2024年陕西省商洛市山阳县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省商洛市山阳县中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.36的算术平方根为( )
A. ±6B. 6C. −6D. 18
2.如图，a/​/b，c⊥d，∠1=35°，则∠2的度数为( )
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 85°
3.计算：6x2y3÷(−xy)2=( )
A. 6yB. −6yC. 6xyD. −6xy
4.如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连结MN，若AB=6，BC=10，则MN为( )
A. 3
B. 4
C. 1
D. 2
5.把函数y=2x−1的图象向上平移3个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是( )
A. (1,5)B. (2,4)C. (0,3)D. (2,6)
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，BC=2 3，则AO的长是( )
A. 4
B. 2
C. 2 3
D. 3
7.如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，C为弦AB中点，点D是弧AB的中点，CD=2cm，杯内水面宽AB=8cm，则圆的半径的长是( )
A. 6cm
B. 5cm
C. 4cm
D. 2 3cm
8.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=−x2+4x+2m，则m的值是( )
A. −72B. −12C. 1D. −12或−72
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.比较大小： 17______4.
10.如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为______．
11.如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度满足BC2=AC⋅AB，若小提琴的总长度AB为59cm，则琴身BC的长为______cm．
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象上，若菱形OABC的面积为8 3，则k的值为______．
13.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在线段AD上，以DE为边构造正方形DEFG，使点G在CD的延长线上，连接CF，取CF的中点H，连接DH.当点E在AD边上运动(不含A，D)时，DH的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：(−3)2−6×|−23|+( 3−1)0．
15.(本小题5分)
解不等式组：2x−1≤x,1+x<8+3(x−1).
16.(本小题5分)
解方程：xx−1+2=32x−2．
17.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=120°.请用尺规作图法，在四边形ABCD内求作一点E，使点E到边AB，BC，AD的距离均相等.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，AB=DC，∠ADE=∠B.求证：AD=DE．
19.(本小题5分)
3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动.已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的2倍多3人，求应调往甲处的人数．
20.(本小题5分)
甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为______．
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
21.(本小题6分)
数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼AB的高度.(结果保留整数)
22.(本小题7分)
能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求.新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.为了解某品牌一款新能源汽车的耗电量，相关技术人员在汽车试验基地对该款新能源汽车做了耗电量试验，发现汽车剩余电量Q(kW⋅h)是汽车行驶路程s(km)的一次函数，试验数据记录如下．
(1)根据表中的数据，求Q与s之间的函数表达式；
(2)当汽车剩余电量为39.2kW⋅h时，若以75km/h的速度匀速行驶，该汽车最多还能行驶多长时间？
23.(本小题7分)
国家利益高于一切，国家安全人人有责，2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，随机抽取m名学生进行测试，对成绩(百分制)进行整理、描述和分析，成绩划分为A(90≤x≤100)，B(80≤x<90)，C(70≤x<80)，D(60≤x<70)四个等级，并制作出不完整的统计图如图所示：

B等级数据(单位：分)：80，80，81，82，85，86，86，88，89，80．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空：m= ______，n= ______；
(2)抽取的m名学生中，B等级成绩的中位数是______分，众数是______分；
(3)这所学校共有1800名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A等级的学生人数．
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若BC=6，AC=8，求DE的长．
25.(本小题8分)
如图①，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上.若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图②所示的平面直角坐标系.设拱门上的点距地面的竖直高度为y(单位：m)，水平距离为x(单位：m)．
(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，求出拱门所在抛物线的函数表达式；
(2)一段时间后，公园重新维修拱门，新拱门上的点距地面的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)满足函数关系式y=−0.288(x−5)2+7.2，若记“原拱门”的跨度(跨度为拱门底部两个端点间的距离)为d1“新拱门”的跨度为d2，试说明d1与d2之间的大小关系．
