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人教版七年级数学下册常考提分精练期末押题预测(培优压轴卷)(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册常考提分精练期末押题预测(培优压轴卷)(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了单选题(共30分，填空题(共18分，解答题(共72分等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共30分
1．(本题3分)已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）
2．(本题3分)在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是（ ）
A．全面调查适用于所有的调查
B．为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体
3．(本题3分)已知，点P的坐标为，点Q的坐标为，O为坐标原点，则满足（ ）
A．大于135小于180°B．等于135°
C．大于90°小于135°D．大于0°小于90°
4．(本题3分)将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
5．(本题3分)用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
6．(本题3分)数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．(本题3分)在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35°B．40°C．45°D．60°
8．(本题3分)如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点0运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五运动到点，第六次运动到点，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（ ）
A．-2B．0C．1D．2
9．(本题3分)已知关于x的不等式组，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．(本题3分)如图，，，垂足分别为B和D，和分别平分和．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．③④
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共18分
11．(本题3分)已知点，其中，，，且、、、均为整数，那么在平面直角坐标系中点的可能位置共有__________个.
12．(本题3分)在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为______．
13．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上的一动点，则MN+NP的最小值为___________．
14．(本题3分)在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
15．(本题3分)若方程组无解，则a=_________
16．(本题3分)已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
三、解答题(共72分
17．(本题8分)如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式（）．
(1)直接写出与x，的大小关系；
提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系；
提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系．
(2)根据（1）中的结论解决下列问题：
①直接写出满足的m取值范围；
②直接写出方程的解．
18．(本题8分)新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
19．(本题8分)某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出）
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是___________．
(2)___________，___________．
(3)请补全频数分布直方图
(4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数．
20．(本题8分)直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；
(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
21．(本题8分)为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
22．(本题10分)阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2 又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．
又∵y<0，∴－1同理可得1由①＋②得：－1＋1∴x＋y的取值范围是0按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______；
(2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围．
23．(本题10分)已知中，是边上的高，是的角平分线．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，、分别平分和的外角，请直接写出与的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作交延长线于G，若，且，交的延长线于H，求的度数．
24．(本题12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形的斜边在轴上，，，、、、，且、满足．
(1)求、的坐标；
(2)点为轴上一点，若的面积是的面积的一半，求出此时点坐标；
(3)如图2，过点水平向左作射线轴，将射线绕点以度秒逆时针速旋转，转至与射线重合后立刻继续以度秒顺时针匀速旋转，射线绕点以度秒逆时针匀速旋转射线和同时开始旋转，旋转后的射线分别记为，，当射线与重合时，射线和同时停止运动，射线与交于点，运动时间为秒．
①当时，求此时的时间值；
②若过点作交于点，求与满足的放量关系，并说明理由．
组别
身高范围（单位：厘米）
划记
频数
频率
A
3
0.03
B
正
8
0.08
C
a
0.15
D
正正正正正
28
0.28
E
正正正正正一
26
0.26
F
正正
14
0.14
G
正一
6
0.06
七下期末押题预测（培优压轴卷）
一、单选题(共30分
1．(本题3分)已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）
【答案】C
【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．
【详解】解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
【点睛】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系，有理数加法乘法法则，正确掌握有理数的加法乘法法则是解题的关键.
