还剩22页未读，
继续阅读
2023年四川省自贡市富顺三中中考数学适应性试卷（含解析）
展开
这是一份2023年四川省自贡市富顺三中中考数学适应性试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各数：−4，−2.8，0，|−4|，其中比−3小的数是( )
A. −4B. |−4|C. 0D. −2.8
3.2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步.将470000000用科学记数法表示为( )
A. 47×107B. 4.7×107C. 4.7×108D. 0.47×109
4.下列计算正确的是( )
A. 2a+a=3a2B. a3⋅a2=a6C. a5−a3=a2D. a3÷a2=a
5.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量(单位：kg)如下：
26 30 28 28 30 32 34 30
则这组数据的中位数和众数分别为( )
A. 30，30B. 29，28C. 28，30D. 30，28
7.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( )
A. 32°
B. 58°
C. 68°
D. 60°
8.从−1、2、3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m,n)在函数y=6x图象上的概率是( )
A. 12B. 14C. 13D. 18
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=ax与正比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为( )
A. 3+π2
B. π−2
C. 1
D. 5−π2
11.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(−3,−2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为( )
A. (−4,0)B. (−2,0)C. (−4,0)或(−2,0)D. (−3,0)
12.如图四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°.若CD=4，则△ABE的面积为( )
A. 127
B. 247
C. 487
D. 507
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.分解因式：ax2−4ax+4a= ．
14.若关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，则a的取值范围为______．
15.若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是______(只写一个)．
16.点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是______．
17.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是______．
18.如图，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数y=4x(x>0)的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连结OB1、OB2、OB3，那么图中阴影部分的面积之和为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：(3.14−π)0− 27+|1− 3|+4sin60°．
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，AE//BF．
求证：(1)△ADE≌△BCF；
(2)四边形DECF是平行四边形．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x2+xx−1−x−1)÷x3+x2x2−2x+1，其中x为0，−1，1，2等几个数字中合适的数．
22.(本小题8分)
某中学九(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)九(1)班的学生人数为______，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中m=______，n=______，表示“足球”的扇形的圆心角是______度；
(3)排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
23.(本小题10分)
如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
(1)求证：AE与⊙O相切于点A；
(2)若AE//BC，BC=2 7，AC=2 2，求AD的长．
24.(本小题10分)
如图，已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(12,8)，直线y=−x+b经过该反比例函数图象上的点Q(4,m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．
25.(本小题12分)
问题背景
如图(1)，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠BAD=α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=12α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．
(1)特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD=∠B=∠D=90°时”如图(2)，小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______；
(2)类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图(1)的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
(3)解决问题
如图(3)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD= 2，请直接写出DE的长．
26.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(−1,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：因为|−4|=4，
所以−4<−3<−2.8<0<|−4|，
其中比−3小的数是−4．
故选：A．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【解答】
解：470000000=4.7×108，
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：A、2a+a=3a，故A不符合题意；
B、a3⋅a2=a5，故B不符合题意；
C、a5与a3不能合并，故C不符合题意；
D、a3÷a2=a，故D符合题意；
故选：D．
根据整式加法法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，逐一进行计算即可解答．
本题考查了整式加法法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6.【答案】A
【解析】解：将这组数据从小到大排列为26、28、28、30、30、30、32、34，
所以这组数据的中位数为30+302=30，众数为30，
故选：A．
将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，∠2=∠3，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°−∠1=58°．
故选：B．
本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°.解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
