湖南省益阳市桃江县第四中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项．
1. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出和即可求出离心率.
【详解】因为，，
所以离心率为.
故选：A.
2. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
详解】由函数，得，
则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：D
3. 在中，若，，，则的大小为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理结合三角形的特点计算即可.
【详解】因为在中，，所以，
由正弦定理可知或，
又，所以不成立.
故选：B
4. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 有4个极值点，其中有2个极大值点B. 有4个极值点，其中有2个极小值点
C. 有3个极值点，其中有2个极大值点D. 有3个极值点，其中有2个极小值点
【答案】C
【解析】
【分析】由图象结合极值点以及极大值点的定义可得结果.
【详解】函数的极值点由两侧异号的零点个数决定，
由图象可知，的零点有4个，其中三个异号零点，所以极值点有3个；
两侧异号的零点中有2个先正后负的零点、1个先负后正的零点，所以极大值点有2个、极小值点有1个.
故选：C
5. 在等比数列中，，则前7项的积等于（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列通项公式及下标和性质计算即可得.
【详解】结合题意：设该等比数列的公比为，
因为，所以，解得或（舍去），
则该等比数列前7项的积为.
故选: D.
6. 直线截圆所得弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断直线所过的定点，再根据点与圆的位置关系，以及弦长公式，即可求解.
【详解】直线化简为，
联立，得，
所以直线恒过定点，
点满足，所以点在圆内，
所以当点是弦的中点时，此时弦长最短，
圆心和定点距离为1，所以最短弦长为.
故选：B
7. 有六个人排成一排，若要求都不与相邻，则排法总数为（ ）
A. 288B. 396C. 480D. 144
【答案】A
【解析】
【分析】利用排列和捆绑法求出与相邻的情况，再用全部情况减去特殊情况即可求解.
【详解】六个人排成一排共有种排法，
其中与相邻的排法有种，与相邻的排法也有种，都与相邻的排法有种，
所以都不与相邻的排法有种，
故选：A
8. 已知函数，若，，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出，然后对导函数再次求导，通过讨论单调性以及零点来求使不等式恒成立的实数a的取值范围.
【详解】由已知，则，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
所以，
当时，，在上单调递增，
所以，即，
当时，，当时，
所以存在使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，不合题意，
所以则实数a的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：每题6分，共18分．每小题有多个正确选项，若有2个正确选项，选对一个得3分，若有3个选项，选对一个得2分，有错选得0分．
9. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算可判断A选项；利用空间向量平行的坐标表示可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断CD选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，因为，则、不共线，B错；
对于C选项，，所以，，C对；
对于D选项，，
，，
，
所以，，D对.
故选：ACD.
10. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（ ）
A.
B. 的展开式中的有理项有5项
C. 的展开式中偶数项的二项式系数之和为512
D. 除以9的余数为8
【答案】BD
【解析】
【分析】由二项式系数的概念和组合数的性质可判断选项A；结合有理项的概念，根据二项式的通项可判断选项B；由偶数项的二项式系数和可判断选项C；结合二项式定理可判断选项D.
【详解】由的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等可得：，
由组合数的对称性可得：，故选项A错误；
因为的展开式中各项系数的和为0，
所以令可得：，解得：.
则的二项式通项为.
由为整数可得：，
所以的展开式中的有理项有5项，故选项B正确；
因为展开式中偶数项的二项式系数之和为，故选项C错误；
因为
所以除以9的余数为8，故选项D正确.
故选：BD.
11. 已知抛物线的焦点为，过的直线于交于两点，点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线C的准线方程为B. 一定为钝角
C. 若直线的倾斜角为，则D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于选项A:结合题意求出准线方程即可判断；对于选项B:联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理及数量积公式判断即可；对于选项C: 设直线为，联立抛物线，求出，结合抛物线的定义即可判断;对于选项D:结合选项C可知当直线的倾斜角为时，有，，即可判断.
