2024年山西省太原市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：上午8：30-10：30）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，根据减法法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
故选：．
2. 国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、相除、积的乘方、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、。故该选项是错误的；
B、不是同类项，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
4. 下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图，根据俯视图是从物体的上面观察得到的图形，结合选项进行判断即可，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
该几何体的俯视图是：
故选：．
5. 2023年我国金融服务实体经济质效提升，据国家金融监督管理总局统计，截止2023年末，全国新增减税降费及退税缓费22289.9亿元．数据“22289.9亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，将亿元写成，再写成的形式即可，其中，n为整数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿元，
故选：A．
6. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融人人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，再利用角的和差关系可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
7. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的意义．
根据众数的实际意义求解即可．
【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数，
故选：B．
8. 图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（ ）
A. 24B. 21C. 15D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由的对应边恰好落在直线上可知，再证明是等边三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，．
∵的对应边恰好落在直线上，
∴到、的距离相等，
∴，点是边的中点，
∴四边形、四边形是平行四边形，，
∴．
由折叠知，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形的周长为∶．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
9. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）

A. 当液体密度时，浸在液体中的高度
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．
【详解】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
10. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径所作的弧经过点，并与边交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的性质，扇形的面积公式等知识，求得及是解题的关键．由平行四边形的性质证明，则，由，求得，则，而，可推导出求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵以点B为圆心，长为半径所作的弧经过点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
．
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一元一次不等式的解集是______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标．
【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，
∴建立坐标系如图所示：
∴点B的坐标为．
故答案为：．
13. 如图是印有十二生肖鼠、牛、虎、兔、龙的5张卡片(除正面图案外，其余都相同)，将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，记录下生肖后放回，再随机抽取一张，则抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的概率是______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将印有十二生肖鼠、牛、虎、兔、龙的5张卡片分别记为A，B，C，D，E，
列表如下：
共有25种等可能的结果，其中抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的结果有1种，
∴抽取的两张图片中恰好都是生肖“龙”的概率为．
故答案为：．
14. 目前，我市很多小区都设置了智能垃圾回收机，居民按要求分类投递垃圾，就能获取可提现的“环保金”，已知某小区智能回收机早晚高峰时段环保金发放标准为0.8元/kg，其他时段为1元/kg，新手注册赠送3.88元环保金．李阿姨注册后的一周内分不同时段共投递6.7物品，共得环保金10.3元．若设李阿姨在高峰时段投递的物品重量为，则x满足的方程为______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，根据“注册后的一周内分不同时段共投递6.7物品，共得环保金10.3元”即可列出一元一次方程．
【详解】设李阿姨在高峰时段投递的物品重量为，则其他时段为，
根据题意得．
故答案为：．
15. 如图，中，，于点，点是的中点，线段的延长线与边交于点．若，，则的长为______
【答案】##
【解析】
【分析】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识．作交的延长线于点，则，得，求得，，则，再证明，进而求得，，则，因为，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：作交的延长线于点，则，
，
，，，
，
于点，
，
，，
，，
点是的中点，
，
∵，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（）；（），．
【解析】
【分析】（）利用平方差公式，化简立方根，计算负整数次幂，再算乘法，然后再合并即可；
（）根据解一元二次方程的解法即可求解；
此题考查了二次根式混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】（）解：原式，
，
；
（）方法1：解：将原方程化为一般形式，得，
这里，，
∴，
∴，
即，；
方法2：解：原方程可变形为，
，
，
或，
∴，．
17. 如图，是的直径，点是上一点，，过点作的平行线与过点的的切线相交于点．判断四边形的形状并说明理由．
【答案】四边形是平行四边形，证明见解析.