2．(本题3分)在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是（ ）
A．全面调查适用于所有的调查
B．为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体
【答案】B
【分析】根据全面调查的特点判断A与B；根据样本容量的定义判断C；根据样本具有的特点判断D．
【详解】A、全面调查不能适用于所有的调查，如具有破坏性的抽查只能用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
B、为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查，故本选项说法正确，符合题意；
C、为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为100，故本选项说法错误，不符合题意；
D、为了解全校中学生的身高，不能以该校篮球队队员的身高作为样本，因为篮球队队员的身高普遍较高，这样选取的样本不具有代表性，不能客观估计总体，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，全面调查与抽样调查，样本容量，掌握相关概念是解题的关键．
3．(本题3分)已知，点P的坐标为，点Q的坐标为，O为坐标原点，则满足（ ）
A．大于135小于180°B．等于135°
C．大于90°小于135°D．大于0°小于90°
【答案】C
【分析】先判断出，则点P在第三象限，再证明，即点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，则点P在第三象限的平分线的上方，且在x轴的下方，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴点P在第三象限，
∵，，
∴，
∵，，
∴ ，，
∴，
∴点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，
∴点P在第三象限的平分线的上方，且在x轴的下方，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，算术平方根和立方根，正确得到点P在第三象限的平分线的上方，在x轴的下方是解题的关键．
4．(本题3分)将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵，
∴
∠E=60，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故②正确；
∵，
∴，
∵,
∴∠3=∠B,
∴,故③正确；
∵，
∴∠CFE=∠C，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=,
∴∠2=90-∠1=，故④正确，
故选：D.
【点睛】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
5．(本题3分)用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
【答案】A
【分析】分别设做了竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，列二元一次方程组，把两个方程的两边分别相加得，易知的值一定是5的倍数，本题即解答.
【详解】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得
，
∵x、y 都是正整数
∴一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，
∴的值可能是200.
故选A.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用；巧妙处理所列方程组，使两方程相加得出，是解答本题的关键.
6．(本题3分)数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据有理数乘法运算法则，异号得负，得出；由得，即；根据中点的定义，确定点表示的数为；由线段上仅有个表示整数的点，确定这两个整数点为和，点在和之间，则，，在和之间，则，然后利用不等式的性质，先确定的范围，然后再确定的范围，进而确定的范围，也就是的范围，最后确定的范围，从而确定整数不可能选项．
【详解】解：∵，，且，
∴，且，即，
∵是中点，
∴，点表示的数为，
∴，
∵线段上仅有个表示整数的点．，
∴线段上除了没有其他表示整数的点，线段上有个表示整数的点和，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴，
∴不可能是．
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴的点的对应关系，其中涉及到有理数的乘法运算法则，绝对值的含义，利用不等式的性质确定字母的范围，中点的定义．能够根据题目的每个条件分别得出相应的结论，然后综合分析是解决本题的关键．
7．(本题3分)在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35°B．40°C．45°D．60°
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可知，再由周角360°以及=70°可求出∠EFB，再根据平行线的性质即可求∠AEF．
【详解】解：由题意可得：，
由折叠可知：，
∵=360°，=70°，
∴=145°，
∵，
∴∠AEF+∠EFB=180°，
∴∠AEF=180°-145°=35°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算．
8．(本题3分)如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点0运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五运动到点，第六次运动到点，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】先探究点的运动规律，再结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象知，动点P每运动6次为一个循环，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，-2，0，2，0；
∵2022÷6=337，
∴经过策2022次运动后，动点P的纵坐标是0．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
9．(本题3分)已知关于x的不等式组，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可．
【详解】解：由x﹣1＞0得x＞1，
由x﹣a≤0得x≤a，
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确；
②当a＝1时，它无解，此结论正确；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确；
④如果它有解，那么a＞1，此结论错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．(本题3分)如图，，，垂足分别为B和D，和分别平分和．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．③④
【答案】C
【分析】由，可证；由角平分线的性质可知；题中没有条件可以证明；由可知，根据平行线性质可得.由此可知①②③④的正误.
【详解】解：∵，，
∴．
∴，
∵，分别平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵不一定平行于，
∴不一定垂直于．
故①②④正确，③错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共18分
11．(本题3分)已知点，其中，，，且、、、均为整数，那么在平面直角坐标系中点的可能位置共有__________个.