8.【答案】C
【解析】解：画树状图如下，
2×3=6，3×2=6，
∵共有6种等可能的结果，点P在反比例函y=6x图象上的有2种情况，
∴点(m,n)在反比例函数y=6x图象上的概率为26=13，
故选：C．
画树状图可得所有mn的积的等可能结果，由点(m,n)在反比例函数y=6x图象上可得mn=6，进而求解．
本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法．
9.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右边，
∴a、b异号，即b>0．
∴反比例函数y=ax的图象位于第二、四象限，
正比例函数y=bx的图象位于第一、三象限．
观察选项，C选项符合题意．
故选：C．
由已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数y=ax与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象．
此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a<0；对称轴的位置即可确定b的取值范围．
10.【答案】D
【解析】解：设AE与BC为直径的半圆切于点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=∠ABC=90°，
∴AB、EC分别与BC为直径的半圆相切，
∴EC=EF，AB=AF，
∴DE=2−CE，AE=2+CE，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，即(2+CE)2=22+(2−CE)2，
解得：CE=12，
∴DE=2−12=32，
∴阴影部分的面积=22−12×π×12−12×2×32=5−π2，
故选：D．
根据切线的性质得到EC=EF，根据勾股定理列出方程求出CE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理的应用、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是(−3,0)．
故选D．
此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG=DE，可证得正方形AFCD，通过勾股定理计算出BC=1，所以BF=3，在Rt△BCE中可求得BG=BE=257，即可求得面积．
【解答】
解：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG=DE．
∵AD//BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠BCD=∠AFC=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∵∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∴四边形ADCF是正方形，
∴AF=AD，∠AFG=∠ADE=90°，
又FG=DE，
∴△AFG≌△ADE，
∴AG=AE，∠FAG=∠DAE，
∴∠BAG=∠FAG+∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE，
∴△BAE≌△BAG，
∴BE=BG=BF+GF=BF+DE，
设BC=a，则AB=4+a，BF=4−a，
在Rt△ABF中，42+(4−a)2=(4+a)2，解得a=1，
∴BC=1，BF=3，
设BE=b，则DE=b−3，CE=4−(b−3)=7−b．
在Rt△BCE中，12+(7−b)2=b2，解得b=257，
∴BG=BE=257，
∴S△ABE=S△ABG=12×257×4=507．
故选D．
13.【答案】a(x−2)2
【解析】【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
本题主要考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
【解答】
解：ax2−4ax+4a
=a(x2−4x+4)
=a(x−2)2，
故答案为：a(x−2)2．
14.【答案】a≥−2且a≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，
∴Δ=42−4a×(−2)≥0且a≠0，
解得：a≥−2且a≠0．
故答案为：a≥−2且a≠0．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到Δ=42−4a×(−2)≥0且a≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．同时也考查了一元二次方程的定义，熟练掌握这些内容是解题关键．
15.【答案】6(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式△>0，即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2−4×2×3>0，
解得：b<−2 6或b>2 6．
故答案可以为：6．
16.【答案】3 55
【解析】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC=3×3−12×2×1−12×2×1−12×3×3−1=9−1−1−92−1=32，AB= 12+22= 5，
∴12× 5h=32，
∴h=3 55．
故答案为：3 55．
连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17.【答案】5 22
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理，等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】
解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN=12BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴AC′=AB=5，
∴BC′= AC′2+AB2= 52+52=5 2，
∴MN最大=5 22．
故答案为5 22．
18.【答案】21318
【解析】解：根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=12|k|=2，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1//A2B2//A3B3//y轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3
则s1=12|k|=2，
∵OA1=A1A2=A2A3，
∴s2：S△OB2C2=1：4，s3：S△OB3C3=1：9，
∴图中阴影部分的面积分别是s1=2，s2=12，s3=29，
∴图中阴影部分的面积之和=2+12+29=21318．
故答案为：21318．
先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|，得到S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=12|k|=2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．
此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|．
19.【答案】解：原式=1−3 3+ 3−1+4× 32
=1−3 3+ 3−1+2 3
=0．
【解析】根据零指数幂，二次根式的运算法则，去绝对值，特殊角的三角函数值化简各项，再计算加减法．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
20.【答案】证明：(1)∵AC=BD，
∴AC−CD=BD−CD，
即AD=BC，
∵AE//BF，
∴∠A=∠B，
在△ADE与△BCF中，
AD=BC∠A=∠BAE=BF，
∴△ADE≌△BCF(SAS)；
(2)由(1)得：△ADE≌△BCF，
∴DE=CF，∠ADE=∠BCF，
∵∠ADE+∠EDC=180°，∠BCF+∠FCD=180°，