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形性质，平行四边形的判定，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下：
连接，
点是上的一点，是的切线，
．
，
．
，
．
．
，
四边形是平行四边形．
18. 为更好推动数字化教育，某校组织七、八年级的学生开展为期五天的信息素养提升实践活动，计划开设五场主题活动．为了解学生的活动意向，学校在七、八年级各随机抽取40名同学进行问卷调查（调查问卷如图，所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图和扇形统计图空缺的部分；
（2）已知该校七、八年级学生共有1000人参加本次实践活动（每人只参加一场主题活动），活动地点安排在两个多功能厅，学校根据调查结果给出五场主题活动的具体时间和地点的预案，其中主题活动C，D的时间和地点已确定，请你合理安排A，B，E三场活动的时间和地点，补全活动安排表格（写出一种方案即可），并说明理由．
【答案】（1）画图见解析
（2）补全表格及理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用40减去八年级A，B，C，D的人数可求出八年级E部分人数；分别用B、C、E、部分人数除以80可求出B、C、E部分的百分比；
（2）求出参加各种活动的人数，结合多功能厅能容纳的人数解答即可．
【小问1详解】
八年级E部分人数：人；
B部分百分比：；
C部分百分比：；
E部分百分比：；
补全条形统计图和扇形统计图如下：
【小问2详解】
活动安排为：
或
理由如下：根据统计图提供的信息，
参加主题活动A的学生人数约为：（人）；
参加主题活动B的学生人数约为：（人）；
参加主题活动E的学生人数约为：（人）；
所以主题活动E只能安排在南院多功能厅星期一进行；主题和主题的活动安排在北院多功能厅均可满足容纳人数的要求，周二或周四两天都可以安排．
19. 为进一步健全城市公园体系，我省大力倡导“口袋公园”建设，即在主城区道路与建筑连接处、交叉口的边角地带，通过留白增绿、破硬植绿等方式，打造群众身边的“微景观”，某城区要建设A，B两个口袋公园，公园A的面积比公园B大300平方米，公园A的造价为368万元，公园B的造价为280万元．已知公园B平均每平方米的造价是公园A每平方米造价的，求口袋公园A平均每平方米的造价为多少万元？
【答案】
【解析】
【分析】设口袋公园平均每平方米的造价为万元，则口袋公园平均每平方米的造价为万元，利用面积总造价平均每平方米的造价，结合公园的面积比公园大300平方米，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设口袋公园A平均每平方米的造价为x万元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的根．
答：口袋公园A平均每平方米的造价为万元．
20. 在太原市文咳公园，管立着一座高大的石碑——见义勇为纪念碑．此碑顶端为一只紧握的铁拳，象征见义勇为英雄扶正祛邪的强大力量．综合实践小组按如图所示的方案测量该纪念碑的高度：①在纪念碑前的空地上确定测量点，当测倾器高度为0.8米时，测得纪念碑最高点的仰角；②保持测倾器位置不变，调整测倾器高度为1.8米时，测得点的仰角．已知点，在同一竖直平面内，请根据该小组测量数据计算纪念碑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）
【答案】17米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，掌握利用锐角三角函数建立直角三角形边与角之间的关系是解题的关键．延长，分别与交于点和点，则四边形和四边形都是矩形，可得米，设米，在和中，利用锐角三角函数列方程组，解方程组可得答案．
【详解】解：如图，延长，分别与交于点和点，
由题意得，四边形和四边形都是矩形，
米，
米，
米．
设米，
在中，，
，即．
在中，，
，即．
，
，
解，得．
米．
米．
答：纪念碑的高度约为17米．
21. 阅读与思考
阅读下列材料并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：材料中的依据是指______；
（2）将方法二的证明过程补充完整；
（3）如图4，在五边形中，，．若点分别是边的中点，则线段长的取值范围是______．
【答案】（1）三角形中位线定理；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可；
（2）证明，推出，在中，利用三角形中位线定理即可得解；
（3）连接，作，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求得，再利用（1）的结论即可求解．
【详解】解：（1）点，点分别是和的中点，
，且．（三角形中位线定理）
故答案为：三角形中位线定理；
（2）∵点F是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴ ，且，
∵，
∴，
在中，，
∴，即；
（3）连接，作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵分别是边的中点，
由（1）得，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22. 综合与探究
如图1，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接交抛物线于点，点的横坐标为．
（1）求点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；
