2024年山西省临汾市大宁县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 4D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的除法，先确定符号，再计算除法即可．
【详解】．
故选：C．
2. 花钿（）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，其中以红色为最多，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．是轴对称图形不是中心对称图形 ，故该选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项分别对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；
C． ，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：B．
4. 年月日，中国汽车工业协会发布的数据显示，年汽车销量累计完成万辆，同比增长，创历史新高．数据“万辆”用科学记数法表示为（ ）
A. 辆B. 辆
C. 辆D. 辆
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：数据“万辆”用科学记数法表示为辆．
故选：C．
5. 电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、邻补角的定义，延长交于点，由平行线的性质得到，根据邻补角的定义得，最后根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【详解】解：延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，再把分子去括号，合并同类项，最后约分即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
7. 我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（ ）
A. 一般到特殊B. 数形结合思想
C. 模型思想D. 分类讨论思想
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，依据探究过程并结合选项可作出判断．
【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊．
故选：A．
8. 如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，先由切线的性质得到，则由三角形内角和定理得到，进一步由圆周角定理得到，再由等边对等角得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵与相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 中国古代将天空分成东、北、西、南、中区域，称东方为苍龙象，北方为玄武（龟蛇）象，西方为白虎象，南方为朱雀象，是为“四象”．现有四张正面分别印有“苍龙象”“玄武象”“白虎象”“朱雀象”的不透明卡片（除正面图案外，其余完全相同），将其背面朝上洗匀，并从中随机抽取一张，记下卡片正面上的图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果是解题关键．画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的结果，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D，
根据题意可画树状图如下，
由图可知共有16种等可能的结果，其中有2种结果为抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”，
∴抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的概率为．
故选D.
10. 如图，正方形内接于，是的直径．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，中心对称的性质，勾股定理；
连接，由正方形和圆的中心对称性可知，多边形和多边形全等，则阴影部分的面积为弓形与弓形的面积和，求出的半径，然后根据列式计算即可．
【详解】解：如图，连接，

