2023-2024学年陕西省商洛市山阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省商洛市山阳县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−3)0的结果为( )
A. 3B. −3C. 1D. 0
2.下列图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若分式x−4x+4的值为0，则x的值为( )
A. −4B. 0C. 4D. ±4
4.计算(−13m2n−3)2的结果是( )
A. 19m4n−6B. 19m4n6C. 16m4n−6D. 16m4n6
5.如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A=52°，BD是AE的垂直平分线，垂足为D，则∠EBC的度数为( )
A. 52°B. 76°C. 104°D. 128°
6.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E.若CD=2，AB=7，则△ABD的面积为( )
A. 3.5B. 7C. 14D. 28
7.嘉淇一家自驾游去某地旅行，导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少半小时.设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是( )
A. 75x=901.8x−12B. 751.8x=90x−12C. 751.8x=90x+12D. 75x=901.8x+12
8.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在BA的延长线上，EF⊥BC，垂足为F，EF与AC交于点O，若OA=4，OC=3，则BE的长为( )
A. 7
B. 9
C. 11
D. 12
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
9.分解因式：x3−4x= ．
10.已知正n边形的一个内角为135°，则n的值是 ．
11.如图，△ABC≌△DEC，点B的对应点E在线段AB上，∠DCA=40°，则∠B的度数是______．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D在BC上，BD=4，点P、E分别是AC、AB上动点，当DP+EP的值最小时，BE=5，则AE的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
化简：(x+y)(x−3y)+(2x2y+6xy2)÷2x．
14.(本小题6分)
计算：(3x−y)2−(3x+2y)(3x−2y)．
15.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法，在边AB上求作一点D，使点D到点A的距离与点D到点C的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)
16.(本小题6分)
如图，点E在△ABC的边AC上，且AE=BC，过点A作AD//BC，∠D=∠BAC.求证：DE=AB．
17.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A(3,0)，B(−1,3)，C(−2,−1)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
(2)请直接写出点A′，B′，C′的坐标：A′(______，______)，B′(______，______)，C′(______，______).
18.(本小题8分)
如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC=CD=12米，过D点作DE⊥BF，使点E，C，A在一条直线上，测得DE=16米，求A，B之间的距离．
19.(本小题9分)
如图，有一块长(3a+b)米，宽(2a+b)米的长方形广场，园林部门要对阴影区城进行绿化，空白区城进行广场硬化，阴影部分是边长为(a+b)米的正方形．
(1)计算广场上需要硬化部分的面积；
(2)若a=30，b=10，求硬化部分的面积．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若∠BAC=60°，AD=5，求线段OD的长．
21.(本小题10分)
中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化.某茶店1月份第一周绿茶的销售总额为1500元，红茶的销售总额为900元，且红茶每克售价是绿茶每克售价的1.2倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克.设绿茶每克销售价格为x元．
(1)请用含x的代数式填表：
(2)请列出方程，并求出绿茶、红茶每克的售价分别是多少元？
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，若AO=2，AB=2OA．
(1)作A点关于y轴的对称点E，并连接BE，求证：△ABE是等边三角形；
(2)如图2，P是射线OA上任意一点，以PB为边向上作等边△PBD，DA的延长线交y轴于点Q．
①求AQ的长；
②若OB=2 3，求BD的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：(−3)0=1．
故选：C．
根据零指数幂：a0=1(a≠0)进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图案都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.【答案】C
【解析】解：∵分式x−4x+4的值为0，
∴x−4=0且x+4≠0，
∴x=4．
故选：C．
根据分式的值为零的条件解答即可．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：(−13m2n−3)2=19m4n−6．
故选：A．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】C
【解析】解：∵BD是AE的垂直平分线，
∴AB=BE，
∴∠E=∠A=52°，
∴∠EBC=∠E+∠A=104°．
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质，得AB=BE，根据等腰三角形的性质，得∠E=∠A，再根据三角形外角的性质即可求解．
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质；要熟练掌握并综合运用这些性质．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD=2，
∴DE=CD=2，
∵AB=7，
∴△ABD的面积是：12×AB×DE=12×7×2=7，
故选：B．
根据角平分线的性质得出DE=CD=2，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE=CD是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，
由题意得：75x=901.8x+12，
故选：D．
设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
8.【答案】C
【解析】解：∵OA=4，OC=3，
∴AC=7，
∵AB=AC=7，EF⊥BC，
∴∠B=∠C，∠BFE=90°，
∴∠BAC=180°−2∠B，∠E=180°−∠B−∠BFE=90°−∠B，
∵∠AOE=∠BAC−∠E=90°−∠B=∠E，
∴AE=OA=4，
∴BE=AB+AE=11，
故选：C．
由题意知AC=7，∠B=∠C，∠BFE=90°，则∠BAC=180°−2∠B，∠E=90°−∠B，O，∠AOE=∠E，可得AE=OA=4，根据BE=AB+AE，计算求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等角对等边求线段长度是解题的关键．
9.【答案】x(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用分解因式．
应先提取公因式x，再对其利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x3−4x，
=x(x2−4)，
=x(x+2)(x−2)．
故答案为：x(x+2)(x−2)．
10.【答案】8
【解析】解：∵正n边形的一个内角为135°，
∴正n边形的一个外角为180°−135°=45°，
∴n=360°÷45°=8．
故答案为：8．
根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．
本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．
11.【答案】70°
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，CE=CB，
∴∠BCE=∠DCA=40°．
∴∠B=∠CEB=12(180°−40°)=70°，
故答案为：70°．
根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠DCE，CE=CB，即可得到答案．
本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
12.【答案】9
【解析】解：作点D关于直线AC的对称点F，过F作FE⊥AB于E，交AC于P，
则此时DP+EP的值最小，
∵∠FEB=90°，∠B=60°，
∴∠BFE=30°，
∴BF=2BE=10，
∵点D关于直线AC的对称点F，
∴CD=12(BF−BD)=3，
∴BC=7，
∴AB=2BC=14，
∴AE=14−5=9，
故答案为：9．
作点D关于直线AC的对称点F，过F作FE⊥AB于E，交AC于P，则此时DP+EP的值最小，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路径问题，含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】解：(x+y)(x−3y)+(2x2y+6xy2)÷2x
=x2+xy−3xy−3y2+(xy+3y2)
=x2+xy−3xy−3y2+xy+3y2
=x2−xy．
【解析】利用多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果．
本题考查了多项式乘多项式，整式的除法，掌握多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则，合并同类项法则是解决问题的关键．
14.【答案】解：原式=(3x)2−6xy+y2−(3x)2+(2y)2
=9x2−6xy+y2−9x2+4y2
=−6xy+y2+4y2
=5y2−6xy．
【解析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可．
本题主要考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
15.【答案】解：如图，点D即为所求．