【详解】对于选项A: 因为抛物线，所以，即，
所以准线方程为，故选项A正确；
对于选项B: 因为，所以焦点为,设，
则,
结合题意：易知直线的斜率不为，可设为，
联立，可得，
因为，所以，
所以，
因为，易知不共线,
所以一定为钝角，故选项B正确；
对于选项C:因为直线的倾斜角为，所以斜率，
故可设直线为，且设，
联立，可得，解得，
结合抛物线的定义可知：，,
所以，故选项C正确；
对于选项D:由选项C知：当直线的倾斜角为时，
因为，.
所以，，
此时，故选项D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛:本题的解题关键在于结合抛物线的定义，利用韦达定理表示出相关的量.
三、填空题：每小题5分，共15分．
12. 等差数列的前n项和为，公差为d，若，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据等差数列的前项和公式，列式求解.
【详解】由题意可知，，解得：，，
所以.
故答案为：10
13. 的展开式中，的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】写出后面括号的通项后，再令时分别求出系数再计算即可.
【详解】后面括号的通项为，
前面括号出1时，，可得；
前面括号出时，，可得；
所以的系数为，
故答案为：.
14. 如图，三角形的每一边上都有两个点，在这9个点（包括三角形的顶点）中任取4个点，能构成四边形的概率为______（用最简分数表示）
【答案】##0.5
【解析】
【分析】计算在这9个点中任取4个点的情况，减去四点共线以及三点共线的情况，结合古典概型概率公式可得结果.
【详解】从这9个点中任选4个点共有种情况，
当四点共线或三点共线时，均不能构成四边形，此时有种情况，
所以能构成四边形的概率为：.
故答案为：
四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程．
15. 已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）729
【解析】
【分析】（1）先求出，再将改为后令即可得答案；
（2）设，通过计算可得答案.
【小问1详解】
令得，再将改为，
则
再令，得，
所以；
【小问2详解】
设，
则
.
16. 已知函数，是的极值点．
（1）求实数a的值；
（2）求在上的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）是的极值点，则有，求实数a的值并检验即可；．
（2）由函数单调性求区间内的最大值.
【小问1详解】
函数，定义域为，
，因为是的极值点，所以，所以，.
当时，，
，解得或；，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
是的极小值点，所以.
【小问2详解】
在和上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值只可能在或处取到，
，，而，
所以在上的最大值为.
17. 如图在四棱锥中，，，，，.是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可.
（2）根据线面垂直的判定定理，结合三棱锥的体积性质、线面角的定义进行求解即可.
【详解】（1）取中点，连结､，∵，，∴.
又∵，∴四边形为平行四边形，
∴，而平面，平面，
∴平面；
（2）取中点，连结､，∵，，
∴为等腰直角三角形，∴，
又∵，，
∴，
∴，又∵，平面，
∴平面.
记为点到平面距离，∵，
，
∵，∴，∴平面，∴，
，，∴，
∴.
18. 已知数列满足，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前n项和；
（3）求数列的前99项的和的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用数列的前项和，求通项；
（2）根据（1）的结果，利用错误相减法求和；
（3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加法求和.
【小问1详解】
由 ①
得 ②
①－②得：，
在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有：
【小问2详解】
，
两式相减得：
整理得：
【小问3详解】
，
所以
所以，为定值，则
且，两式相加得，因此
19. 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：为直角三角形；
（3）若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设出、两点坐标，借助点差法计算即可得；
（2）联立直线与双曲线方程，可得与、两点坐标有关韦达定理，通过计算即可得为直角三角形；
（3）设直线方程为：，，，，结合题意计算可得，又，，可得，联立直线与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得，结合面积公式计算即可用表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围.
【小问1详解】
设，，则，，
，两点在双曲线上，
，由①－②得，
即，，
，即，，
又，，双曲线的方程为：；
【小问2详解】
由已知可得，直线方程为：，即，
联立，，
则，，
，
，为直角三角形；
【小问3详解】
由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，
故设直线方程为：，
设，，，
，，
，
点在双曲线上，，
，
③，
又，，
，④，
联立，
，
⑤，⑥，
，分别在第一象限和第四象限，，，
由④式得：，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，
，
令，，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
，.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用表示出该三角形面积，难点在于计算.