∴∠EDC=∠FCD，
∴DE//CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
【解析】(1)由SAS证明△ADE≌△BCF即可；
(2)由全等三角形的性质得DE=CF，∠ADE=∠BCF，则根据等角的补角相等可得∠EDC=∠FCD，即DE//CF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明△ADE≌△BCF是解题的关键．
21.【答案】解：(x2+xx−1−x−1)÷x3+x2x2−2x+1
=x2+x−(x+1)(x−1)x−1⋅(x−1)2x2(x+1)
=x2+x−x2+1x−1⋅(x−1)2x2(x+1)
=x+1x−1⋅(x−1)2x2(x+1)
=x−1x2，
∵当x=0，−1或1时，原分式无意义，
∴x=2，
当x=2时，原式=2−122=14．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从0，−1，1，2中选出一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)九(1)班的学生人数为：12÷30%=40(人)，
喜欢足球的人数为：40−4−12−16=40−32=8(人)，
补全统计图如图所示；
(2)∵440×100%=10%，
840×100%=20%，
∴m=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；
故答案为：(1)40；(2)10，20，72；
(3)根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P(恰好是1男1女)=612=12．
【解析】(1)根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；
(2)分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可；
(3)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】证明：(1)连接OA，交BC于F，则OA=OB=OD，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
(2)∵AE//BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴AB=AC，FB=12BC，
∴AB=AC，
∵BC=2 7，AC=2 2，
∴BF= 7，AB=2 2，
在Rt△ABF中，AF= (2 2)2−( 7)2=1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+(OB−AF)2，
OB2=( 7)2+(OB−1)2
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD= BD2−AB2= 64−8= 56=2 14．
【解析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
(1)连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
(2)先证明OA⊥BC，由垂径定理得：AB=AC，FB=12BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
24.【答案】解：(1)把点(12,8)代入反比例函数y=kx(k≠0)，得k=12×8=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
又∵点Q(4,m)在该反比例函数图象上，
∴4⋅m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为(4,1)，
而直线y=−x+b经过点Q(4,1)，
∴1=−4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=−x+5；
(2)联立y=−x+5y=4x，
解得x=4y=1或x=1y=4，
∴P点坐标为(1,4)，
对于y=−x+5，令y=0，得x=5，
∴A点坐标为(5,0)，
∴S△OPQ=S△AOB−S△OBP−S△OAQ
=12×5×5−12×5×1−12×5×1
=152．
【解析】(1)把点(12,8)代入反比例函数y=kx(k≠0)，确定反比例函数的解析式为y=4x；再把点Q(4,m)代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=−x+b，即可确定b的值；
(2)把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于y=−x+5，令y=0，求出A点坐标，然后根据S△OPQ=S△AOB−S△OBP−S△OAQ进行计算即可．
本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及求两个图象交点的方法(转化为解方程组)；也考查了利用面积的和差求图形面积的方法．
25.【答案】解：(1)BE+DF=EF；
(2)成立．
证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，
可得∠ABE=∠ADH，∠BAE=∠DAH，AE=AH，BE=DH，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADH+∠ADC=180°，
∴点F，D，H在同一直线上．
∵∠BAD=α，∠EAF=12α，
∴∠BAE+∠FAD=12α，
∴∠DAH+∠FAD=12α，
∴∠FAH=∠EAF，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△AHF(SAS)，
∴EF=FH=DF+DH=DF+BE；
(3)DE=5 23．
【解析】【分析】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的有关性质等知识点．
(1)将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，据此知AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG.证△AFE≌△AFG得EF=FG，从而得出答案；
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，知∠ABE=∠ADH，∠BAE=∠DAH，AE=AH，BE=DH，证△AEF≌△AHF得EF=FH=DF+DH=DF+BE；
(3)将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′.据此知BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，由AB=AC=4知∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，从而得E′B2+BD2=E′D2.易证△AE′D≌△AED得DE=DE′，根据DE2=BD2+EC2可得答案．
【解答】
解：(1)BE+DF=EF，
如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，
∵∠ADC=∠B=∠ADG=90°，
∴∠FDG=180°，即点F，D，G共线，
由旋转可得AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=90°−45°=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
又∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF，
故答案为：BE+DF=EF．
(2)见答案；
(3)DE=5 23，
如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．
可得BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，∵AB=AC=4，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=4 2，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，
