2023年四川省眉山市仁寿县中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年四川省眉山市仁寿县中考数学适应性试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −2023的倒数是( )
A. 2023B. −12023C. −2023D. 12023
2. 下列四个运算中，正确的一项是( )
A. a2+b2=a2b2B. (−2a2b)3=−6a6b3
C. 2x⋅(−3x2+1)=2x−6x3D. (a−b)2=a2−b2
3. 下列调查中，适宜采用普查的是( )
A. 蒸屉里的肉包子是否蒸熟B. 眉山市七个区县初三学生的睡眠质量
C. 一批LED节能灯的使用寿命D. “神舟十四号”载人飞船零件的质量
4. 下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5. 2022年，眉山市经济稳中有进，经济转型升级成效逐步显现，发展质量稳步提升，根据眉山市统计局初步核算结果，眉山市2022年地区生产总值(GDP)约1635.5亿元，同比增长3.8%，数字1635.5亿用科学记数法表示为( )
A. 1.6355×103B. 1635.5×108C. 1.6355×1011D. 1.6355×1012
6. 下面四个命题中，是假命题的一项为( )
A. 等腰三角形的两个底角相等B. 正方形的对角线互相平分
C. 三角形内心到三边的距离相等D. 相等的圆心角所对的弧是等弧
7. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，它奠定了中国传统数学的基本框架.其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”在这个问题中，物价钱数为( )
A. 49B. 53C. 56D. 59
8. 如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，将△ABC纸片绕着点A按顺时针方向旋转，使得点B落在点D处，点C落在AB边上的点E处，连接BD，若AC=4，BC=3，则线段BD的长为( )
A. 17B. 10C. 2 5D. 5
9. 已知m，n是方程x2+2x−6=0的两根，则3m2+4mn+2n2+2m的值为( )
A. 10B. 14C. 18D. 20
10. 如图，点A、B、C在圆O上，∠D=30°，直线AD//BC，AB=AD，点O在BD上.若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为( )
A. 3π−94 3
B. π−92 3
C. 3π−92 3
D. 3π
11. 不等式组3x−6>0x≤m只有2个整数解，则m的取值范围是( )
A. m≥4B. m<4C. 4≤m<5D. 312. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE//BF交AC于点E，连接FN，EM，若AO=AD，有下列结论：①NE=MF；②∠DEM=60°；③DN2=MC⋅NC；④四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是( )
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 分解因式：2x2−8= ______ ．
14. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于E，分别以点C，E为圆心，大于12CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，BC=4 2，则EF= ______ ．
15. 平面直角坐标系内有一点M(x,y)，已知x，y满足 4x+3+(5y−2)2=0，则点M关于y轴对称的点N在第______ 象限．
16. 如图，在△ABC中，AB=8，BC=12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB=90°，则线段EF的长为______ ．
17. 如图，矩形ABCD的边AB=4，AC=6，点E是AB的中点，点F是BC上一动点(不与B、C重合)，把△BEF沿EF对折，使点B与点N重合，则线段DN的最小值为______ ．
18. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为x=−1，结合图象给出下列结论：①a⋅c>0，②b2>4ac，③9a−3b+c>0，④a−b≤m(am+b)(m为任意实数)，其中正确的结论有______ .(请把正确结论的序号填在横线上)
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(−12)−1+(3−π)0+ 12×tan30°−|−2|．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2−4x+2)÷x24−x2，其中x是满足−2≤x<1的整数．
21. (本小题10.0分)
为落实国家“双减政策”，真正做到减时增效，学校九年级举行了半期质量监测.为了解本次质量监测中数学学科的情况，数学李老师随机抽查了部分同学的数学成绩(折合成百分制)进行整理、描述和分析(单位：分)：首先，李老师将成绩分为四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图.说明：A(优秀90≤x≤100)，B(良好80≤x<90)，C(合格70≤x<80)，D(不合格x<70)；扇形C的圆心角为直角．
然后，李老师核查到D组四位同学的得分分别是68，54，65，59．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)李老师本次抽样调查的样本容量是______ ，请帮李老师补全条形统计图；
