2022-2023学年江苏省南京外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京外国语学校八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列调查方式合适的是(    )

A. 为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式
B. 为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式
C. 调查全省七年级学生对新型冠状病毒传播途径的知晓率，采用抽样调查的方式
D. 对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式

2.  如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是(    )

A. 仙游明天将有的时间下雨 B. 仙游明天将有的地区下雨
C. 仙游明天下雨的可能性较大 D. 仙游明天下雨的可能性较小

3.  把分式中的、都扩大到原来的倍，那么此分式的值(    )

A. 扩大到原来的倍 B. 缩小到原来的倍 C. 是原来的 D. 不变

4.  如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  在四边形中，对角线，相交于点，下列说法正确的是(    )

A. 如果，，那么四边形是平行四边形
B. 如果，，那么四边形是矩形
C. 如果，，那么四边形是菱形
D. 如果，，，，那么四边形是正方形

6.  已知，，设，，结论Ⅰ：当时，；结论Ⅱ：当时，，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是(    )

A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  在一个不透明袋子里装有个黄球和个红球，这些球除颜色外完全相同从袋中任意摸出个球都是红球，则这个事件是______ 事件填“随机”或“必然”或“不可能”

8.  义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______ ．

9.  如图是友谊商场某商品月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是        月份．

10.  如图，在▱中，，，的平分线与的延长线相交于点，则的长为______．

11.  若，则代数式的值是______ ．

12.  甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距千米，一艘轮船在静水中的速度为千米时，水流的速度为千米时，轮船往返两个港口一次共需______ 小时．

13.  将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．

14.  若关于的方程无解，则的值是______ ．

15.  如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，，则经过______ 秒后，四边形是矩形．

16.  如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点与点重合，与交于点，取的中点，连接，则周长的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简再求值：，在，，中选择合适的的值代入并求值．

18.  本小题分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上．
画出将关于原点的中心对称图形．
将绕点顺时针旋转得到，画出．
若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______ ．

19.  本小题分
某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，所示图表是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题．

在统计表中， ______ ， ______ ；
在扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是______ ；
若该校共有名学生，如果听写正确的个数不少于个定为“优秀”，请你估计这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．

20.  本小题分
在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：

请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近______ 精确到；
估计袋子中有黑球______ 个；
若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球______ 个

21.  本小题分
已知关于的分式方程．
当时，求方程的解．
若关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．

22.  本小题分
已知：在中，是边上的中线，点是的中点；过点作，交的延长线于，连接．
求证：四边形是平行四边形；
当时，判断四边形的形状，并说明理由．

23.  本小题分
“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程，某工程队承接了万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，设原计划每天筑路的面积为万平方米，列方程为：．
根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是______ ．
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果推迟天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果推迟天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前天完成了这一任务
在的条件下，那么原计划完成这项筑路工程需要多少天？

24.  本小题分
深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式分子为整数的和的形式．
解：由分母，可设；
则．
对于任意上述等式成立，
解得：．
．
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
将分式拆分成一个整式与一个分式分子为整数的和的形式为______；
已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数的值．

25.  本小题分
如图，在中，，平分交于点，于点，交于点，过点作交于，连接．
求证：；
判断四边形的形状，并证明；
若，，求线段的长度．

26.  本小题分
【探究与应用】：
我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，则．

如图，若与相交于点，证明以上这个结论；
小明同学提出如下解题思路，请补全：
【思路分析】：
由折叠的性质得，；由平行四边形的性质得______ ，由上面的分析可证得，______ ，这样就可以得到，则______ ，再由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论；
如图，与相交于点，若，，，则的面积为______ ；
如果，．
当是直角三角形时，请画图并直接写出的长．
设的长度为，当时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：为了解全国中学生的视力状况，宜采用抽样调查的方式，因此选项A不符合题意；
B.为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，因此选项B不符合题意；
C.调查全省七年级学生对新型冠状病毒传播途径的知晓率，宜采用抽样调查的方式，因此选项C符合题意；
D.对“天问一号”火星探测器零部件的检查，宜抽取全面调查的方式，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义，明确调查的可行性和实效性是得出正确答案的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如上图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”，对这条信息的上列说法中，正确的是仙游明天下雨的可能性较大，
故选：．
根据概率的意义，即可解答．
本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：把分式中的、都扩大到原来的倍为：，
分式的值扩大到原来的倍，
故选：．
先把分式中的、都扩大到原来的倍，再约分，比较约分后的分式的值与原分式的值即可得到答案．
本题考查的是分式的基本性质，掌握“利用分式的基本性质判断分式的值的变化”是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．
由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：如果，，那么四边形是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项A不符合题意；
如果，，那么四边形不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项B不符合题意；
如果，，那么四边形不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意；
如果，，，，那么四边形是正方形，故选项D符合题意；
故选：．
根据各个选项中的说法可以判断是否正确，并对错误的举出反例即可．
本题考查正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：结论Ⅰ：当，则．
当时，，即结论Ⅰ正确．
结论Ⅱ：当时，则．
，．
．
结论Ⅱ正确．
综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．
故选：．
根据分式的加法法则解决此题．
本题主要考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法法则是解决本题的关键．
 

7.【答案】随机 

【解析】解：在一个不透明袋子里装有个黄球和个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出个球都是红球，则这个事件是随机事件，
故答案为：随机．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：该班学会炒菜的学生频数为：，
故答案为：．
用频率乘以总数即可求．
本题考查了频数的计算；掌握频数的计算公式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象中的信息可知，
利润售价进价，利润最大的是月，
故答案为：．
根据利润售价进价和图象中给出的信息即可得到结论．
本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润售价进价是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行且相等解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
，
原式．
故答案为：．
先利用分式的运算法则化简，再将整体代入求值．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：轮船在静水中的速度为千米时，水流的速度为千米时，
顺流速度为千米时，逆流速度为千米时，
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距千米，
轮船往返两个港口一次共需时间为：，
故答案为：．
分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．
本题考查列代数式，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式．
 

