+b与双曲线y=kx相交于A，B两点，已知A(2,5)，
∴5=2+b，5=k2．
解得：b=3，k=10．
(2)如图，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∴AD=2．
∵b=3，k=10，
∴y=x+3，y=10x．
由y=x+3y=10x得：x1=2y1=5或x2=−5y2=−2，
∴B点坐标为(−5,−2)．
∴BE=5．
设直线y=x+3与y轴交于点C．
∴C点坐标为(0,3)．
∴OC=3．
∴S△AOC=12OC⋅AD=12×3×2=3，
S△BOC=12OC⋅BE=12×3×5=152．
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=212．
【解析】(1)由直线y=x+b与双曲线y=kx相交于A，B两点，A(2,5)，即可得到结论；
(2)过A作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E根据y=x+3，y=10x，得到B(−5,−2)，C(0,3)，求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】x≤−4或0