(2)D组数据的平均数为______ ，中位数为______ ；
(3)已知D组中只有两名男生，李老师准备随机回访D组中的任意两名同学，帮助他(她)们查漏补缺，提高数学成绩，请你用画树状图或列表的方法求出李老师回访到的两名同学恰好是一男一女的概率．
22. (本小题10.0分)
为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示.已知小山北坡长为240米，坡度i=1： 3，南坡的坡脚是45°.(出发点B和C在同一水平高度，将山路AB、AC看成线段)
(1)求小山南坡AB的长；
(2)如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度.(结果保留根号)
23. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A(−3,a)，B(−1,−3)两点，过点A作AC垂直x轴，交x轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求四边形ABOC的面积；
(3)根据图象直接写出不等式kx+b>mx的解集．
24. (本小题10.0分)
“双减”政策实施后，学生有了更多体验生活、学习其它知识的时间，为丰富学生的课外生活，某学校计划购入A、B两种课外书，已知用300元购进A种书的数量与用400元购进B种书的数量相同，B种书每本价格比A种书每本价格多10元．
(1)求A种书、B种书的单价；
(2)若学校一次性购进A、B两种书共200本，且要求购进A种书的本数不超过B种书本数的2倍，则学校怎样购书，才能使购书款最少？请你求出最少的购书款及相应的购买方案．
25. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，tan∠EAD=12，求BC的长．
26. (本小题12.0分)
如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B(5,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且BO=CO，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC上方抛物线上的点，过点P作PQ⊥BC，PE//CO，与BC分别交于点Q和E，如图2，求PQ+PE的最大值；
(3)连结PC与PB，是否存在以BC为直角边的Rt△PBC.如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2023×(−12023)=1，
∴−2023的倒数是−12023，
故选：B．
运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】C
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=−8a6b3，不符合题意；
C、原式=2x−6x3，符合题意；
D、原式=a2−2ab+b2，不符合题意．
故选：C．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、蒸屉里的肉包子是否蒸熟，适合采用抽样调查，故A不符合题意；
B、眉山市七个区县初三学生的睡眠质量，适合采用抽样调查，故B不符合题意；
C、一批LED节能灯的使用寿命，适合采用抽样调查，故C不符合题意；
D、“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适合采用全面调查，故D符合题意；
故选：D．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴．
本题考查的是轴对称图形，正确掌握轴对称图形的概念是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：1635.5亿=163550000000=1.6355×1011，
故选：C．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】D
【解析】解：等腰三角形的两个底角相等，故A是真命题，不符合题意；
正方形的对角线互相平分，故B是真命题，不符合题意；
三角形内心到三边的距离相等，故C是真命题，不符合题意；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧，故D是真命题，不符合题意；
故选：D．
根据等腰三角形性质，正方形性质，三角形内心的性质，等弧的概念逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的定理和概念．
7.【答案】B
【解析】解：设合伙购物的人有x人，物价为y钱，
根据题意得：8x−3=y7x+4=y，
解得：x=7y=53，
∴物价为53钱．
故选：B．
设合伙购物的人有x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得，AB= 32+42=5，
∵将△ABC纸片绕着点A按顺时针方向旋转，使得点B落在点D处，
∴AE=AC=4，∠AED=∠C=90°，DE=BC=3，
∴DE=1，
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得，BD= BE2+DE2= 12+32= 10，
故选：B．
首先利用勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质得AE=AC=4，∠AED=∠C=90°，DE=BC=3，在Rt△BDE中，利用勾股定理即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理，旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：把x=m代入方程得：m2+2m−6=0，即m2+2m=6，
