2023-2024学年山东省枣庄市滕州市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市滕州市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若＝，则ab＝（ ）
A．6B．C．1D．
2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，某公园有一个入口，A、B、C三个出口，甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3B．C．3D．
5．若，则k的值为（ ）
A．B．1C．﹣1D．
6．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是（ ）
A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B．如果AC2＝AB•BC，那么线段AB被点C黄金分割
C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比
D．0.618是黄金比的近似值
7．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣3x+b不经过第一象限，则关于x的方程bx2+x+2023＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为（ ）
​
A．8cmB．10cmC．D．
9．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝DCD．AB⊥DC
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上．
11．若＝＝（a≠c），则＝ ．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为 ．
13．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 ．
14．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A2023的坐标为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过 秒时，△PBQ与△ABC相似．
三、解答题：共8小题，满分72，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤．
17．用适当方法解下列方程：
（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；
（2）x2﹣4x+5＝0；
（3）2x2+3x﹣4＝0；
（4）4（x2﹣x）＝﹣1．
18．6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（6，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）连接AA1，∠OAA1的度数为 °；
（3）以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内将△ABO缩小得到△A2B2O，画出△A2B2O，直接写出点A2的坐标．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
21．头盔，是人们骑行时的“安全防护盾，生命守护神”，作为学生的我们，更要树立安全第一的意识．某经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售150个，9月份销售216个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
23．如图：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．
24．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证：EG2＝AF•GF；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．
参考答案
一、选择题：每题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1．若＝，则ab＝（ ）
A．6B．C．1D．
【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
解：∵＝，
∴ab＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出结论．
解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
3．如图，某公园有一个入口，A、B、C三个出口，甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的结果有3种，
∴甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的概率为＝，
故选：B．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3B．C．3D．
【分析】由矩形的性质得OA＝OB，再由线段垂直平分线的性质得AB＝AO，则OA＝AB＝OB＝1，得BD＝2，然后由勾股定理即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，求出BD＝2是解题的关键．
5．若，则k的值为（ ）
A．B．1C．﹣1D．
【分析】首先根据条件，根据a+b+c＝0和a+b+c≠0，可得到k值．
解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），因而k＝＝＝﹣1；
当a+b+c≠0时，k＝＝．
故k的值是﹣1或．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
6．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是（ ）
A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B．如果AC2＝AB•BC，那么线段AB被点C黄金分割
C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比
D．0.618是黄金比的近似值
【分析】若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比；根据黄金分割的定义，分别对各个选项进行判断，问题即可得解．
解：根据黄金分割的定义可知A、B、D正确．
C、如果线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C错误．
故选：C．
【点评】本题属于概念理解类题目，解题的关键是掌握黄金分割的定义．
7．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣3x+b不经过第一象限，则关于x的方程bx2+x+2023＝0的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
【分析】由直线解析式求得b≤0，然后确定△的符号即可．
解：∵直线y＝﹣3x+b不经过第一象限，
∴b≤0，
当b＝0时，方程bx2+x+2023＝0是一次方程，有一个根，
当b＜0时，
∵关于x的方程bx2+x+2023＝0，
∴Δ＝12﹣4b×2023＞0，
∴关于x的方程bx2+x+2023＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为（ ）
​
A．8cmB．10cmC．D．