26.(本小题10分)
【问题提出】
(1)如图①，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE，DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为______；②若CE=2，则CA的值为______；
【问题探究】
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿边AC翻折得到△ADC，点B的对应点为点D，点E，F分别在DC，BC边上，且∠EAF=12∠DAB，试猜想线段BF，EF，DE之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
(3)如图③是公园人工湖的平面示意图，现要在人工湖对角线BD上架一座人行景观桥，但由于年代久远，人工湖规划书上只留下以下数据，CD=CB，AD=30m，AB=40m，∠BAD+∠BCD=120°，且AC=32CD，求对角线BD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：36的算术平方根是： 36=6．
故选：B．
直接利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，即可得出答案．
本题考查算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵c⊥d，∠1=35°，
∴∠3=90°−35°=55°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠3=55°．
故选：A．
由垂直的定义求出∠3=90°−35°=55°，由平行线的性质推出∠2=∠3=55°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠2=∠3=55°．
3.【答案】A
【解析】解：6x2y3÷(−xy)2=6x2y3÷x2y2=6y，
故选：A．
根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵BD=AB，AB=6，BM⊥AD，
∴BD=6，AM=MD，
∵BC=10，
∴CD=BC−BD=10−6=4，
∵AM=MD，AN=AC，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MN=12DC=2，
故选：D．
根据等腰三角形的性质得到AM=MD，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：把函数y=2x−1的图象向上平移3个单位后的解析式为y=2x−1+3=2x+2，
当x=1时，y=2×1+2=4，故选项A不符合题意；
当x=2时，y=2×2+2=6，故选项B不符合题意，选项D符合题意；
当x=0时，y=2×0+2=2，故选项C不符合题意；
故选：D．
根据题意，写出平移后的函数解析式，然后即可判断各个选项中的点是否在平移后的直线上．
本题考查一次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，写出平移后的函数解析式．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，
∴AO=BO，
又∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴tan∠BAC=BCAB= 3，
∴AB=BC 3=2 3 3=2，
∴AO=AB=2，
故选：B．
根据矩形的对角线互相平分且相等结合∠AOB=60°得出三角形ABO是等边三角形，再通过解直角三角形即可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，正确得出三角形ABO是等边三角形是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，连接OA、OC，
则OC⊥AB，
AC=AB=4( cm )，
在Rt△OAC中，
设OA=x，则，OC=x−2
则：x2−(x−2)2=42，
解得：x=5，
∴半径为5(cm)，
故选：B．
连接OA，OC，先由垂径定理可得AC长，再由勾股定理得OC长，从而求出CD长．
本题考查垂径定理，正确利用构建直角三角形是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵一条抛物线的函数表达式为y=−x2+4x+2m，
∴这条抛物线的顶点为(2,2m+4)，
∴关于x轴对称的抛物线的顶点(2,−2m−4)，
∵它们的顶点相距6个单位长度．
∴|2m+4−(−2m−4)|=6，
∴4m+8=±6，
当4m+8=6时，m=−12，
当4m+8=−6时，m=−72，
∴m的值是−12或−72．
故选：D．
根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．
9.【答案】>
【解析】【分析】
此题考查实数的大小比较．根据实数的大小比较解答即可．
【计算】
解：∵ 16=4，
∴ 17>4．
10.【答案】84°
【解析】解：由题意得：∠EOF=108°，∠BOC=120°，∠OEB=72°，∠OBE=60°，
∴∠BOE=180°−72°−60°=48°，
∴∠COF=360°−108°−48°−120°=84°，
故答案为：84°．
利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】59 5−592
【解析】解：∵BC2=AC⋅AB，
∴ACBC=BCAB= 5−12，
∴BC= 5−12×59=59 5−592．
故答案为：59 5−592．
把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计算即可．
本题考查了比例线段，黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．
12.【答案】4 3
【解析】解：连接AC交OB于D．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，
∴菱形的面积=4S△AOD，
∵顶点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴8 3=12k×4，
解得：k=4 3．
故答案为：4 3．
连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB.根据反比例函数y=kx中k的几何意义，再根据菱形的面积为8 3，即可求出k的值．
本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
13.【答案】 2