13.【答案】 

【解析】解：分别取、、、的中点、、、，连接、、、，设与的交点为，
则，，，，，，
四边形为菱形，，
为等边三角形，
，
故答案为：．
分别取、、、的中点、、、，连接、、、，设与的交点为，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、菱形的判定定理，等边三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：，
去分母，得，
解得，
方程无解，
，或，
当时，，
解得；
当时，，
即的值为或，
故答案为：或．
将分式方程化为整式方程，可得，根据分式方程无解，可得，或，分情况求解即可．
本题主要考查了根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于零．
 

15.【答案】或 

【解析】解：设运动的时间为秒，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，
或，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，
，
或，
或，
经过秒或秒，四边形是矩形，
故答案为：或．
设运动的时间为秒，则，由平行四边形的性质得或，再根据列方程或，求出的值即可．
此题重点考查平行线边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示、的长是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，，，

由翻折的性质以及对称性可知；，，，
点是的中点，
，
在中，，
，，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为，
故答案为：．
取的中点，连接，，首先证明，，推出，求出即可解决问题．
本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，学会添加常用辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
，，，
所以，
原式． 

【解析】根据分式的加法计算括号内的，再计算乘方，根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入化简结果即可求解．
本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
；
如图，即为所求；
根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点即为旋转中心，
，
故答案为：．
根据中心对称的性质即可画出；
根据旋转的性质即可画出；
根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点的位置．
本题主要考查了作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：根据组的数据可知，抽查的总人数是人，
组中的，
组中的，
故答案为：，；
“组”的人数是人，占本次抽查人数的，
扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：．
听写正确的个数不少于个，即大于或等于个的为优秀，此次抽查中大于或等于个的人数是人，与总人数的比是，
该校共有名学生中优秀人数约是人．
故这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数约为人．
由题意根据组有人，所占的百分比是即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
根据题意直接利用度乘以对应的比例即可求解；
根据题意直接利用总人数乘以对应的比例进行分析计算即可求解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；注意掌握利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】     

【解析】解：观察表格得：当很大时，摸到黑球的频率将会接近，
故答案为：；
黑球的个数为个，
故答案为：；
想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可以使得黑球和白球的个数相同，
即：在袋子中增加相同的白球个．
故答案为：．
观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到；
大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数；
使得黑球和白球的数量相等即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

21.【答案】解：当时，
，
，
，
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
，
，
，
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，且，
即：且
即：且 

【解析】将代入分式方程，解分式方程的即可求解；
先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．
 

22.【答案】证明：，
．
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
≌，
，
．
四边形是平行四边形；
解：四边形是矩形．理由如下：
在中，，是斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形． 

【解析】根据结合题意易证≌，即得出，从而得出即可由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明；
由三线合一可证明，然后根据矩形的判定方法解答即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定等知识，主要考查学生的推理能力，熟练掌握全等三角形的判定与性质及矩形的判定方法是解答本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：所列方程为，且表示原计划每天筑路的面积，
表示实际每天筑路的面积，
省略的部分是：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果推迟天完成了这一任务，
故选：；
，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，原计划每天筑路的面积为万平方米，天，
原计划完成这项筑路工程需要天．
根据所列方程及表示的意义，即可找出题干中省略的条件；
解分式方程，求出原计划每天筑路的面积，进而可求出原计划所需天数．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题中所给的数量关系．
 

24.【答案】 

【解析】解：由分母，可设，
则．
对于任意上述等式成立，
，
解得：．
．
故答案为：．
由分母，可设，
则

，
对于任意上述等式成立，
，
解得：．
．
为整数，分式的值为整数，
为整数，
或或或．
利用题干中的方法进行变形即可得出结论；
利用中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式分子为整数的和的形式，利用整除性质即可得出结论．
本题主要考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，本题是阅读型题目，连接题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
 

25.【答案】证明：平分，
，
，，
，
，
又，
，
；
解：四边形是菱形，理由如下：
，
，
由知，
，
，
又，，
≌，
，
由知，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：中，，，，
，
由知≌，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
，
，
． 

【解析】根据角平分线的定义可得，根据直角三角形两锐角互余，可得，等量代换可得，即可证明；
先证≌，推出，结合中结论可得，结合可证四边形是平行四边形，结合可证是菱形；
根据勾股定理可得，根据≌可得，进而求出，再根据菱形的性质推出，进而证明，设，用勾股定理解求出，再利用面积法求出，即可求出的长度．
本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法，能够通过勾股定理列方程．
 

26.【答案】      

【解析】解：折叠，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：，，；
平行四边形中，，
四边形是矩形，
，，，
由得：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，；
如图，当时，延长交于，

，，，
，
，，
，
，，
，，
是的中点，
；
如图，当时，

，
，
由知：，
，
，
由知：，，，
，
四边形为矩形，
，
，
，，在同一直线上，
，
中，，，
，
，，
当时，如图：

在平行四边形中，，
，
由知，
，
，
设，则：，
，
；
；
当时，如图：

，
，
，
，
，，
，
；
综上所述，当是直角三角形时，的长为或或或；
当时，由可知，当时，，

由图可知：时，；
当时，由可知：当的长为，，

由图可知：当时，；
综上：当或时，．
根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，补全分析即可．
易得四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理，求出的值，根据三角形的面积公式进行求解即可；
分两种情况，，，四种情况讨论求解即可；分，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查平行四边形中的折叠问题．同时考查了矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．