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝6cm，根据勾股定理得到AB＝10（cm），根据菱形的面积公式即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝6cm，
∴AB＝＝10（cm），
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF，
∴×16×12＝10EF，
∴EF＝，
故EF的长为cm，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝DCD．AB⊥DC
【分析】先由三角形中位线定理证四边形EGFH是平行四边形，再证∠GFH＝90°，即可得出结论．
解：若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是AB⊥DC，理由如下：
∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG＝AB，EG∥AB，
同理，FH＝AB，FH∥AB，GF∥DC，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AB⊥DC，GF∥DC，FH∥AB，
∴GF⊥FH，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故选：D．
【点评】此题考查了中点四边形的性质、矩形的判定以及三角形中位线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段DG长，利用中位线得到MN长即可．
解：连接DG，EF，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形AEFD是矩形，
∴M是ED的中点，
在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1，
∴BC＝DC＝4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG＝＝＝，
在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，
∴MN是三角形EDG的中位线，
∴MN＝DG＝．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上．
11．若＝＝（a≠c），则＝ ．
【分析】根据等比的性质即可求解．
解：∵＝＝（a≠c），
∴＝．
故答案为：．
【点评】考查了比例线段，关键是熟练掌握比例的等比的性质．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为 ．
【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得OA＝OC，∠BAO＝30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性质得OB＝，然后由勾股定理求出OA的长，即可解决问题．
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
13．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 2019 ．
【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．
解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．
故答案为：2019．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A2023的坐标为 （672，675） ．
【分析】根据当A1、A2、A3的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可．
解：∵A1（﹣2，1），A4（﹣1，2），A7（0，3），A10（1，4），…，
∴A3n﹣2（n﹣3，n），
∵2023＝3×675﹣2，
∴A2023的坐标为（672，675），
故答案为：（672，675）．
【点评】本题考查的是位似变换、点的变化规律，解题的关键是仔细观察图形、总结出点的坐标的变化规律．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为 ．
【分析】连接AP、EF，依据PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解．
解：如图，连接AP、EF，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∴四边形AEPF为矩形．
∴AP＝EF．
∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．
∵点P从B点沿着BD往D点移动，
∴当AP⊥BD时，AP取最小值．
下面求此时AP的值，
在Rt△BAD中，
∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，
∴BD＝＝＝10．
∵S△ABD＝AB•AD＝AP•BD，
∴AP＝＝＝．
∴EF的长度最小为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．
16．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过 1或2.5 秒时，△PBQ与△ABC相似．
【分析】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，根据路程公式可得AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．
解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB＝BQ：BC，
即（10﹣2t）：10＝4t：20，
解得t＝2.5（s）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB＝BP：BC，即4t：10＝（10﹣2t）：20，
解得t＝1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有，即，解得t＝2.5s
（2）当BP与BC对应时，有，即，解得t＝1s
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为：1或2.5
【点评】此题考查相似三角形的判定，本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来．
三、解答题：共8小题，满分72，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤．
17．用适当方法解下列方程：
（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；
（2）x2﹣4x+5＝0；
（3）2x2+3x﹣4＝0；
（4）4（x2﹣x）＝﹣1．
【分析】（1）先移项，然后提取公因式将原方程转化为（x﹣3）（5x﹣2）＝0，进而得x﹣3＝0或5x﹣2＝0，然后解这两个一元一次方程即可得出原方程的解；
（2）利用求根公式法，先求出根的判别式Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，据此得原方程没有实数根；
（3）利用求根公式法，先求出根的判别式Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，然后代入求根公式即可得出原方程的解；
（4）先将原方程化为一般式4x2﹣4x+1＝0，再进行因式分解得（2x﹣1）2＝0，据此可得原方程的解．
解：（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3），
移项得：5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（5x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或5x﹣2＝0，