∵正方形中，，
∴是直径，
由正方形和圆的中心对称性可知，多边形和多边形全等，
∴阴影部分的面积为弓形与弓形的面积和，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 因式分解：_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
12. 车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为__________．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式以及求反比例函数的自变量，设反比例函数为：，用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后再根据函数值求自变量即可．
【详解】解：设反比例函数为：，
由函数图像可知，函数过点，
∴，
解得：，
∴反比例函数为：，
当时，则：，
故答案为：30．
13. 为提高城区居民的生活质量，政府对其配套设施进行了改造，共有休闲设施、儿童设施、娱乐设施、健身设施项．改造完成后，该政府部门对各项设施进行居民满意度考核，任选城区内的，两个小区下发满意度调查问卷，其结果（单位：分，满分分）如下表：
若各项设施以的比例进行考核，则__________小区满意度更高．（填“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查加权平均数的应用，解题的关键是根据加权平均数的计算公式解答即可作出判断．
【详解】解：∵小区得分：（分），
小区得分：（分），
，
∴小区满意度更高．
故答案：．
14. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的基本图形组成．第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆……按此规律，第n个图案中圆的个数为__________．（用含n的代数式表示）
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了图形规律探索题，根据图形中圆的个数变化总结出规律并用代数式表示即可．
【详解】解：第1个图案中有个圆，
第2个图案中有个圆，
第3个图案中有个圆，
第4个图案中有个圆，
．．．
第n个图案中圆的个数为：个圆，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G，垂直平分，分别交，，于点H，M，N．若，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和解直角三角形，根据题意求得，结合垂直平分可得，进一步证明，有，可求得、和，利用，解得．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为矩形，点F在边的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，解得．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________；
②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________．
任务二：该一元二次方程的解为__________．
【答案】（1）；（2）任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，提公因式时，后边的未变号
任务二：或
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算．
（1）根据乘方，绝对值，零次幂的性质计算即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误．错误的原因是方程两边同时除以可能为0的代数式；
故答案为：二，方程两边同时除以可能为0的代数式；
②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误．错误的原因是后边的没有变号．
故答案为：三，提公因式时，后边的未变号．
任务二：，
，
，
或，
解得或．
17. 太原钟楼街镌刻着千年府城繁华的历史印记，在春节期间，各地游客在老街过大年．其中印有山西地图的冰箱贴成了各地游客最喜爱的伴手礼．现有A，B两款冰箱贴．A款冰箱贴的单价比B款冰箱贴的单价少4元．且用280元购买A款冰箱贴的数量与用312元购买B款冰箱贴的数量相等．求A，B两款冰箱贴的单价．
【答案】A款冰箱贴的单价为35元，B款冰箱贴的单价为39元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设A款冰箱贴的单价为x元，则B款冰箱贴的单价为元，根据题意列出分式方程，解分式方程可求解．
【详解】解：设A款冰箱贴的单价为x元，则B款冰箱贴的单价为元．
根据题意，得．
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴．
答：A款冰箱贴的单价为35元，B款冰箱贴的单价为39元．
18. 如图，在菱形中，为对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作的平分线交边于点E，交的延长线于点F．（要求：保留作图痕迹．不写作法，标明字母）
（2）猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，菱形的性质，
（1）利用尺规作图角平分线的作法，进行作图即可；
（2）由平分，再根据菱形，即可证明，进而得出．
【小问1详解】
解：如图即为所求．
【小问2详解】
证明：∵平分，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∴
∴
∴．
19. 在全国节能宣传周期间，某校组织开展主题为“节能降碳，你我同行”的社会实践活动．某组同学在甲、乙两个小区各随机抽取50户居民，获得了他们1月份的用电量（单位：kW·h），分别将两个小区居民用电量的数据分成5组：，，，，，并对数据进行整理和分析，下面给出部分信息：
信息一：
信息二：乙小区居民1月份用电量在这一组的数据是
106 118 120 122 123 125 125 127 128 130 130
131 133 133 133 134 137 140 142 143 149
信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，___________．
（2）在扇形统计图中，“”所在扇形圆心角的度数为__________°．
（3）若甲小区共有1000户居民，乙小区共有800户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于150 kW·h的总户数．
（4）请选择―种统计量分析这两个小区1月份的用电情况，并提出一条能够节能降碳的建议．
【答案】（1）16；125
（2）108 （3）380户
（4）答案不唯一，合理即可，如拔掉家中一切不用的电源
【解析】
【分析】对于（1），根据总户数为50，分别减去4组的频数可求出a，再确定乙小区的第25,26个数，求平均数即可得出中位数；
对于（2），先求出所占的百分数，再乘以；
对于（3），分别求出两个小区用电量大于150的户数，再求和即可；
对于（4），符合题意即可．
【小问1详解】
．
根据题意可知乙小区第25,26个数在之间，这两个数是125，125，则．
故答案为：16，125；
【小问2详解】
根据题意可知，
所以“”所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：；
【小问3详解】
甲小区用电量大于的百分比为，乙小区用电量大于的百分比为，所以这两个小区1月份用电量大于的总户数为；
【小问4详解】
拔掉家中一切不用的电源.（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，样本估计总体的思想，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键．
20. 带凳可坐便携式休闲购物车具有载货．省力，可坐且能爬楼的优点，受到民众尤其是老年人的青睐．某综合实践小组的成员制作了如图所示的示意图，其中直线表示地面，，直线，，，，，，求点D距离地面的高度．（结果精确到0.1cm；参考数据：，，，）
【答案】17.4cm
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点C分别作直线l于点N，于点M，过点B作于点H，过点D作于点G，延长AD交直线l于点F，易得四边形ABHM，四边形CGDM，四边形DGNF都是矩形．分别解，，
即可．
【详解】解：如解图，过点C分别作直线l于点N，于点M，过点B作于点H，过点D作于点G，延长AD交直线l于点F，则，四边形ABHM，四边形CGDM，四边形DGNF都是矩形．
∴，，，．
∵，
∴．
在中，，，
∴
∴．
在中，，，
∴．
∵，直线，
∴直线．
∴．
在中，，，
∴．
∴．
答：点D距离地面的高度约为17.4cm．
21. 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中横线部分应填写的结论为________；材料中“依据”的定理内容是________．
（2）请将材料中的证明过程补充完整．
（3）如图2，在中，点K，L分别在边上，连接交于点F．若，，则与的数量关系为_________________．