【答案】
【分析】先根据，，、、、均为整数，得，，再根据，分类讨论即可．
【详解】解：∵，、、、均为整数，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴或或或或，
当时，9个，
当 或或或或或2或3时，（个），
当时，9（个），
∴共有（个），
故答案为．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，不等式的意义，分类讨论的思想方法，运用分类讨论的思想方法是本题的关键．
12．(本题3分)在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为______．
【答案】 5 /
【分析】（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交点，根据题意分别求得的坐标，然后根据，即可求解．
（2）设，则，根据平移可得向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，求得，根据三角形面积求得，即可求解．
【详解】解：（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图，
∵A（，4），B（，3），C（1，0），
∴ ，
，，
∴，
，
，
故答案为：5；
（2），设，则，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴向下移动了个单位，向右移动了个单位，
∴向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，
如图，过点作轴，于点，则，
过点作轴交于点，
∵，
∴，
∴，
根据题意是沿方向平移得到的，
∴，
∵，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
13．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上的一动点，则MN+NP的最小值为___________．
【答案】
【分析】连接AM，根据点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），得到OA=4，OB=3，OM=3，过M作MP⊥AB于P交OA于N，则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AM，
∵点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，OM=3，
过M作MP⊥AB于P交OA于N，
则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，
∵， BM=6，OA=4，AB=5，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段最短的应用，坐标与图形性质，三角形的面积公式，正确的作出图形是解题的关键．
14．(本题3分)在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
【答案】6或9或15或33
【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．
【详解】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t=(秒)；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6(秒)；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9(秒)；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15(秒)；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，
∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33(秒)；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．
故答案为：6或9或15或33．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．(本题3分)若方程组无解，则a=_________
【答案】-6
【分析】把第二个方程整理得到y＝2x−1，然后利用代入消元法消掉未知数y得到关于x的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得解．
【详解】解：，
由②得，y＝2x−1③，
③代入①得，ax＋3（2x−1）＝9，
即（a＋6）x＝12，
∵方程组无解，
∴a＋6＝0，
∴a＝−6．
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0．
16．(本题3分)已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵，
∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组有解但没有整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．
三、解答题(共72分
17．(本题8分)如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式（）．
(1)直接写出与x，的大小关系；
提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系；
提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系．
(2)根据（1）中的结论解决下列问题：
①直接写出满足的m取值范围；
②直接写出方程的解．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）提示1：通过举例子的形式进行推导即可；提示2：根据得到，进一步推出，则；
（2）①根据（1）的结论可得，解不等式组即可；②根据（1）的结论可得，求出，再由为整数即可得到答案．
【详解】（1）解：提示1：当时，，，
则，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
由“不完全归纳法”可得：；
提示2：，且，
；
（2）解：①由（1）的结论得：
，
，
解得；
②由（1）的结论得：，
，
，
解得，
，
，
为整数，
则或，
解得或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，理解新定义，正确求解不等式组是解题关键．
18．(本题8分)新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
【答案】(1)，
(2)2或
(3)
【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可；
（3）利用非负性求出的值，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）∵无理数“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∵无理数的“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴的值为2或．
（3）∵
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为．
【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．
19．(本题8分)某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出）
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是___________．
(2)___________，___________．
(3)请补全频数分布直方图
(4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数．
【答案】(1)100；
(2)15，100.8；
(3)见解析
(4)168
【分析】（1）由A的学生人数和所占百分比求出调查总人数；
（2）用总人数乘以B的百分比即可求出a，用360°乘以百分比得到m；
（3）根据a值补全直方图；
（4）用总人数600乘以D的百分比即可．
（1）
解：本次抽样调查的样本容量是3÷3%=100（人），
故答案为：100；
（2）
a=100×0.15=15，m=360°×28%=100.8°，
故答案为：15，100.8；
（3）
补全直方图：
（4）
600×28%=168（人），
∴身高在D组的学生有168人．
【点睛】本题考查的是直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．(本题8分)直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；
(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①∠E+2∠F=180°，证明见解析；②70°
【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．
【详解】（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，
