湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版附解析）

2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高二年级上学期

期中考试数学试卷

一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合，利用交集定义求出．

【详解】，

又，

则．

故选：C．

2. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由圆C过原点可得半径，结合圆的标准方程即得解.

【详解】由题意，圆心，半径，

故圆C方程为.

故选：B

3. 党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管（水管半径忽略不计），它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为（），记最大高度为，依题意可得，在抛物线上，代入抛物线方程，求出，即可得解.

【详解】解：取一截面建系如图，设抛物线方程为（），记最大高度为，

依题意可知，在抛物线上，故，

两式相除有，解得.

故选：C

4. 已知函数，则的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.

【详解】解：因为，则

所以，则为偶函数，

当时，，又，在上均为增函数，所以在上为增函数，

所以，即，解得或，

所以的解集为

故选：D.

5. 已知幂函数的图像是等轴双曲线，且它的焦点在直线上，则下列曲线中，与曲线的实轴长相等的双曲线是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】双曲线的实轴长为双曲线与实轴交点的距离，计算出的实轴长，然后在选项中找出实轴相等的双曲线即可.

【详解】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点，是双曲线的顶点，故双曲线的实轴长，

显然选项A表示的是椭圆；

选项B的双曲线实轴长为；

选项C双曲线的实轴长为；

选项C的双曲线实轴长为.

故选：B

6. 已知函数，下列说法正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期是

B. 函数的最大值为

C. 函数的图象关于点对称

D. 函数在区间上单调递增

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的性质依次判断即可.

【详解】由，

故函数的周期，A错误；

函数的最大值为2，B错误；

由，故不是对称中心，C错误；

当时，，由于在

单调递增，故函数在单调递增，D正确.

故选：D

7. 设P为直线上的动点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线与圆的相切，先将转化为三角形面积问题，再利用切线和过切点的半径垂直，进一步转化为，最后即可求解.

【详解】连接CA，CB，有，，由PC垂直平分AB，

知其中d为圆心C到直线l的距离，因为，

故选：D

8. 已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意设椭圆右焦点为，根据椭圆的定义以及余弦定理可求出的关系，即可求出椭圆的离心率.

【详解】设椭圆右焦点为，连接，，

根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，

因为，可得，所以，

则，，

由余弦定理可得，

即，即

故椭圆离心率

故选：C.

二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 命题“，”的否定为“，”

B. 在中，若，则

C. 若，则的充要条件是

D. 若直线与平行，则或2

【答案】BC

【解析】

【分析】由全称命题的否定形式可判断A，由正弦定理可判断B，由不等式的性质结合函数单调性可判断C，由直线平行的斜率关系可判断D.

【详解】对于A，命题的否定为：，，所以A错误；

对于B，若，则，由正弦定理，即有，B正确；

对于C，由，可知同号，因为在和上单调递减，

若，则有，即；若，由，可得，C正确；

对于D，直线的斜率存在，

由两直线平行，斜率相等可知斜率也存在，且斜率，

由得，解得或2，但当时，两直线重合，所以D错误.

故选：BC

10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 向量与所成角余弦值为

C. 平面AEF的一个法向量是

D. 点D到平面AEF的距离为

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.

【详解】对于A，正方体中，，，

，所以，故A错误；

对于B，，，

，故B正确；

对于C，设，则，，而，

所以平面的一个法向量是，故C正确；

对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确．

故选：BCD

11. 已知直线l与抛物线（）交于A，B两点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若点D的坐标为，则

B. 直线过定点

C. D点的轨迹方程为（原点除外）

D. 设与x轴交于点M，则的面积最大时，直线的斜率为1

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A由条件求出直线方程，利用设而不求法结合条件求出，判断A，对于BCD，设直线的方程为，利用设而不求法证明，由此判断B，再由，求出D点的轨迹方程，判断C，结合D点的轨迹方程确定的面积最大时，直线的斜率，判断D.

【详解】，由知直线方程为，联立，

消去x有，设，，

则，由，∴，故A正确；

对选项BCD，可设直线：，代入有，

则，由，

故直线的方程为，所以直线过定点，即，故B正确；

由，得D在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；

当时，面积最大，此时，有，故D错误.

故选：ABC.

12. 在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（    ）

A. 若M为棱的中点，则直线平面

B. 若M在线段上运动，则的最小值为

C. 当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为

D. 若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为

【答案】ACD

【解析】

【分析】作交点，连接，可证，进而得到平面；展开与到同一平面上，由两点间直线段最短，结合余弦定理可求； 在侧面上的射影为，确定交线为以为圆心的圆弧，结合弧长公式即可求解；平面与的距离最短恰为，能找出此点恰在上.

【详解】对选项A，作交点，连接，因为为中点，M为棱的中点，所以，又因为平面，所以平面，故A正确；

对选项B，展开与到同一平面上如图：

知，故B错误；

对选项C：M与重合时，在侧面上的射影为，故交线是以为圆心的一段圆弧（个圆），且圆半径，故圆弧长，所以C正确；

对选项D，直线与平面距离显然为，当为中点时，设中点为，易得，所以为M到直线最短距离，选项D正确.