【解析】作线段AC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求．
本题考查作图−复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】证明：∵AD/​/BC，
∴∠DAE=∠C，
在△DEA和△ABC中，
∠DAE=∠C∠D=∠BACAE=CB，
∴△DEA≌△ABC(AAS)，
∴DE=AB．
【解析】利用AAS证明△DEA≌△ABC，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DEA≌△ABC．
17.【答案】3 0 −1 −3 −2 1
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)由图可知，A′(3,0)，B′(−1,−3)，C′(−2,1)．
故答案为：3；0；−1；−3；−2；1．
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDCBC=DC∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=DE=16米，
答：A，B之间的距离为16米．
【解析】证△ABC≌△EDC(ASA)，得AB=DE=16米即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意，广场上需要硬化部分的面积是
2a+b3a+b−a+b2
=6a2+2ab+3ab+b2−a+b2
=6a2+5ab+b2−(a2+2ab+b2)
=6a2+5ab+b2−a2−2ab−b2
=(5a2+3ab)m2
答：广场上需要硬化部分的面积是(5a2+3ab)m2．
(2)把a=30，b=10代入，
5a2+3ab=5×302+3×30×10=5400 m2
答：广场上需要硬化部分的面积是5400m2．
【解析】(1)由题意可知空白部分的面积=长方形的面积−阴影部分的面积．长方形的面积是长×宽，即(3a+b)(2a+b)；阴影部分是正方形，其面积是(a+b)2，所以空白部分的面积是(2a+b)(3a+b)−(a+b)2；
(2)将a，b的数值代入(1)题中的代数式求值即可．
本题考查多项式乘多项式在几何图形中的应用．图中空白部分的面积不方便直接求出，可通过间接求面积法获得，这种方法在很多几何图形求面积的题目中应用广泛，需重点把握．
20.【答案】(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
(2)解：∵AD垂直平分EF；
∴∠AOE=90°，∠BAC=60°，
∴∠EAD=12∠BAC=30°，
∵∠AED=90°，DE=12AD.∠EDA=60°，
∴∠DEO=30°，OD=12DE，OD=14AD，
∵AD=5，
∴OD=54．
【解析】(1)由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AFD，可得AE=AF，可得结论；
(2)根据AE=AF，结合AD平分∠BAC则可由等腰三角形的性质可得∠AOE=90°，再根据角平分线的定义求出∠EAD=30°及∠DEO=30°，最后利用直角三角形的性质计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
21.【答案】1500x 1.2x 9001.2x
【解析】解：(1)设绿茶每克销售价格为x元，则红茶每克销售价格为1.2x元，
由题意得：绿茶的销售量为1500x克，红茶的销售量为9001.2x克，
故答案为：1500x，1.2x，9001.2x；
(2)由题意得：1500x−9001.2x=3000，
解得：x=0.25，
经检验，x=0.25是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×0.25=0.3，
答：绿茶每克的售价为0.25元，红茶每克的售价为0.3元．
(1)根据售价×销售量=销售总额，即可得出结论；
(2)根据“红茶的销售量比绿茶的销售量少3000克”，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图1，

∵点A、点E关于y轴对称，
∴OA=OE=2，
∵BO⊥AE，
∴BA=BE，
∵AB=2OA=AE，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形；
(2)解：①作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于J，

∵△PBD、△ABE都是等边三角形，
∴BA=BE，BP=BD，∠PBD=∠ABE=60°，
∴∠ABD=∠EBP，
在△ABD和△EBP中，
AB=EB∠ABD=∠EBPBD=BP，
∴△ABD≌△EBP(SAS)，
∴∠EPB=∠ADB，
∵∠AJP=∠DJB，
∴∠PAJ=∠DBJ=60°，
∴∠OAQ=∠PAJ=60°，
∵∠AOQ=90°，
∴∠AQO=90°−∠OAQ=30°，
∴AQ=2AO=4；
②∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，
∵AQ=4，
∴AB=AQ，
∵AO⊥BQ，
∴OQ=OB=2 3，
∵∠AQO=30°，
∴点D的运动轨迹是直线QD，
根据垂线段最短可知，当BD⊥DQ时，BD的值最小，最小值=12BQ=OB=2 3．
【解析】(1)根据轴对称的性质得OA=OE=2，再证AB=BE=AE即可．
(2)①作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于J，证△ABD≌△EBP(SAS)，得∠EPB=∠ADB，再证∠PAJ=∠DBJ=60°，即可解决问题；
②根据∠AQO=30°，得点D的运动轨迹是直线QD，再根据垂线段最短可知，当BD⊥DQ时，BD的值最小，即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．售价(元/克)
销售量(克)
销售总额(元)
绿茶
x
______
1500
红茶
______
______
900