∴∠ABT=∠BTK，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABT=∠TBK，
∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，
∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，
∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：
延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），
∴∠E+2∠F=180°；
②由①知∠E+2∠F=180°，
∵∠BEC=40°，
∴∠F=70°．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关键是用含α，β的式子表示∠E，∠F，从而得到∠E，∠F之间的数量关系．
21．(本题8分)为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
【答案】(1)即调整后的技术人员最多有人；
(2)．
【分析】（1）根据题意，求得这名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可；
（2）由①可得，由②，根据题意，求解不等式组即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，（）
解得：，
又∵，
∴
即调整后的技术人员最多有人；
（2）解：由①可得，由②
即，解得
又∵为正整数且，
∴当时，最大，为；
当时，最小，为，
综上，存在，满足题意．
【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式．
22．(本题10分)阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2 又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．
又∵y<0，∴－1同理可得1由①＋②得：－1＋1∴x＋y的取值范围是0按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______；
(2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围．
【答案】(1)1＜x+y＜5
(2)a＞1
(3)
【分析】（1）模仿阅读材料解答即可；
（2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；
（3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论．
【详解】（1）解：∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1…①，
同理可得2＜x＜4…②，
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）解：解方程组，
得，
∵该方程组的解都是正数，
∴x＞0，y＞0，
∴，
解不等式组得：a＞1，
∴a的取值范围为：a＞1；
（3）解：∵a－b=4，b<2，
∴，
∴，
由（2）得，a＞1，
∴，
∴…①，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴…②，
由①+②得：，
∴2a＋3b的取值范围是．
【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键．
23．(本题10分)已知中，是边上的高，是的角平分线．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，、分别平分和的外角，请直接写出与的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作交延长线于G，若，且，交的延长线于H，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，进而得到，，根据是边上的高得到，即可求出；
（2）根据角平分线的定义得到，进而得到，结合即可得到；
（3）根据得到，得到，从而求出．由（2）得，结合，得到．根据平分，得到，根据，得到，求出．从而分别求出，，，再求出，根据四边形内角和为即可求出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴；
（2）答：．
证明：∵、分别平分和的外角，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
由（2）得，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在四边形中，．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线、高线的定义，四边形内角和等知识，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．
24．(本题12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形的斜边在轴上，，，、、、，且、满足．
(1)求、的坐标；
(2)点为轴上一点，若的面积是的面积的一半，求出此时点坐标；
(3)如图2，过点水平向左作射线轴，将射线绕点以度秒逆时针速旋转，转至与射线重合后立刻继续以度秒顺时针匀速旋转，射线绕点以度秒逆时针匀速旋转射线和同时开始旋转，旋转后的射线分别记为，，当射线与重合时，射线和同时停止运动，射线与交于点，运动时间为秒．
①当时，求此时的时间值；
②若过点作交于点，求与满足的放量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①值为或；②或
【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合坐标系得出，设根据题意列出方程，解方程即可求解；
（3）①分别过点图1和2，分别过作轴交轴于点，垂直于交于点（图1为射线第一次与射线重合前，图2为射线第一次与射线重合后），当当时，由题意，得轴，根据列出方程，得出，当时，同理得出；
②当时，根据已知条件分别得出，，即可得出；②如图2，当时，得出，当时，无法构成点或，进而即可求解．
【详解】（1）解：
（2）由题意得
设，
（3）如图1和2，分别过点图1和2，分别过作轴交轴于点，垂直于交于点
（注：图1为射线第一次与射线重合前，图2为射线第一次与射线重合后）
依题意，当转至与射线重合时，，当射线与重合时，
①如图1，当时，由题意，得轴
如图2，当时，
，
综上，值为或
②（i）如图1，当时，
，
，
，
（ii）如图2，当时，
（iii）当时，无法构成点或．
综上，或
【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，平行线的性质与判定，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
组别
身高范围（单位：厘米）
划记
频数
频率
A
3
0.03
B
正
8
0.08
C
a
0.15
D
正正正正正
28
0.28
E
正正正正正一
26
0.26
F
正正
14
0.14
G
正一
6
0.06
一、单选题(共30分
1．(本题3分)已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）
2．(本题3分)在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是（ ）
A．全面调查适用于所有的调查
B．为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体
3．(本题3分)已知，点P的坐标为，点Q的坐标为，O为坐标原点，则满足（ ）
A．大于135小于180°B．等于135°
C．大于90°小于135°D．大于0°小于90°
4．(本题3分)将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
5．(本题3分)用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
6．(本题3分)数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．(本题3分)在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35°B．40°C．45°D．60°
8．(本题3分)如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点0运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五运动到点，第六次运动到点，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（ ）
A．-2B．0C．1D．2
9．(本题3分)已知关于x的不等式组，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．(本题3分)如图，，，垂足分别为B和D，和分别平分和．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．③④
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共18分
11．(本题3分)已知点，其中，，，且、、、均为整数，那么在平面直角坐标系中点的可能位置共有__________个.