由根与系数的关系得：m+n=−2，
则原式=m2+2m+2(m2+n2)+4mn
=m2+2m+2(m+n)2−4mn+4mn，
=6+2×(−2)2
=6+8
=14．
故选：B．
把x=m代入方程求出m2+2m的值，再根据根与系数的关系求出m+n，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
则BC=2BH，

∵∠D=30°，AD//BC，
∴∠CBO=∠D=30°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴OH=12OB=32，BH= 3OH=32 3，
∴BC=2BH=3 3，
∴扇形OBC的面积为：120π×32360=3π，
∵S△OBC=12BC⋅OH=12×3 3×32=94 3，
∴阴影部分的面积为：3π−94 3．
故选：A．
根据阴影部分的面积=扇形BOC的面积−△BOC的面积，可求解．
本题考查扇形面积的计算，垂径定理，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表示方法．
11.【答案】C
【解析】解：3x−6>0①x≤m②，
解不等式①，得：x>2，
∴该不等式组的解集是2∵不等式组3x−6>0x≤m只有2个整数解，
∴这两个整数解是3，4，
∴4≤m<5，
故选：C．
先解出不等式组的解集，再根据不等式组3x−6>0x≤m只有2个整数解，即可得到m的取值范围．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
12.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，CD//AB，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△ADN和△CBM中，
∠DNA=∠BMC=90°∠DAN=∠BCMAD=CB，
∴△ADN≌△CBM(AAS)，
∴DN=BM，
∵DF//BE，DE//BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF，
∴EN=FM，故①正确，
∵NE//FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN=CM，
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，
∴∠ABM=∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴AMBM=BMCN，
∵DN=BM，AM=CN，
∴DN2=CM⋅CN，故③正确，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
∵∠AED=60°，
∴∠DEB=120°，
∵EM不是菱形DEBF的对角线，
∴∠DEM≠60°，故②错误，
综上所述：正确结论是①③④，共3个，
故选：A．
①证明△ADN≌△CBM(AAS)，得DN=BM，然后证明四边形DFBE是平行四边形，可得结论；
③证明△AMB∽△BMC，推出AMBM=BMCN，再证明DN=BM，AM=CN，可得结论；
④证明△AOD是等边三角形，然后得DE=BE，可得结论；
②结合④，根据菱形的一条对角线平分一组对角，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
13.【答案】2(x+2)(x−2)
【解析】解：2x2−8
=2(x2−4)
=2(x+2)(x−2)；
故答案为：2(x+2)(x−2)．
先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可．
本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键．
14.【答案】4 2
【解析】解：由作法得BE=BC=4 2，BF平分∠CBE，
∴∠EBF=∠CBF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠F=∠CBF，
∴∠F=∠EBF，
∴EF=BE=4 2．
故答案为：4 2．
利用基本作图得到BE=BC，BF平分∠CBE，则∠EBF=∠CBF，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明∠F=∠EBF，所以EF=BE．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．
15.【答案】一
【解析】解：∵ 4x+3+(5y−2)2=0，而 4x+3≥0，(5y−2)2≥0，
∴4x+3=0，5y−2=0，
解得x=−34，y=25，
∴点M(−34,25)，
∴点M关于y轴对称的点N的坐标为(34,25)，在第一象限，
故答案为：一．
根据算术平方根、偶次方的非负性，求出x、y的值，确定点M的位置，再根据关于y轴对称的两点坐标的关系得出点N坐标，确定所在的象限．
本题考查算术平方根、偶次方的非负性以及关于y轴对称的点的坐标特征，掌握算术平方根、偶次方的非负性以及“关于y轴对称的两个，其横坐标互为相反数，纵坐标不变”是正确解答的前提．
16.【答案】2
【解析】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=12，
∴DE=12BC=6，
在Rt△AFB中，AB=8，
DF=12AB=4，
∴EF=DE−DF=6−4=2，
故答案为：2．
根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
17.【答案】2 10−2
【解析】解：如图，连接DE，
∵AB=4，点E是AB的中点，
∴AE=2=BE，
