2024年陕西省商洛市山阳县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义即可求解，解题的关键是熟知负数的倒数还是负数．
【详解】解：的倒数为．
故选：B．
2. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，可得选项C的图形．
故选：C．
3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据数轴确定的范围，然后即可选出合适的值．
【详解】解：由数轴可知，
，
，
，
的值可以是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，涉及绝对值，实数大小比较等知识，采用数形结合方法是解题关键．
4. 如图，中，D、E分别是、的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键.
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据线段中点的定义解答即可.
【详解】 D、E分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
平分，
，
，
，
D是的中点，
，
．
故选：B
5. 如图，在菱形中，于点，，，则菱形的周长是（ ）
A. 10B. 20C. 40D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】由，设AE=4x，AB=5x，利用勾股定理可得BE=3x，再根据菱形的性质得AB=BC，建立方程求出x，即可求周长．
【详解】∵
∴在Rt△ABE中，
设AE=4x，AB=5x，则BE=3x，
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC
∴5x=3x+4
解得x=2
∴AB=5x=10
则菱形的周长=4×10=40
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，利用正弦值求边长，根据比值设未知数，并利用菱形的性质建立方程是解题的关键．
6. 已知一次函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）
A. ，B. 方程的解是
C. 当时，D. 随增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，以及一次函数的性质．根据图象可得，该一次函数的图象过一、二、三象限，进而可得k、b的值，以及与轴交点，函数的增减性，即可得出答案．
【详解】解：图象过一、二、三象限，且与轴交于正半轴，
，，
故A错误，不符合题意；
图象与轴交于点，
方程的解是，
故B正确，符合题意；
由图知，当时，，
故C错误，不符合题意；
，
随的增大而增大；
故D错误，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，四边形为内接四边形，，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解直角三角形；连接交于点，先证明得出，，根据四边形为的内接四边形，进而得出，结合已知条件得出，是等腰直角三角形，设，进而解即可求解．
【详解】解：如图所示，连接交于点，

∵
∴
∵，

∴
又∵
∴
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴
∴
∴
∵，，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
8. 已知二次函数的图象经过点和.若，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，进而得出点P关于对称轴的对称点，再结合抛物线的开口方向分两种情况讨论即可．
【详解】二次函数的对称轴是，
可知点的对称点是．
因为，抛物线开口向上，
当时，函数值y随着x的增大而减小，则时，；
当时，函数值y随着x的增大而增大，则时，．
所以m的取值范围是或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据抛物线的对称轴和开口方向确定函数的增减性是解题的关键．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在，，，0这四个数中，最小的数是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.
根据0大于负数，即可排除0，其它的可知，故，即可得最小的数为．
【详解】解：∵．
∴
故答案为．
10. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据积的乘方和单项式的乘法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了多边形的对角线．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值．
【详解】解：设多边形有条边，
则，
解得，
故答案为：7．
12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数图象上，点P是矩形OABC内的一点，连结PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】两个阴影图形均为三角形，根据三角形的面积公式计算推出阴影部分的面积和为矩形面积的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形OABC为矩形，
∴AB=OC，
由反比例函数的性质得：S矩形OABC=6，
∵，
∴
S矩形OABC
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质和图形的转换等知识，解题关键在于将阴影的面积转换为已知条件．
13. 如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，连接交于点取的中点连接，由菱形的性质可得，得出都是等边三角形，从而得出再由勾股定理求得，得出
最后得出即可求解．
【详解】如图，连接交于点取的中点连接，
直线将菱形分成面积相等的两部分，
直线经过点
四边形是菱形，
，
都是等边三角形，
的最大值为
故答案为：
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据二次根式性质，零指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
15. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”原则是解答此题的关键．
先分别解出两个不等式的解，其解的公共部分即为不等式组的解；
【详解】
解：由不等式①得：
由不等式②得：，
所以不等式组的解集为．
16 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】首先计算括号里面的减法，再计算括号外的除法，化简后，再代入x的值进一步计算即可．
【详解】解： ，
=，
=，
=，
=，
当时，
原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相关方法是解题关键．
17. 如图，在中，平分，交于点D，请用尺规作图法在边上分别确定点E、F，连接，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线尺规作图，菱形的判定方法，作线段的垂直平分线交边分别于点E、F，即可得到菱形，熟练掌握菱形判定方法是关键．
【详解】解：作线段的垂直平分线交边分别于点E、F，连接，则四边形是菱形，
故四边形即为所求，
理由如下：
由已知得：，
在中，平分，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
18. 如图，点在线段上，且，，，连接、，求证．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、利用平行线的性质证明，由两直线平行，内错角相等得出，再证明即可得证．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即．
19. 现政府大力提倡绿色、低碳出行，越来越多的人选择用电动车出行．某商场销售的一款电动车每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利．求这款电动车每台的进价．
【答案】这款电动车每台的进价为2400元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款电动车每台的进价为x元，根据利润标价折扣进价列出方程求解即可．
【详解】解：设这款电动车每台的进价为x元，
根据题意，得，
解得．
答：这款电动车每台的进价为2400元．
20. 在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同．
（1）当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？
（2）该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表）
在线支付：
现金支付：
如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．
【答案】（1）
（2）选择在线支付购物．理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）求出去两种支付方式摸一次奖获10元礼金券的概率，比较即可得到结果．
【小问1详解】
解：该纸盒里装有3个红球和2个白球，
现随机摸出一个球，这个球是红球的概率是．
【小问2详解】
解：选择在线支付购物．记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，
在线支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（甲），
现金支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（乙），
因为在线支付获奖的概率比现金支付获奖的概率大，所以选择在线支付购物．
21. 每逢节假日，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．天晴时打开天幕，下雨时收拢天幕，若从减少到，求点下降的高度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】点下降的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，得出四边形为矩形．在中，，分别求得，时，的值，求其差即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
．
，，
．
．
四边形为矩形．
．
在中，，
．
当时，
当时，，
．
当从减少到时，点下降的高度约为．
22. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．
（1）用前半部分电量行驶时，平均每千米用电________千瓦时；
（2）求直线的函数表达式；
（3）根据小明提供的数据，这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶多少千米？
【答案】（1）0.2 （2）直线的函数表达式为
（3）这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶105千米
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，有理数减法的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键．
（1）根据函数图象，剩余电量一半时，即35千瓦时，汽车已行驶的路程为千米，即可得到答案；
（2）利用待定系数法求出段的函数解析式，求出解析式即可；
（3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程为千米，再结合（1）所得结论，得到前半部分电量行驶的路程为175千米，后半部分电量行驶的路程为千米，作差即可．
【小问1详解】
解：由函数图象可知，剩余电量一半时，即35千瓦时，汽车已行驶的路程为千米，
平均每千米用电量为：（千瓦时/千米）
故答案为：；
【小问2详解】
解：设段的函数解析式为，
将点和代入解析式得：
，解得：，
段的函数解析式为，
【小问3详解】
解：当时，，解得：，
即当汽车电量为0时，行驶的路程为千米，
由（2）可知，当汽车剩余电量为35千瓦时时，行驶的路程是千米，
即前半部分电量行驶的路程为千米，后半部分电量行驶的路程为千米，
千米，
答：这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶千米，
23. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取10人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图表如下：
指标y数据统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在被调查的患者中，指标x的中位数是________，在被调查的非患者中，指标x的平均数是________，指标y的中位数是________；
（2）将10名患者和非患者的指标x的方差分别记作和，则；（填“”“”或“”）
（3）若来该院就诊的病人中有800名非患者，请你估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数．
【答案】（1）0.23，0.42，0.67
（2）
（3）估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数为240人
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，平均数，方差与波动性之间的关系，用样本估计总体等等：
（1）根据中位数和平均数的定义求解即可；
（2）根据波动越大，方差越大，波动越小，方差越小，结合折线统计图即可得到答案；
（3）用800乘以样本中非患者中指标y低于0.6的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：把患者中的指标x从低到高排列，处在第5位和第6位的指标分别为和，
∴在被调查的患者中，指标x的中位数是；
把在被调查的非患者中的指标y从低到高排列，处在第5位和第6位的指标分别为和，
∴在被调查的非患者中，指标y的中位数是；
在被调查的非患者中，指标x的平均数是；
【小问2详解】
解：由折线统计图可知，患者的指标x的波动程度比非患者的指标x的波动程度要大，
∴患者的指标x的方差比非患者的指标x的方差大，
∴；
【小问3详解】
解：人，
∴估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数为240人．
24. 如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)首先根据等边对等角可证得，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；
(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得．
【小问1详解】
证明：