【解析】解：如图，连接GH，EH，AC，BD，AC与BD交于点O，延长FE到点M，使EM=FE，连接DM，CM，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FE=DE，∠FED=90°，
∴DE=EM，∠DEM=90°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴∠EDM=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，AC⊥BD，
∴点D、O、M、B在一条直线上，
∵点E是FM的中点，点H是CF的中点，
∴EH是△CFM的中位线，
∴EH=12CM，
当CM最小时，EH最小，
即当CM⊥BD时，CM最小，
∵CO⊥BD，
∴M点与O点重合时，CM最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=CD=4，∠ADC=90°，AO=CO，
由勾股定理得AC= AD2+CD2= 42+42=4 2，
∴CO=12AC=12×4 2=2 2，
∴EH=12CO=12×2 2= 2，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠FGC=90°，
∵点H是CF的中点，
∴GH=12CF=FH，
∴点H在FG的垂直平分线上，
∵四边形DEFG是正方形，
∴点H也在ED的垂直平分线上，
∴EH=DH，
∴DH= 2，
即DH的最小值为 2；
故答案为： 2．
连接GH，EH，AC，BD，AC与BD交于点O，延长FE到点M，使EM=FE，连接DM，CM，根据正方形的性质先证点D、O、M、B在一条直线上，再证EH是△CFM的中位线，并推出当CM⊥BD时，CM最小，根据正方形的性质得出CO⊥BD，故点M与点O重合，求出对角线AC的长，即可得出CO的长，于是得出EH的长，再根据正方形的性质证EH=DH，即可得出DH的最小值．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质及三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键，此题有点难度，需认真思考．
14.【答案】解：原式=9−6×23+1
=9−4+1
=6．
【解析】利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，零指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15.【答案】解：2x−1≤x①1+x<8+3(x−1)②，
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x>−2，
所以不等式组的解集为−2【解析】先分别解两个不等式得到x≤1和x>−2，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
16.【答案】解：原方程去分母得：2x+4(x−1)=3，
去括号得：2x+4x−4=3，
移项，合并同类项得：6x=7，
系数化为1得：x=76，
检验：将x=76代入2(x−1)得2×16=13≠0，
故原分式方程的解为x=76．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：如图，分别作∠ABC和∠BAD的平分线，相交于点E，
则点E到边AB，BC，AD的距离均相等，
即点E为所求．

【解析】分别作∠ABC和∠BAD的平分线，交点即为点E．
本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
且∠ADE=∠B，
∴∠ADC=∠ADE+∠BAD，
又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
在△BAD和△CDE中，
∠B=∠C∠BAD=∠CDEBD=CE，
∴△BAD≌△CDE(AAS)
∴AD=DE．
【解析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由三角形的外角性质和已知证出∠BAD=∠CDE，证△BAD≌△CDE(AAS)，由全等三角形的性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20−x)人，
根据题意得：23+x−2[17+(20−x)]=3，
解得：x=18．
答：应调往甲处18人．
【解析】设应调往甲处x人，则调往乙处(20−x)人，根据增派人数后在甲处植树的人数比乙处植树人数的2倍多3人，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)通过卡片上的字，可以看到是轴对称图形的为“文”，
∴卡片上的字是轴对称图形的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如解图，

由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为212=16．
(1)直接利用概率公式计算即可；
(2)通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可．
此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，；
21.【答案】解：根据题意得：四边形BDCG是矩形，
∴CG=BD，CD=BG=4.7m，
在Rt△BCG中，∠BCG=13°，
∴BG=CG⋅tan13°，
∴4.7≈CG×0.23，
∴CG=20.4(m)，
Rt△ACG中，∠ACG=22°，
∴AG=CG⋅tan 22°≈20.4×0.40=8.2(m)，
∴AB=AG+BG=4.7+8.2≈13(m)，
答：教学楼的AB高度约为13m．
【解析】根据题意得四边形BDCE是矩形，则可得CG=BD，CD=BG=4.7m，分别在Rt△BCG与Rt△ACG中，利用三角函数的知识，求得CG与AG的长，进而可得AB．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形．
22.【答案】解：(1)设Q=ks+b(k≠0)，
∵经过点(0,80)，(100,63)，
∴b=80100k+b=63．
解得：k=−0.17b=80．
∴Q与s之间的函数表达式为：Q=−0.17s+80；
(2)由题意得：Q=39.2kW⋅h，v=75km/h，设该汽车还能行驶t小时．
∴39.2=−0.17×75t+80．
解得：t=3.2．
答：该汽车最多还能行驶3.2小时．
【解析】(1)设Q=ks+b(k≠0)，把表中的任意两对数代入后求解可得k和b的值，即可求得Q与s之间的函数表达式；
(2)设汽车还能行驶t小时，把剩余电量及相应的速度代入(1)中得到的函数解析式，即可求得该汽车最多还能行驶多长时间．
本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：若函数符合一次函数解析式，可设函数解析式为：y=kx+b(k≠0)．
23.【答案】50 20 83.5 80