12．(本题3分)在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为______．
13．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上的一动点，则MN+NP的最小值为___________．
14．(本题3分)在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
15．(本题3分)若方程组无解，则a=_________
16．(本题3分)已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
三、解答题(共72分
17．(本题8分)如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式（）．
(1)直接写出与x，的大小关系；
提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系；
提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系．
(2)根据（1）中的结论解决下列问题：
①直接写出满足的m取值范围；
②直接写出方程的解．
18．(本题8分)新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
19．(本题8分)某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出）
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是___________．
(2)___________，___________．
(3)请补全频数分布直方图
(4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数．
20．(本题8分)直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；
(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
21．(本题8分)为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
22．(本题10分)阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2 又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．
又∵y<0，∴－1
(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______；
(2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围．
23．(本题10分)已知中，是边上的高，是的角平分线．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，、分别平分和的外角，请直接写出与的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作交延长线于G，若，且，交的延长线于H，求的度数．
24．(本题12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形的斜边在轴上，，，、、、，且、满足．
(1)求、的坐标；
(2)点为轴上一点，若的面积是的面积的一半，求出此时点坐标；
(3)如图2，过点水平向左作射线轴，将射线绕点以度秒逆时针速旋转，转至与射线重合后立刻继续以度秒顺时针匀速旋转，射线绕点以度秒逆时针匀速旋转射线和同时开始旋转，旋转后的射线分别记为，，当射线与重合时，射线和同时停止运动，射线与交于点，运动时间为秒．
①当时，求此时的时间值；
②若过点作交于点，求与满足的放量关系，并说明理由．
组别
身高范围（单位：厘米）
划记
频数
频率
A
3
0.03
B
正
8
0.08
C
a
0.15
D
正正正正正
28
0.28
E
正正正正正一
26
0.26
F
正正
14
0.14
G
正一
6
0.06
七下期末押题预测（培优压轴卷）
一、单选题(共30分
1．(本题3分)已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）
【答案】C
【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．
【详解】解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
【点睛】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系，有理数加法乘法法则，正确掌握有理数的加法乘法法则是解题的关键.
2．(本题3分)在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是（ ）
A．全面调查适用于所有的调查
B．为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C．为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D．为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体
【答案】B
【分析】根据全面调查的特点判断A与B；根据样本容量的定义判断C；根据样本具有的特点判断D．
【详解】A、全面调查不能适用于所有的调查，如具有破坏性的抽查只能用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
B、为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查，故本选项说法正确，符合题意；
C、为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为100，故本选项说法错误，不符合题意；
D、为了解全校中学生的身高，不能以该校篮球队队员的身高作为样本，因为篮球队队员的身高普遍较高，这样选取的样本不具有代表性，不能客观估计总体，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，全面调查与抽样调查，样本容量，掌握相关概念是解题的关键．
3．(本题3分)已知，点P的坐标为，点Q的坐标为，O为坐标原点，则满足（ ）
A．大于135小于180°B．等于135°
C．大于90°小于135°D．大于0°小于90°
【答案】C
【分析】先判断出，则点P在第三象限，再证明，即点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，则点P在第三象限的平分线的上方，且在x轴的下方，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴点P在第三象限，
∵，，
∴，
∵，，
∴ ，，
∴，
∴点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，
∴点P在第三象限的平分线的上方，且在x轴的下方，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，算术平方根和立方根，正确得到点P在第三象限的平分线的上方，在x轴的下方是解题的关键．
4．(本题3分)将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵，
∴
∠E=60，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故②正确；
∵，
∴，
∵,
∴∠3=∠B,
∴,故③正确；
∵，
∴∠CFE=∠C，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=,
∴∠2=90-∠1=，故④正确，
故选：D.