【小问2详解】
解：如图：连接BE
是的直径，AB=4
，
是的切线

又


又
，解得
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键．
25. 如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标．
【答案】（1）该抛物线的函数表达式为
（2）点N的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键．
（1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式；
（2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案．
【小问1详解】
解：将点，，代入，
得解得，
该抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：如图，连接，顶点P的坐标为．
设，
当时，，解得，，
．
，，，
．
当时，，
，解得．
点N的坐标为．
当时，，
，解得，
点N的坐标为．
综上所述，点N的坐标为或．
26. 【问题提出】
（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______；
【问题探究】
（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长；
【问题解决】
（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．

【答案】（1）；（2）；（3）种植花卉的最少费用为元；草坪的最少费用为元
【解析】
【分析】（1）过点作于点，进而可得，，解，即可求解；
（2）作的外接圆交于点，连接，得出，证明，根据即可求解．
（3）将绕点顺时针旋转得到，根据是等腰梯形，，，得出，作的外接圆，连接，则当最小时，种植花卉的面积最小，即当重合时，即为的直径时，最小，进而求得种植花卉的最少费用，当面积最大时，则四边形面积最小，当重合时，最大，则最大，进而求得最大值，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示， 过点作于点，

∵是的外心，
∴，
∵，
∴
即外接圆的半径为
（2）如图所示，作的外接圆交于点，连接，

∵四边形是矩形，
∴
∴是直径，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵，
由（1）可得，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴
设，则，
∵，，，
∴
∵
∴
解得：或（负值舍去）
∴
（3）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，

∴
∴
∵梯形，，，，
∴等腰梯形，，
∴
∴在直线上，
∴
∵，
∴
作的外接圆，连接，
∴
∴，
而
∴当最小时，种植花卉的面积最小，
∴当重合时，即为的直径时，最小，
此时
∴平方米．
∵种植花卉每平方米元，
∴种植花卉的最少费用为元；
∵在四边形内部种植草坪，
即当面积最大时，则四边形面积最小，
∵在上，
∴当重合时，最大，则最大
此时，如图所示，

∵，
∴
∵
∴
∵
∵
∴
∴
∴
∴是的角平分线，
∴到的距离相等，
设
∵
∴
∵，，
在中，
∴
∵是等腰梯形，
∴
∴
∴平方米．
∵种植草坪每平方米元，
∴种植草坪的最少费用为元；
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
5
10
5
球
两红
一红一白
两白
礼金券/元
10
5
10
患者
0.19
0.22
0.3
0.32
0.37
0.41
0.5
0.52
0.6
0.63
非患者
0.42
0.5
0.58
0.6
0.63
0.71
0.78
0.8
0.85
0.93