∴DE= AD2+AE2= 4+36=2 10，
∵把△BEF沿EF对折，
∴EN=BE=2，
∴点N在以点E为圆心，BE为半径的圆上，
∴点N在线段DE上时，DN有最小值，最小值为2 10−2，
故答案为：2 10−2．
由勾股定理可求DE的长，由折叠的性质可得EN=BE=2，则点N在以点E为圆心，BE为半径的圆上，即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，确定点N的运动轨迹是解题的关键．
18.【答案】②④
【解析】解：∵抛物线开口向上，交y的负半轴，
∴a>0，c<0，
∴a⋅c<0，
∴①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，
∴②正确；
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
∴③错误；
∵x=−1时函数取最小值，
∴a−b+c≤m(am+b)+c，
∴a−b≤m(am+b)，
∴④正确．
故答案为：②④．
由抛物线开口向上，交y的负半轴即可判断①：由抛物线与x轴的交点可判断②；由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③；由x=−1时y取最小值可判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线有x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质．
19.【答案】解：原式=−2+1+2 3× 33−2
=−2+1+2−2
=−1．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(2−4x+2)÷x24−x2
=2x+4−4x+2÷x24−x2
=2xx+2⋅−(x−2)(x+2)x2
=4−2xx，
∵x是满足−2≤x<1的整数，且x≠0，4−x2≠0，
∴x≠±2，x≠0，
∴当x=−1时，
原式=4−2×(−1)−1
=−6．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】40 61.5 62
【解析】解：(1)李老师本次抽样调查的样本容量是10÷90360=40，
∴B有40×35%=14(人)，
∴A有40−14−10−4=12(人)，
补全条形统计图如下：

故答案为：40；
(2)D组数据的平均数为68+54+65+594=61.5，
将D组数据从小到大排列：54，59，65，68，
∴D组数据的中位数为59+652=62；
故答案为：61.5，62；
(3)把两名男生记为A，B，两名女生记为C，D，根据题意列表得：
共有12种等可能的结果，其中李老师回访到的两名同学恰好是一男一女的有8种，
∴李老师回访到的两名同学恰好是一男一女的概率是812=23．
(1)由C的10人，圆心角为90°可得样本容量，从而可得A，B的人数，补全条形统计图；
(2)根据平均数和中位数概念可得答案；
(3)列表求出所有等可能的情况，再由概率公式计算．
本题考查条形统计图，扇形统计图与概率，解题的关键是掌握用列表法或树状图求出所有的结果数．
22.【答案】解：(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵山坡AC的坡度i=1： 3，
∴ADCD=1 3= 33，
在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD= 33，
∴∠ACD=30°，
∵AC=240米，
∴AD=12AC=120(米)，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴AB=ADtan45∘=120 22=120 2(米)，
∴小山南坡AB的长为120 2米；
(2)∵AC=240米，
∴小明到达山顶A需要的时间=24024=10(分)，
∵AB=120 2米，
∴小强攀登的速度=120 210=12 2(米/分)，
∴小强若要和小明同时到达山顶A，小强攀登的速度为12 2米/分．
【解析】(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据已知可得在Rt△ADC中，tan∠ACD= 33，从而可得∠ACD=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得AD=120米，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)利用(1)的结论，再根据路程、速度、时间之间的关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A(−3,a)，B(−1,−3)两点，
∴m=−3a=−1×(−3)，
∴m=3，a=−1，
∴反比例函数为y=3x，A(−3,−1)，
∴−3k+b=−1−k+b=−3，
解得k=−1b=−4，
∴一次函数为y=−x−4；
(2)令x=0，则y=−x−4=−4，
∴Q(0,−4)，
∵AC垂直x轴，交x轴于点C，
∴四边形ABOC的面积S=S梯形ACOQ−S△BOQ=12(1+4)×3−12×4×1=112；
(3)观察图象，不等式kx+b>mx的解集为x<−3或−1【解析】(1)由反比例函数y=mx(m≠0)的图象过A(−3,a)，B(−1,−3)两点，求得m、a的值，即可求得反比例函数为y=3x，A(−3,−1)，然后利用待定系数法即可求得一次函数为y=−x−4；
(2)由一次函数的解析式求得Q点的坐标，利用四边形ABOC的面积S=S梯形ACOQ−S△BOQ求得即可；
(3)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设A种书的单价为x元，则B种书的单价为(x+10)元，