【答案】（1）是的中位线；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
（2）见解析 （3）（或）
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意进行填空即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行证明即可；
（3）连接，通过证明，，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【小问1详解】
如图，连接．

∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线．
∴，且．（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
故答案为：是的中位线；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
【小问2详解】
如图，连接．

∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线．
∴，且．（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
∴，．
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
连接，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22. 问题情境：
在直角三角形中，，，将直角三角形绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，，，分别为，的中点，连接，．
猜想证明：
（1）如图，当恰好经过点时，与的位置关系是___________，数量关系是____________．
问题解决：
如图，当恰好经过点时．
（2）试猜想与的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）连接，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；；（2），，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）证明是等边三角形，得到旋转角，再证明四边形是矩形，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得，继而得到旋转角，证明四边形是矩形，得到，，，，根据等腰三角形的性质及角的直角三角形得到，即可得出结论；
（3）角的直角三角形得到，，根据勾股定理得，最后在中，根据勾股定理可得结论．
【详解】解：（1）与的位置关系是，数量关系是．
理由：在直角三角形中，，，
∴，
∵将直角三角形绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点，
∴，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点，分别为，的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
（2）与位置关系是，数量关系是．
理由：在直角三角形中，，，
∴，
∵将直角三角形绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，恰好经过点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别为，中点，
∴，，
，，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即；
（3）∵在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴线段的长为．
【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线．P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点M，交直线于点 ，连接，，其中点A 的坐标为．
（1）求直线的函数表达式．
（2）求面积的最大值．
（3）当是等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）先用待定系数法求出二次函数解析式，再分别求出点B、C坐标，再用待定系数法为一次函数解析式；
（2）利用“割补思想”将的面积转化为，的面积和，通过设点，最后用m的代数式表达出的面积，最后利用配方法求最值；
（3）分类讨论，①当，过点C作于点E，利用等腰三角形的三线合一，将其转化为处理；②当，过点P作于点H，则由，得，，而，建立方程即可；
③当，过点C作于点F，，发现，，得出：，解方程即可．
【小问1详解】
把代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴，
当时，.解得，，
∴，
设直线的函数表达式为，
把，分别代入，得
解得，
∴直线的函数表达式为；
【小问2详解】
如解图1，过点C作于点D，则四边形是矩形，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，面积的最大值为；
【小问3详解】
由（2），得，，，
可分为以下三种情况讨论：
①当点C为顶角顶点时，，如解图2，过点C作于点E，
则，，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②当点N为顶角顶点时，，如解图3，过点C作于点F，则，，
∵，，
∴
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
③当点P为顶角顶点时，，如解图4，过点P作于点H，则，
由②，得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，与等腰三角形的存在性结合考查，熟知待定系数法求函数解析式，配方法求最值，以及等腰三角形的存在性问题的解题方法是解决本题的关键．休闲设施
儿童设施
娱乐设施
健身设施
小区
小区
小刚同学：
解：第一步
第二步
解得第三步
小颖同学：
解：第一步
第二步
第三步
或第四步
解得或第五步
甲小区
乙小区
平均数/kW· h
120
130
中位数/kW·h
118
连接三角形顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心．经过研究发现，三角形的重心把中线分成1：2两部分，用数学语言表述为：
如图1，在中，中线相交于点G，则有，．

证明过程如下：
如图，连接．
∵D，E分别是边的中点，
∴_________．
∴，且．（依据）
∴，．
……