故选：ACD

三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 某中学高一年级有600人，高二年级有480人，高三年级有420人，因新冠疫情防控的需要，现用分层抽样从中抽取一个容量为300人的样本进行核酸检测，则高三年级被抽取的人数为___________.

【答案】84

【解析】

【分析】首先求出高一、高二、高三年级的人数之比，然后可得答案.

【详解】高一、高二、高三年级的人数之比为，

所以高三年级被抽取的人数为，

故答案为：

14. 设双曲线C：（，）左、右焦点分别为、，P是渐近线上一点，且满足，，则双曲线C的离心率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由双曲线的对称性，可以设点P在第一象限，，可得P点横坐标为c，代入渐近线方程，可得P点坐标，再由模长关系，可得，即可求得离心率.

【详解】不妨设P在第一象限，因为，则，

依题意：，所以，

离线率.

故答案为：.

15. 已知动点在运动过程中总满足关系式，记，，则面积的最大值为___________.

【答案】18

【解析】

【分析】由条件关系求出点的轨迹方程，再利用切线法求面积的最大值.

【详解】解：因为满足，所以点的轨迹为以点和为焦点，且长轴长为8的椭圆，所以M在椭圆上运动，且B在椭圆上，A为左顶点，因为，，所以直线的方程为，

设直线l：与椭圆相切于点M，

联立，消去x得，

由，依题意，时，面积最大，

此时直线l的方程为，

直线l与距离为，又，

∴.

故答案为：18.

16. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则，如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】求出点的轨迹方程为，点P作圆的切线PC，C为切点，求出，再根据切割线定理求得，再结合基本不等式即可得解.

【详解】解：设，

因为，所以，

即，即，

所以点的轨迹方程为，

过点P作圆的切线PC，C为切点，则，

由切割线定理得，

所以，

当且仅当时取等号，

所以的最小值是.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6题，共70分）

17. 已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，且，离心率.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，结合，求解即可；

（2）令，，结合双曲线定义和余弦定理可得，再由面积公式即得解.

【小问1详解】

由题意，   

∴，   

又，   

∴，   

故双曲线C的方程为；

【小问2详解】

令，，

则由双曲线定义可得  ①，

由三角形余弦定理得  ②，   

有，   

∴的面积.

18. 10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.

（1）求这场选拔赛三局结束的概率；

（2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.

【答案】（1）0.28   

（2）0.432

【解析】

【分析】(1)根据题意，找出这场选拔赛三局结束的事件，利用概率公式即可求解；

(2)先找出满足条件的基本事件，然后利用概率公式即可求解.

【小问1详解】

设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），

记“三局结束比赛”，则，

∴

；

【小问2详解】

设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），

记“决胜局进入第五局比赛”，则，

∴

.

19. 已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得角的值；

（2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.

【小问1详解】

解：由已知可得，由正弦定理可得，

、均为锐角，则，故，因此，.

【小问2详解】

解：由（1）可知，，故，又因为，

所以，

又因为，，所以，故，

即有，则，

又由.

所以面积的取值范围是.

20. 已知点，，点A关于直线的对称点为点

（1）求B点坐标；

（2）在中，，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合点关于线对称可得，解方程组即可求出结果；

（2）求出动点的轨迹，进而可得点在或时，三角形的面积最大，从而结合三角形的面积公式即可求出结果.

【小问1详解】

设B的坐标为，则，解得，

则B的坐标为

【小问2详解】

设，

，圆心为，半径为，

当点在或时，三角形的面积最大，

此时

故面积的最大值为.

21. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.

（1）求证： 面；

（2）求证：面；

（3）点Q在棱上，设（），若二面角的余弦值为，求.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）取中点F，连接，，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）易证，根据面面，得到面，进而得到，再结合，利用线面垂直的判定定理证明；

（3）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，取面的一个法向量，由求解.

【小问1详解】

证明：取中点F，连接，，

则，又，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

又面，面，

∴面；

【小问2详解】

证明：由题意：，，

∴，同理，

又，∴，

∴，   

又面面，

∴面，

∴.

又且面，面，，

∴面；

【小问3详解】

以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

由，有，

令是平面的一个法向量，

则，

令，有，

取面的一个法向量，

由.

解得.

22. 已知椭圆C：（）过点，A为左顶点，且直线的斜率为.

（1）求椭圆C标准方程；

（2）设在椭圆内部，在椭圆外部，过Ｍ作斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，若，求证：为定值，并求出这个定值.

【答案】（1）   

（2）为定值4，证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用点坐标代入椭圆方程、直线的斜率为可得答案；

（2）设，，：，与椭圆方程联立，求出，，    根据，可得，再进行化简可得答案.

【小问1详解】

由题意：，

∴，解得，

故椭圆C的标准方程为；

【小问2详解】

设：，

联立消去x，

有，

记，，因为在椭圆内部，，

所以，，   

若，则，可得，

即，

，可得，

（），

∴（定值），

综上：为定值4.