∴E′B2+BD2=E′D2，
同理可证：△AE′D≌△AED，
∴DE=DE′，
∴DE2=BD2+EC2，即DE2=( 2)2+(3 2−DE)2，
解得DE=5 23．
26.【答案】解：(1)∵直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A(4,0)，点B(0,−2)，
设抛物线解析式为：y=a(x+1)(x−4)，
∴−2=−4a，
∴a=12，
∴抛物线解析式为：y=12(x+1)(x−4)=12x2−32x−2；
(2)如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP//AB，交抛物线与点P，
∵OP//AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB=S△ABO，
∵OP//AB，
∴直线PO的解析式为y=12x，
联立方程组可得y=12xy=12x2−32x−2，
解得：x=2+2 2y=1+ 2或x=2−2 2y=1− 2，
∴点P(2+2 2,1+ 2)或(2−2 2,1− 2)；
当点P′′在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE=OB=2，过点E作EP′′//AB，交抛物线于点P′′，
∴AB//EP′′//OP，OB=BE，
∴S△ABP′′=S△ABO，
∵EP′′//AB，且过点E(0,−4)，
∴直线EP′′解析式为y=12x−4，
联立方程组可得y=12x−4y=12x2−32x−2，
解得x=2y=−3，
∴点P′′(2,−3)，
综上所述：点P坐标为(2+2 2,1+ 2)或(2−2 2,1− 2)或(2,−3)；
(3)如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M(m,12m2−32m−2)，则点F(m,12m−2)，
∴MF=12m−2−(12m2−32m−2)=−12(m−2)2+2，
∴△MAB的面积=12×4×[−12(m−2)2+2]=−(m−2)2+4，
∴当m=2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M(2,−3)，
如图3，过点O作∠KOB=30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB=30°，KN⊥OK，
∴KN=12ON，
∴MN+12ON=MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB=30°，
∴直线OK解析式为y= 3x，
当x=2时，点Q(2,2 3)，
∴QM=2 3+3，
∵OB//QM，
∴∠PQM=∠PON=30°，
∴PM=12QM= 3+32，
∴MN+12ON的最小值为 3+32．
【解析】(1)先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
(2)分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP′′的解析式，联立方程组可求解；
(3)过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M(m,12m2−32m−2)，则点F(m,12m−2)，可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积=−(m−2)2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB=30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN=12ON，可得MN+12ON=MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．
1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各数：−4，−2.8，0，|−4|，其中比−3小的数是( )
A. −4B. |−4|C. 0D. −2.8
3.2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步.将470000000用科学记数法表示为( )
A. 47×107B. 4.7×107C. 4.7×108D. 0.47×109
4.下列计算正确的是( )
A. 2a+a=3a2B. a3⋅a2=a6C. a5−a3=a2D. a3÷a2=a
5.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量(单位：kg)如下：
26 30 28 28 30 32 34 30
则这组数据的中位数和众数分别为( )
A. 30，30B. 29，28C. 28，30D. 30，28
7.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( )
A. 32°
B. 58°
C. 68°
D. 60°
8.从−1、2、3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m,n)在函数y=6x图象上的概率是( )
A. 12B. 14C. 13D. 18
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=ax与正比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为( )
A. 3+π2
B. π−2
C. 1
D. 5−π2
11.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(−3,−2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为( )
A. (−4,0)B. (−2,0)C. (−4,0)或(−2,0)D. (−3,0)
12.如图四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°.若CD=4，则△ABE的面积为( )
A. 127
B. 247
C. 487
D. 507
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.分解因式：ax2−4ax+4a= ．
14.若关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，则a的取值范围为______．
15.若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是______(只写一个)．
16.点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是______．
17.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是______．
18.如图，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数y=4x(x>0)的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连结OB1、OB2、OB3，那么图中阴影部分的面积之和为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：(3.14−π)0− 27+|1− 3|+4sin60°．
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，AE//BF．
求证：(1)△ADE≌△BCF；
(2)四边形DECF是平行四边形．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x2+xx−1−x−1)÷x3+x2x2−2x+1，其中x为0，−1，1，2等几个数字中合适的数．
22.(本小题8分)
某中学九(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)九(1)班的学生人数为______，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中m=______，n=______，表示“足球”的扇形的圆心角是______度；