（2）如图2，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为．
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点四边形是正方形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）点A的坐标为，点C的坐标为，直线的函数表达式为；
（2）①；②点N的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）先求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）①点P的坐标为，证明，推出，据此求解即可；
②先求得轴，且，分三种情况讨论，分别画出图形，根据正方形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将代入得，，
解得，，
∵点A在x轴负半轴上，
∴点A的坐标为；
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，则，
解得，
∴直线的函数表达式为；
【小问2详解】
①∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为线段上方抛物线上的一个动点，
点的横坐标为，
∴点P的坐标为，
∵轴于点G，
∴，，
∵轴，点C的坐标为，
∴，
∴，
∴；
②当时，，
∴点F的坐标为，
∴，
∴轴，且，
当四边形为正方形时，如图，此时点与点重合，点与点重合，
∴点N的坐标为；
当四边形为正方形时，如图，此时点与点重合，点与点重合，
∴，则，解得，，
点N的坐标为；
当对角线时，如图，此时，
由正方形的性质得，
∴时，解得，
∴点G的坐标为，
∴点M的坐标为，，
点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
23. 综合与实践
问题情境：综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系．如图1，已知四边形是正方形，点在线段上，以为边作正方形，使点在线段上．延长至点，使，连接．
图1 图2 备用图
数学思考：（1）拼搏小组提出如下问题，请你解答：
①求证：；
②猜想线段与之间的数量关系，直接写出结论；
深入探究：（2）奋进小组将正方形从图1中位置开始，绕点逆时针旋转（设点的对应点为），提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点恰好落到线段上时，连接．猜想此时线段与之间的数量关系，并说明理由；
②若，在正方形旋转过程中，直接写出三点在同一直线上时线段的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）①先由正方形的性质得出再根据证明即可得出结论；②延长交于点，证明是等腰直角三角形即可得出结论；
（2）①连接分别证明，是等腰直角三角形，可得三点共线，进一步可得出结论；②分点三点共线和点三点共线两种情况结合相似三角形的判定与性质可得结论
【详解】解：（1）①∵四边形是正方形，
∴，
∴即
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
②如图，延长交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
（2）①如图，连接

由（1）①得，
∴
又
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
即：；
②如图，连接点三点共线时，
∵是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
如图，当三点共线时，
∵是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
综上，的长为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．A
B
C
D
E
A
B

C
D
E
信息素养提升实践活动意向调查问卷
请在下列选项中选择一项活动意向，并在其后“□”内打√（每位同学必须且只能选择其中一项）．
A．创意编程□ B．3D创意设计□ C．智能博物□
D．电脑绘图□ E．优创未来☐
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
地点
南院多功能厅
（容纳350人）
北院多功能厅
（容纳160人）
南院多功能厅
（容纳350人）
北院多功能厅
（容纳160人）
北院多功能厅
（容纳160人）
主题
______
______
C
______
D
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
地点
南院多功能厅
（容纳350人）
北院多功能厅
（容纳160人）
南院多功能厅
（容纳350人）
北院多功能厅
（容纳160人）
北院多功能厅
（容纳160人）
主题
E
A
C
B
D
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
地点
南院多功能厅
（容纳350人）
北院多功能厅
（容纳160人）
南院多功能厅
（容纳350人）
北院多功能厅
（容纳160人）
北院多功能厅
（容纳160人）
主题
E
B
C
A
D
四边形的中位线
我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，设与不平行，分别为的中点，则有结论：．
这个结论可以用下面的方法证明：
方法一：如图2，连接，取的中点，连接．
点，点分别是和的中点，
，且．（依据）
同理：，且．
．
在中，．
即．
方法二：如图3，连接并延长至点，使，连接．
…