【点睛】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
5．(本题3分)用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
【答案】A
【分析】分别设做了竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，列二元一次方程组，把两个方程的两边分别相加得，易知的值一定是5的倍数，本题即解答.
【详解】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得
，
∵x、y 都是正整数
∴一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，
∴的值可能是200.
故选A.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用；巧妙处理所列方程组，使两方程相加得出，是解答本题的关键.
6．(本题3分)数轴上的点，，表示的数分别为，，，其中，，且，是中点，线段上仅有个表示整数的点．若，则整数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据有理数乘法运算法则，异号得负，得出；由得，即；根据中点的定义，确定点表示的数为；由线段上仅有个表示整数的点，确定这两个整数点为和，点在和之间，则，，在和之间，则，然后利用不等式的性质，先确定的范围，然后再确定的范围，进而确定的范围，也就是的范围，最后确定的范围，从而确定整数不可能选项．
【详解】解：∵，，且，
∴，且，即，
∵是中点，
∴，点表示的数为，
∴，
∵线段上仅有个表示整数的点．，
∴线段上除了没有其他表示整数的点，线段上有个表示整数的点和，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴，
∴不可能是．
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴的点的对应关系，其中涉及到有理数的乘法运算法则，绝对值的含义，利用不等式的性质确定字母的范围，中点的定义．能够根据题目的每个条件分别得出相应的结论，然后综合分析是解决本题的关键．
7．(本题3分)在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（ ）
A．35°B．40°C．45°D．60°
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可知，再由周角360°以及=70°可求出∠EFB，再根据平行线的性质即可求∠AEF．
【详解】解：由题意可得：，
由折叠可知：，
∵=360°，=70°，
∴=145°，
∵，
∴∠AEF+∠EFB=180°，
∴∠AEF=180°-145°=35°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算．
8．(本题3分)如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点0运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五运动到点，第六次运动到点，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】先探究点的运动规律，再结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象知，动点P每运动6次为一个循环，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，-2，0，2，0；
∵2022÷6=337，
∴经过策2022次运动后，动点P的纵坐标是0．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
9．(本题3分)已知关于x的不等式组，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可．
【详解】解：由x﹣1＞0得x＞1，
由x﹣a≤0得x≤a，
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确；
②当a＝1时，它无解，此结论正确；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确；
④如果它有解，那么a＞1，此结论错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．(本题3分)如图，，，垂足分别为B和D，和分别平分和．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．③④
【答案】C
【分析】由，可证；由角平分线的性质可知；题中没有条件可以证明；由可知，根据平行线性质可得.由此可知①②③④的正误.
【详解】解：∵，，
∴．
∴，
∵，分别平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵不一定平行于，
∴不一定垂直于．
故①②④正确，③错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键.
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共18分
11．(本题3分)已知点，其中，，，且、、、均为整数，那么在平面直角坐标系中点的可能位置共有__________个.