(3)排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
23.(本小题10分)
如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
(1)求证：AE与⊙O相切于点A；
(2)若AE//BC，BC=2 7，AC=2 2，求AD的长．
24.(本小题10分)
如图，已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(12,8)，直线y=−x+b经过该反比例函数图象上的点Q(4,m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．
25.(本小题12分)
问题背景
如图(1)，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠BAD=α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=12α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．
(1)特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD=∠B=∠D=90°时”如图(2)，小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______；
(2)类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图(1)的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
(3)解决问题
如图(3)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD= 2，请直接写出DE的长．
26.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(−1,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：因为|−4|=4，
所以−4<−3<−2.8<0<|−4|，
其中比−3小的数是−4．
故选：A．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【解答】
解：470000000=4.7×108，
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：A、2a+a=3a，故A不符合题意；
B、a3⋅a2=a5，故B不符合题意；
C、a5与a3不能合并，故C不符合题意；
D、a3÷a2=a，故D符合题意；
故选：D．
根据整式加法法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，逐一进行计算即可解答．
本题考查了整式加法法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6.【答案】A
【解析】解：将这组数据从小到大排列为26、28、28、30、30、30、32、34，
所以这组数据的中位数为30+302=30，众数为30，
故选：A．
将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，∠2=∠3，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°−∠1=58°．
故选：B．
本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°.解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
8.【答案】C
【解析】解：画树状图如下，
2×3=6，3×2=6，
∵共有6种等可能的结果，点P在反比例函y=6x图象上的有2种情况，
∴点(m,n)在反比例函数y=6x图象上的概率为26=13，
故选：C．
画树状图可得所有mn的积的等可能结果，由点(m,n)在反比例函数y=6x图象上可得mn=6，进而求解．
本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法．
9.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右边，
∴a、b异号，即b>0．
∴反比例函数y=ax的图象位于第二、四象限，
正比例函数y=bx的图象位于第一、三象限．
观察选项，C选项符合题意．
故选：C．
由已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数y=ax与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象．
此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a<0；对称轴的位置即可确定b的取值范围．
10.【答案】D
【解析】解：设AE与BC为直径的半圆切于点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=∠ABC=90°，
∴AB、EC分别与BC为直径的半圆相切，
∴EC=EF，AB=AF，
∴DE=2−CE，AE=2+CE，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，即(2+CE)2=22+(2−CE)2，
解得：CE=12，
∴DE=2−12=32，
∴阴影部分的面积=22−12×π×12−12×2×32=5−π2，
故选：D．
根据切线的性质得到EC=EF，根据勾股定理列出方程求出CE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理的应用、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是(−3,0)．
故选D．
此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG=DE，可证得正方形AFCD，通过勾股定理计算出BC=1，所以BF=3，在Rt△BCE中可求得BG=BE=257，即可求得面积．
【解答】
解：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG=DE．
∵AD//BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠ADC=∠BCD=∠AFC=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∵∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∴四边形ADCF是正方形，
∴AF=AD，∠AFG=∠ADE=90°，
又FG=DE，
∴△AFG≌△ADE，
∴AG=AE，∠FAG=∠DAE，
∴∠BAG=∠FAG+∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE，
∴△BAE≌△BAG，
∴BE=BG=BF+GF=BF+DE，
设BC=a，则AB=4+a，BF=4−a，
在Rt△ABF中，42+(4−a)2=(4+a)2，解得a=1，
∴BC=1，BF=3，
设BE=b，则DE=b−3，CE=4−(b−3)=7−b．
在Rt△BCE中，12+(7−b)2=b2，解得b=257，
∴BG=BE=257，
∴S△ABE=S△ABG=12×257×4=507．
故选D．
13.【答案】a(x−2)2
【解析】【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
本题主要考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
【解答】
解：ax2−4ax+4a
=a(x2−4x+4)
=a(x−2)2，
故答案为：a(x−2)2．
14.【答案】a≥−2且a≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，
∴Δ=42−4a×(−2)≥0且a≠0，
解得：a≥−2且a≠0．