【解析】解：(1)m=5÷10%=50，
∵n%=1050×100%=20%，
∴n=20；
故答案为：50，20；
(2)B等级成绩从小到大排列处在中间位置的两个数是82和85，因此中位数是82+852=83.5，
成绩出现次数最多的是80，因此众数是80，
故答案为：83.5，80；
(3)1800×2050=720(人)，
答：估计成绩能达到A等级的学生人数有720人．
(1)根据D等级的人数和所占的百分比即可求出m的值，根据总人数和B等级的人数即可求出n的值；
(2)根据中位数和众数的定义即可得出答案；
(3)用1800A等级所占的百分比即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵C是BD的中点，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC/​/AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6，AC=8，
∴AB= BC2+AC2=10，
又∵∠BAC=∠CAE，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴CECB=ACAB，
即EC6=810，
∴CE=245，
∵点C是BD的中点，
∴BD=CD，
∴CD=BC=6，
∴DE= CD2−CE2=185．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE=∠OCA，进而得到OC/​/AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
(2)利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可求出DE的长．
本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提．
25.【答案】解：(1)根据表中数据可知，“门高”为7.2m，顶点坐标为(6,7.2)，
∴抛物线的解析式为y=a(x−6)2+7.2，
把(2,4)代入解析式得：a(2−6)2+7.2=4，
解得a=−0.2，
∴拱门所在抛物线的函数表达式为y=−0.2(x−6)2+7.2；
(2)对于y=−0.2(x−6)2+7.2，
令y=0，则−0.2(x−6)2+7.2=0，
解得x=0或x=12，
d1=12−0=12(m)；
对于y=−0.288(x−5)2+7.2，
令y=0，则−0.288(x−5)2+7.2=0，
解得x=0或x=10，
∴d2=10−0=10(m)，
∴d1>d2．
【解析】(1)根据表中数据得出“门高”，并找到顶点坐标，设出抛物线解析式的顶点式，再用待定系数法求出函数解析式；
(2)令y=0，方别解方程求出方程的解，进而求出d1和d2，从而得出结论．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26.【答案】45° 2
【解析】解：(1)①∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠EAC=90°，AE=AC，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°；
故答案为：45°；
②∵△ACE是等腰直角三角形，
∴CA=CE 2=2 2= 2；
故答案为： 2；
(2)EF=BF+DE，理由如下：
延长CD到K，使DK=BF，如图：
∵∠B=90°，沿边AC翻折得到△ADC，点B的对应点为点D，
∴∠ADC=∠B=90°，AB=AD，
∴∠ADK=90°=∠B，
∵DK=BF，
∴△ADK≌△ABF(SAS)，
∴AK=AF，∠DAK=∠BAF，
∵∠EAF=12∠DAB，
∴∠DAE+∠BAF=∠EAF，
∴∠DAE+∠DAK=∠EAF，即∠EAK=∠EAF，
∵AE=AE，
∴△EAK≌△EAF(SAS)，
∴EF=EK，
∵EK=DK+DE，
∴EF=BF+DE；
(3)将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE，连接AE，过点E作EM⊥AB，交AB的延长线于点M，如图：
∴AD=BE，CA=CE，∠ACD=∠ECB，∠ADC=∠EBC，
∴∠ACD+∠ACB=∠ECB+∠ACB，即∠BCD=∠ACE，
∵CDCA=CBCE，
∴△DCB∽△ACE，
∵AC=32CD，
∴BDAE=CDAC=23，
∴BD=23AE，
∵∠BAD+∠BCD=120°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−∠BAD−∠BCD=360°−120°=240°，
∵∠ADC=∠EBC，
∴∠ABC+∠EBC=240°，
∴∠ABE=120°，
∴∠EBM=60°，
∵AB=40m，BE=AD=30m，
∴BM=15m，EM= 3BM=15 3m，
∴AM=AB+BM=40+15=55(m)，
∴AE= AM2+EM2= 552+(15 3)2=10 37，
∴BD=23AE=20 373(m)，
∴对角线BD的长为20 373m.
(1)①将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，可得∠EAC=90°，AE=AC，△ACE是等腰直角三角形，故∠ACE=45°；
②由△ACE是等腰直角三角形，可得CA=CE 2= 2；
(2)延长CD到K，使DK=BF，证明△ADK≌△ABF(SAS)，可得AK=AF，∠DAK=∠BAF，而∠EAF=12∠DAB，即可得△EAK≌△EAF(SAS)，EF=EK，从而EK=DK+DE，有EF=BF+DE；
(3)将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE，连接AE，过点E作EM⊥AB，交AB的延长线于点M，证明△DCB∽△ACE，可得BDAE=CDAC=23，BD=23AE，由∠BAD+∠BCD=120°，可证∠ABC+∠EBC=240°，即可得∠EBM=60°，根据AB=40m，BE=AD=30m，知BM=15m，EM= 3BM=15 3m，由勾股定理得AE= AM2+EM2=10 37，故BD=23AE=20 373m.
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转变换的性质等知识，根据题意作出辅助线，利用三角形全等是解决问题的关键．课题
测量教学楼AB的高度
测量方案示意图
测得数据
CD=4.7m，∠ACG=22°，∠BCG=13°
说明
图上所有点均在同一平面内
参考数据
sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cs13°≈0.97，tan13°≈0.23
汽车行驶路程s/km
0
50
100
150
200
…
汽车剩余电量Q/kW⋅h
80
71.5
63
54.5
46
…
水平距离x/m
2
3
6
8
10
12
竖直高度y/m
4
5.4
7.2
6.4
4
0