【答案】
【分析】先根据，，、、、均为整数，得，，再根据，分类讨论即可．
【详解】解：∵，、、、均为整数，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴或或或或，
当时，9个，
当 或或或或或2或3时，（个），
当时，9（个），
∴共有（个），
故答案为．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，不等式的意义，分类讨论的思想方法，运用分类讨论的思想方法是本题的关键．
12．(本题3分)在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为______．
【答案】 5 /
【分析】（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交点，根据题意分别求得的坐标，然后根据，即可求解．
（2）设，则，根据平移可得向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，求得，根据三角形面积求得，即可求解．
【详解】解：（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图，
∵A（，4），B（，3），C（1，0），
∴ ，
，，
∴，
，
，
故答案为：5；
（2），设，则，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴向下移动了个单位，向右移动了个单位，
∴向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，
如图，过点作轴，于点，则，
过点作轴交于点，
∵，
∴，
∴，
根据题意是沿方向平移得到的，
∴，
∵，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
13．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上的一动点，则MN+NP的最小值为___________．
【答案】
【分析】连接AM，根据点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），得到OA=4，OB=3，OM=3，过M作MP⊥AB于P交OA于N，则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AM，
∵点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，OM=3，
过M作MP⊥AB于P交OA于N，
则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，
∵， BM=6，OA=4，AB=5，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段最短的应用，坐标与图形性质，三角形的面积公式，正确的作出图形是解题的关键．
14．(本题3分)在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
【答案】6或9或15或33
【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．
【详解】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t=(秒)；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6(秒)；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9(秒)；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15(秒)；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，
∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33(秒)；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．
故答案为：6或9或15或33．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．(本题3分)若方程组无解，则a=_________
【答案】-6
【分析】把第二个方程整理得到y＝2x−1，然后利用代入消元法消掉未知数y得到关于x的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得解．
【详解】解：，
由②得，y＝2x−1③，
③代入①得，ax＋3（2x−1）＝9，
即（a＋6）x＝12，
∵方程组无解，
∴a＋6＝0，
∴a＝−6．
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0．
16．(本题3分)已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵，
∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组有解但没有整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．
三、解答题(共72分
17．(本题8分)如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式（）．
(1)直接写出与x，的大小关系；
提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系；
提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系．
(2)根据（1）中的结论解决下列问题：
①直接写出满足的m取值范围；
②直接写出方程的解．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）提示1：通过举例子的形式进行推导即可；提示2：根据得到，进一步推出，则；
（2）①根据（1）的结论可得，解不等式组即可；②根据（1）的结论可得，求出，再由为整数即可得到答案．
【详解】（1）解：提示1：当时，，，
则，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
由“不完全归纳法”可得：；
提示2：，且，
；
（2）解：①由（1）的结论得：
，
，
解得；
②由（1）的结论得：，
，
，
解得，
，
，
为整数，
则或，
解得或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，理解新定义，正确求解不等式组是解题关键．
18．(本题8分)新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．
【答案】(1)，
(2)2或
(3)
【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可；
（3）利用非负性求出的值，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）∵无理数“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∵无理数的“青一区间”为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴的值为2或．
（3）∵
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为．
【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．
19．(本题8分)某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出）
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是___________．
(2)___________，___________．
(3)请补全频数分布直方图
(4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数．
【答案】(1)100；
(2)15，100.8；
(3)见解析
(4)168
【分析】（1）由A的学生人数和所占百分比求出调查总人数；
（2）用总人数乘以B的百分比即可求出a，用360°乘以百分比得到m；
（3）根据a值补全直方图；