故答案为：a≥−2且a≠0．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到Δ=42−4a×(−2)≥0且a≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．同时也考查了一元二次方程的定义，熟练掌握这些内容是解题关键．
15.【答案】6(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式△>0，即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2−4×2×3>0，
解得：b<−2 6或b>2 6．
故答案可以为：6．
16.【答案】3 55
【解析】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC=3×3−12×2×1−12×2×1−12×3×3−1=9−1−1−92−1=32，AB= 12+22= 5，
∴12× 5h=32，
∴h=3 55．
故答案为：3 55．
连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17.【答案】5 22
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理，等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】
解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN=12BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴AC′=AB=5，
∴BC′= AC′2+AB2= 52+52=5 2，
∴MN最大=5 22．
故答案为5 22．
18.【答案】21318
【解析】解：根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=12|k|=2，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1//A2B2//A3B3//y轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3
则s1=12|k|=2，
∵OA1=A1A2=A2A3，
∴s2：S△OB2C2=1：4，s3：S△OB3C3=1：9，
∴图中阴影部分的面积分别是s1=2，s2=12，s3=29，
∴图中阴影部分的面积之和=2+12+29=21318．
故答案为：21318．
先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|，得到S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=12|k|=2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．
此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|．
19.【答案】解：原式=1−3 3+ 3−1+4× 32
=1−3 3+ 3−1+2 3
=0．
【解析】根据零指数幂，二次根式的运算法则，去绝对值，特殊角的三角函数值化简各项，再计算加减法．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
20.【答案】证明：(1)∵AC=BD，
∴AC−CD=BD−CD，
即AD=BC，
∵AE//BF，
∴∠A=∠B，
在△ADE与△BCF中，
AD=BC∠A=∠BAE=BF，
∴△ADE≌△BCF(SAS)；
(2)由(1)得：△ADE≌△BCF，
∴DE=CF，∠ADE=∠BCF，
∵∠ADE+∠EDC=180°，∠BCF+∠FCD=180°，
∴∠EDC=∠FCD，
∴DE//CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
【解析】(1)由SAS证明△ADE≌△BCF即可；
(2)由全等三角形的性质得DE=CF，∠ADE=∠BCF，则根据等角的补角相等可得∠EDC=∠FCD，即DE//CF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明△ADE≌△BCF是解题的关键．
21.【答案】解：(x2+xx−1−x−1)÷x3+x2x2−2x+1
=x2+x−(x+1)(x−1)x−1⋅(x−1)2x2(x+1)
=x2+x−x2+1x−1⋅(x−1)2x2(x+1)
=x+1x−1⋅(x−1)2x2(x+1)
=x−1x2，
∵当x=0，−1或1时，原分式无意义，
∴x=2，
当x=2时，原式=2−122=14．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从0，−1，1，2中选出一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)九(1)班的学生人数为：12÷30%=40(人)，
喜欢足球的人数为：40−4−12−16=40−32=8(人)，
补全统计图如图所示；
(2)∵440×100%=10%，
840×100%=20%，
∴m=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；
故答案为：(1)40；(2)10，20，72；
(3)根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P(恰好是1男1女)=612=12．
【解析】(1)根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；
(2)分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可；
(3)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】证明：(1)连接OA，交BC于F，则OA=OB=OD，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
(2)∵AE//BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴AB=AC，FB=12BC，
∴AB=AC，
∵BC=2 7，AC=2 2，
∴BF= 7，AB=2 2，
在Rt△ABF中，AF= (2 2)2−( 7)2=1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+(OB−AF)2，
OB2=( 7)2+(OB−1)2
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD= BD2−AB2= 64−8= 56=2 14．
【解析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
(1)连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
(2)先证明OA⊥BC，由垂径定理得：AB=AC，FB=12BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
24.【答案】解：(1)把点(12,8)代入反比例函数y=kx(k≠0)，得k=12×8=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
又∵点Q(4,m)在该反比例函数图象上，
∴4⋅m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为(4,1)，
而直线y=−x+b经过点Q(4,1)，
∴1=−4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=−x+5；
(2)联立y=−x+5y=4x，
解得x=4y=1或x=1y=4，
∴P点坐标为(1,4)，
对于y=−x+5，令y=0，得x=5，
∴A点坐标为(5,0)，
∴S△OPQ=S△AOB−S△OBP−S△OAQ
=12×5×5−12×5×1−12×5×1
=152．
【解析】(1)把点(12,8)代入反比例函数y=kx(k≠0)，确定反比例函数的解析式为y=4x；再把点Q(4,m)代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=−x+b，即可确定b的值；