由题意得：300x=400x+10，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
∴x+1−40，
答：A种书的单价为30元，B种书的单价为40元；
(2)设购进A种书m本，则购进B种书(200−m)本，
由题意得：m≤2(200−m)，
解得：m≤4003，
∵m为正整数，
∴m的最大值为133，
设购书款为w元，
由题意得：w=30m+40(200−m)=−10m+8000，
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=133时，w的值最小，最小值=−10×133+8000=6670，
此时，200−133=67，
答：购进A种书133本，B种书67本，才能使购书款最少，最少的购书款为6670元．
【解析】(1)设A种书的单价为x元，则B种书的单价为(x+10)元，根据用300元购进A种书的数量与用400元购进B种书的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进A种书m本，则购进B种书(200−m)本，根据购进A种书的本数不超过B种书本数的2倍，列出一元一次不等式，解得m≤4003，再设购书款为w元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
25.【答案】解：(1)连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE//AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；
(2)连接BE，∵AB为直径，
∴∠AEB=90°=∠D，
又∠DAE=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴ADAE=AEAB=DEBE，
又tan∠EAD=12，
∴DEAD=BEAE=12，则AE=2BE，又AB=10，
在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即(2BE)2+BE2=102，
解得：BE=2 5，则AE=4 5，
∴AD4 5=4 510=DE2 5，
解得：AD=8，DE=4，
∵OE//AD，
∴△COE∽△CAD，
∴COCA=OEAD，设BC=x，
∴x+5x+10=58，解得：x=103，
经检验：x=103是原方程的解，
故BC的长为103．
【解析】(1)连接OE，由题意可证OE//AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，则可证CD是⊙O的切线；
(2)连接BE，证明△ADE∽△AEB，得到ADAE=AEAB=DEBE，根据tan∠EAD=12，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再证明△COE∽△CAD，得到COCA=OEAD，设BC=x，解方程即可求出BC．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
26.【答案】(1)解：∵BO=CO，B(5,0)，
∴C(0,5)，
将B(5,0)，C(0,5)代入y=−x2+bx+c可得：
−25+5b+c=0c=5，
解得：b=4c=5，
∴抛物线的解析式：y=−x2+4x+5；
(2)解：∵B(5,0)，C(0,5)，
设直线BC：y=kx+n，
5k+n=0n=5，
解得：k=−1b=5，
∴直线BC的解析式为：y=−x+5，
设P(m,−m2+4m+5)，
∵PC//OC交BC于E点，
∴∠PEC=∠OCB，E(m,m+5)，
∴PE=−m2+4m+5−m−5=−m2+3m，(注意：PE⊥x轴，且P在E上方)，
又∵PQ⊥BC，
∴∠PQE=∠BOC=90°，
∴△BOC∽△PQE，
∴PEBC=PQOB，
根据已知可得△BOC是等腰直角三角形，
∴BC= 2OB，
∴PE= 2PQ，
∴PQ= 22PE，
∴PE+PQ=32 2EP，
∴PE+PQ=32 2(−m2+3m)=−32 2[(m−32)2−94]，
∵a=−32 2<0，
∴当m=32时，PE+PQ有最大值为278 2；
(3)解：存在以BC为直角边的Rt△PBC，
理由如下：
分两种情况：
当∠PCB=90°时，如图：

由(2)知道直线BC的解析式为：y=−x+5，
∵CP⊥BC，且过C点，
∴直线PC的解析式为：y=x+5，
∵P(m,−m2+4m+5)在直线PC上，
∴m+5=−m2+4m+5，
解得：m=0(舍)或m=3，
∴m=3，
∴此时P(3,8)；
当∠PBC=90°时，如图：

由(2)知道直线BC的解析式为：y=−x+5，
∵BP⊥BC，且过B点，
∴直线PB的解析式为：y=x−5，
∵P(m,−m2+4m+5)在直线PC上，
∴m−5=−m2+4m+5，
解得：m=−2或m=5(舍)，
∴P(−2,−7)，
∴此时P(−2,−7)，综上所述：P点坐标为(3,8)或(−2,−7)．
【解析】(1)根据OB=OC，得C(0,5)，将B、C点坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求得；
(2)先证明△BOC∽△PQE，得PE= 2PQ，求出直线BC解析式为y=x+5，设P点坐标(m,−m2+4m+5)，则E(m,m+5)，PE=−m2+3m，可得PQ+PE是关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可解决；
(3)分两种情况：∠PCB=90°或∠PBC=90°，分别求出两种情况下过C或B点与BC垂直的直线的解析式，与二次函数解析式联立建立一元二次方程即可解决．
本题考查了二次函数的图象和性质，三角形相似的判定和性质，运用待定系数法，求函数解析式的知识，解题的关键是熟悉已知条件，理解题意．
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)