（4）用总人数600乘以D的百分比即可．
（1）
解：本次抽样调查的样本容量是3÷3%=100（人），
故答案为：100；
（2）
a=100×0.15=15，m=360°×28%=100.8°，
故答案为：15，100.8；
（3）
补全直方图：
（4）
600×28%=168（人），
∴身高在D组的学生有168人．
【点睛】本题考查的是直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．(本题8分)直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；
(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①∠E+2∠F=180°，证明见解析；②70°
【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．
【详解】（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，
∴∠ABT=∠BTK，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABT=∠TBK，
∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，
∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，
∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：
延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），
∴∠E+2∠F=180°；
②由①知∠E+2∠F=180°，
∵∠BEC=40°，
∴∠F=70°．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关键是用含α，β的式子表示∠E，∠F，从而得到∠E，∠F之间的数量关系．
21．(本题8分)为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；
(2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
【答案】(1)即调整后的技术人员最多有人；
(2)．
【分析】（1）根据题意，求得这名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可；
（2）由①可得，由②，根据题意，求解不等式组即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，（）
解得：，
又∵，
∴
即调整后的技术人员最多有人；
（2）解：由①可得，由②
即，解得
又∵为正整数且，
∴当时，最大，为；
当时，最小，为，
综上，存在，满足题意．
【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式．
22．(本题10分)阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2 又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．
又∵y<0，∴－1
(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______；
(2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围．
【答案】(1)1＜x+y＜5
(2)a＞1
(3)
【分析】（1）模仿阅读材料解答即可；
（2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；
（3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论．
【详解】（1）解：∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1…①，
同理可得2＜x＜4…②，
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）解：解方程组，
得，
∵该方程组的解都是正数，
∴x＞0，y＞0，
∴，
解不等式组得：a＞1，
∴a的取值范围为：a＞1；
（3）解：∵a－b=4，b<2，
∴，
∴，
由（2）得，a＞1，
∴，
∴…①，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴…②，
由①+②得：，
∴2a＋3b的取值范围是．
【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键．
23．(本题10分)已知中，是边上的高，是的角平分线．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，、分别平分和的外角，请直接写出与的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作交延长线于G，若，且，交的延长线于H，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，进而得到，，根据是边上的高得到，即可求出；
（2）根据角平分线的定义得到，进而得到，结合即可得到；
（3）根据得到，得到，从而求出．由（2）得，结合，得到．根据平分，得到，根据，得到，求出．从而分别求出，，，再求出，根据四边形内角和为即可求出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴；
（2）答：．
证明：∵、分别平分和的外角，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
由（2）得，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在四边形中，．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线、高线的定义，四边形内角和等知识，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．
24．(本题12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形的斜边在轴上，，，、、、，且、满足．
(1)求、的坐标；
(2)点为轴上一点，若的面积是的面积的一半，求出此时点坐标；
(3)如图2，过点水平向左作射线轴，将射线绕点以度秒逆时针速旋转，转至与射线重合后立刻继续以度秒顺时针匀速旋转，射线绕点以度秒逆时针匀速旋转射线和同时开始旋转，旋转后的射线分别记为，，当射线与重合时，射线和同时停止运动，射线与交于点，运动时间为秒．
①当时，求此时的时间值；
②若过点作交于点，求与满足的放量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①值为或；②或
【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合坐标系得出，设根据题意列出方程，解方程即可求解；
（3）①分别过点图1和2，分别过作轴交轴于点，垂直于交于点（图1为射线第一次与射线重合前，图2为射线第一次与射线重合后），当当时，由题意，得轴，根据列出方程，得出，当时，同理得出；
②当时，根据已知条件分别得出，，即可得出；②如图2，当时，得出，当时，无法构成点或，进而即可求解．
【详解】（1）解：
（2）由题意得
设，
（3）如图1和2，分别过点图1和2，分别过作轴交轴于点，垂直于交于点
（注：图1为射线第一次与射线重合前，图2为射线第一次与射线重合后）
依题意，当转至与射线重合时，，当射线与重合时，
①如图1，当时，由题意，得轴
如图2，当时，
，
综上，值为或
②（i）如图1，当时，
，
，
，
（ii）如图2，当时，
（iii）当时，无法构成点或．
综上，或
【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，平行线的性质与判定，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
组别
身高范围（单位：厘米）
划记
频数
频率
A
3
0.03
B
正
8
0.08
C
a
0.15
D
正正正正正
28
0.28
E
正正正正正一
26
0.26
F
正正
14
0.14
G
正一
6
0.06
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