(2)把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于y=−x+5，令y=0，求出A点坐标，然后根据S△OPQ=S△AOB−S△OBP−S△OAQ进行计算即可．
本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及求两个图象交点的方法(转化为解方程组)；也考查了利用面积的和差求图形面积的方法．
25.【答案】解：(1)BE+DF=EF；
(2)成立．
证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，
可得∠ABE=∠ADH，∠BAE=∠DAH，AE=AH，BE=DH，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADH+∠ADC=180°，
∴点F，D，H在同一直线上．
∵∠BAD=α，∠EAF=12α，
∴∠BAE+∠FAD=12α，
∴∠DAH+∠FAD=12α，
∴∠FAH=∠EAF，
又∵AF=AF，
∴△AEF≌△AHF(SAS)，
∴EF=FH=DF+DH=DF+BE；
(3)DE=5 23．
【解析】【分析】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的有关性质等知识点．
(1)将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，据此知AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG.证△AFE≌△AFG得EF=FG，从而得出答案；
(2)将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，知∠ABE=∠ADH，∠BAE=∠DAH，AE=AH，BE=DH，证△AEF≌△AHF得EF=FH=DF+DH=DF+BE；
(3)将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′.据此知BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，由AB=AC=4知∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，从而得E′B2+BD2=E′D2.易证△AE′D≌△AED得DE=DE′，根据DE2=BD2+EC2可得答案．
【解答】
解：(1)BE+DF=EF，
如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，
∵∠ADC=∠B=∠ADG=90°，
∴∠FDG=180°，即点F，D，G共线，
由旋转可得AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=90°−45°=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
又∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF，
故答案为：BE+DF=EF．
(2)见答案；
(3)DE=5 23，
如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．
可得BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，∵AB=AC=4，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=4 2，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，
∴E′B2+BD2=E′D2，
同理可证：△AE′D≌△AED，
∴DE=DE′，
∴DE2=BD2+EC2，即DE2=( 2)2+(3 2−DE)2，
解得DE=5 23．
26.【答案】解：(1)∵直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A(4,0)，点B(0,−2)，
设抛物线解析式为：y=a(x+1)(x−4)，
∴−2=−4a，
∴a=12，
∴抛物线解析式为：y=12(x+1)(x−4)=12x2−32x−2；
(2)如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP//AB，交抛物线与点P，
∵OP//AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB=S△ABO，
∵OP//AB，
∴直线PO的解析式为y=12x，
联立方程组可得y=12xy=12x2−32x−2，
解得：x=2+2 2y=1+ 2或x=2−2 2y=1− 2，
∴点P(2+2 2,1+ 2)或(2−2 2,1− 2)；
当点P′′在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE=OB=2，过点E作EP′′//AB，交抛物线于点P′′，
∴AB//EP′′//OP，OB=BE，
∴S△ABP′′=S△ABO，
∵EP′′//AB，且过点E(0,−4)，
∴直线EP′′解析式为y=12x−4，
联立方程组可得y=12x−4y=12x2−32x−2，
解得x=2y=−3，
∴点P′′(2,−3)，
综上所述：点P坐标为(2+2 2,1+ 2)或(2−2 2,1− 2)或(2,−3)；
(3)如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M(m,12m2−32m−2)，则点F(m,12m−2)，
∴MF=12m−2−(12m2−32m−2)=−12(m−2)2+2，
∴△MAB的面积=12×4×[−12(m−2)2+2]=−(m−2)2+4，
∴当m=2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M(2,−3)，
如图3，过点O作∠KOB=30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB=30°，KN⊥OK，
∴KN=12ON，
∴MN+12ON=MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB=30°，
∴直线OK解析式为y= 3x，
当x=2时，点Q(2,2 3)，
∴QM=2 3+3，
∵OB//QM，
∴∠PQM=∠PON=30°，
∴PM=12QM= 3+32，
∴MN+12ON的最小值为 3+32．
【解析】(1)先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
(2)分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP′′的解析式，联立方程组可求解；
(3)过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M(m,12m2−32m−2)，则点F(m,12m−2)，可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积=−(m−2)2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB=30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN=12ON，可得MN+12ON=MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．
相关试卷
2023年四川省自贡市富顺第三中学校中考模拟检测（一）数学试题： 这是一份2023年四川省自贡市富顺第三中学校中考模拟检测（一）数学试题，共4页。
2023年四川省自贡市富顺第三中学校中考适应性检测数学试题： 这是一份2023年四川省自贡市富顺第三中学校中考适应性检测数学试题，共4页。
2023年四川省自贡市富顺县板桥中学中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年四川省自贡市富顺县板桥中学中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