由x﹣3＝0，解得：x＝3，
由5x﹣2＝0，解得：x＝0.4，
∴原方程的解为：x1＝3，x2＝0.4．
（2）x2﹣4x+5＝0，
a＝1，b＝﹣4，c＝5，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴原方程没有实根．
（3）2x2+3x﹣4＝0，
a＝2，b＝3，c＝﹣4，
Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41，
∴x＝＝，
∴原方程的解为：x1＝，x2＝；
（4）4（x2﹣x）＝﹣1，
将原方程转化为一般式得：4x2﹣4x+1＝0，
∴（2x﹣1）2＝0，
∴2x﹣1＝0，
解得：x＝，
∴原方程的解为：x1＝x2＝
【点评】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、求根公式法解一元二次方程的方法和步骤是解决问题的关键．
18．6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有 60 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由优秀的人数除以所占百分比即可；
（2）求出C合格的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】（1）调查的学生共有＝＝60（名）；
故答案为：60；
（2）C合格的人数＝60﹣24﹣18﹣3＝15（名），
（3）1200×＝480（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）画树状图如下：
∴一共有12中等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，
∴所选2人恰好是一男一女的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（6，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）连接AA1，∠OAA1的度数为 45 °；
（3）以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内将△ABO缩小得到△A2B2O，画出△A2B2O，直接写出点A2的坐标．
【分析】（1）将点A、B分别绕点O逆时针旋转90°得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得出答案；
（2）根据旋转的性质、等腰直角三角形的性质可得答案；
（3）根据位似变换的概念作出点A、B的对应点，再与点O首尾顺次连接即可．
解：（1）如图，△OA1B1即为所求；
（2）∵OA＝OA1，且∠AOA1＝90°，
∴∠OAA1＝45°；
故答案为：45；
（3）如图，△OA2B2即为所求，A2（3，）．
【点评】本题主要考查作图—旋转变换与位似变换，解题的关键是掌握旋转变换与位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；
（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴m、n的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，
此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
21．头盔，是人们骑行时的“安全防护盾，生命守护神”，作为学生的我们，更要树立安全第一的意识．某经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售150个，9月份销售216个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）（600﹣×5）＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识；正确的识别图形是解题的关键．
23．如图：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．
【分析】（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，△CPQ与△CAB的面积比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；
（2）由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形ABQP的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长；
（3）因为不能确定哪个角是直角，故应分类讨论．
①当∠MPQ＝90°，且PM＝PQ时．因为△CPQ∽△CAB，根据相似三角形边长的比等于高的比，可求出PQ的值；
②∠PQM＝90°时与①相同；
③当∠PMQ＝90°，且PM＝MQ时，过M作ME⊥PQ，则ME＝PQ，根据相似三角形边长的比等于高的比，可求出PQ的值．
解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∵S△PQC＝S四边形PABQ，
∴S△PQC：S△ABC＝1：2，
∴＝＝，
∴CP＝•CA＝2；
（2）∵△PQC∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝，
∴CQ＝CP，
同理：PQ＝CP，
∴l△PCQ＝CP+PQ+CQ＝CP+CP+CP＝3CP，
I四边形PABQ＝PA+AB+BQ+PQ，
＝4﹣CP+AB+3﹣CQ+PQ
＝4﹣CP+5+3﹣CP+CP
＝12﹣CP，
∴12﹣CP＝3CP
∴CP＝12
∴CP＝；
（3）∵AC＝4，AB＝5，BC＝3
∴△ABC中AB边上的高为
①当∠MPQ＝90°，且PM＝PQ时，
∵△CPQ∽△CAB
∴＝
∴＝
∴PQ＝
②当∠PQM＝90°时与①相同
③当∠PMQ＝90°，且PM＝MQ时
过M作ME⊥PQ
则ME＝PQ
∴△CPQ的高为﹣ME＝﹣PQ
∴＝
∴＝
∴PQ＝．
综合①②③可知：点M存在，PQ的长为或．
【点评】本题比较复杂，综合考查了相似三角形及直角三角形的性质，难度较大．
24．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证：EG2＝AF•GF；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG＝4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE＝AD﹣GH求解即可．
【解答】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，
∴∠DGF＝∠DFG．
∴GD＝DF．
∴DG＝GE＝DF＝EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴＝，即DF2＝FO•AF．
∵FO＝GF，DF＝EG，
∴EG2＝GF•AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2 ，
∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．
解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．
∵DF＝GE＝2 ，AF＝10，
∴AD＝＝4 ．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴＝，即 ＝．
∴GH＝．
∴BE＝AD﹣GH＝4 ﹣＝．
【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2＝FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．