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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点8-1 直线与圆8大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点8-1 直线与圆8大题型，文件包含热点8-1直线与圆8大题型原卷版docx、热点8-1直线与圆8大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点8-1 直线与圆8大题型
1、直线方程、直线的平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；
2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查；
3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。
一、平行和垂直的直线的设法
1、平行：与直线垂直的直线方程可设为
2、垂直：与直线垂直的直线方程可设为
二、直线与圆相交时的弦长求法：
1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，
整理出弦长公式为：
2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长
三、直线与圆相切时的切线问题
1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。
（1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；
（2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况
【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。
2、求过圆上一点的切线方程
法一：先求出切点与圆心的连线斜率，
若不存在，则结合图形可直接写出切线方程；
若，则结课图形可直接写出切线方程；
若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。
法二：若不存在，验证是否成立；
若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。
3、过圆外一点的圆的切线方程
法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程；
法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。
四、与圆的切线相关的结论
1、过圆上一点的圆的切线方程为；
2、过上一点的圆的切线方程为
3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为，
则切点弦所在直线方程为：
4、若圆的方程为，
则过圆外一点的切线长为.
5、圆心的三个重要几何性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在某一条弦的中垂线上；
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
五、两圆的公切线
1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线；
2、公切线的条数
【题型1 直线方程、倾斜角与斜率】
【例1】（2023·高三课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，两直线平行，无交点，不合题意，故，
由，得，
则两直线的交点为，
依题意得，解得，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：B
【变式1-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线方程为，
则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，
则，解得，即，，
同理可得：点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，
则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.故选：D
【变式1-2】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）（多选）已知直线：，直线：，过点的直线与，的交点分别为.且，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，且直线与直线之间的距离.
设直线的倾斜角为，斜率，所以，
又，所以直线的倾斜角为或.
当直线的倾斜角为时，设斜率为，
则，
所以直线的方程为，即；
当直线的倾斜角为时，设斜率为，
则.
所以直线的方程为，即.故选：AC.
【变式1-3】（2023·高三课时练习）直线过相异两点和，则的倾斜角的范围是______.
【答案】
【解析】当时，，此时重合，不合题意，直线斜率存在；
设直线斜率为，倾斜角为，则；
，又，.
故答案为：.
【变式1-4】（2022·全国·高三专题练习）直线与的夹角为________．
【答案】
【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，所以，
又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，
故答案为：.
【题型2 直线的平行与垂直问题】
【例2】（2023·吉林·统考二模）已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，
即，即，整理可得，
所以，
当且仅当时，等号成立；因此的最小值为.故选：D
【变式2-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）是直线与直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线垂直，
则，解得或，
所以由能够推出两直线垂直，故充分性成立；
由两直线垂直得不到，故必要性不成立，
故是直线与直线垂直的
充分不必要条件.故选：A
【变式2-2】（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）若直线与直线平行，其中、均为正数，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】由已知两直线平行可得，则，
因为、均为正数，利用基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
故答案为：.
【变式2-3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则a＝______．
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以函数在处的切线斜率为，
因为该切线与直线平行，故，解得
故答案为：1
【变式2-4】（2023·安徽合肥·统考一模）函数在点处的切线与直线平行，则实数______．
【答案】5
【解析】∵，则，∴，
若切线与直线平行，则，解得.
故答案为：5.
【题型3 圆的标准方程与一般方程】
【例3】（2023·陕西咸阳·校考一模）圆心在轴，半径为1，且过点的圆的标准方程是_____.
【答案】
【解析】由题，可设圆心坐标为，
因为所求圆的圆心在轴，半径为1，且过点，
所以，，解得，
所以，圆心坐标为，半径为1，
所以，所求圆的标准方程为
故答案为：
【变式3-1】（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是____________.
【答案】
【解析】设，则，解得，
即，则，整理得，
故点的轨迹方程是.
故答案为：.
【变式3-2】（2023·山东威海·统考一模）在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为______.
【答案】
【解析】设圆的方程为，
将点的坐标分别代入可得，
，解得
则可得圆的方程为
故答案为:
【变式3-3】（2023·全国·校联考模拟预测）写出以原点为圆心且与圆C：相切的一个圆的标准方程为________．
【答案】或
【解析】圆C：的圆心为，半径为1．
因为两圆圆心距为，
故若两圆外切，则所求圆的半径为，其标准方程为；
若两圆内切，则所求圆的半径为，其标准方程为．
故答案为：或
【变式3-4】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，
，则，，设，，
则，整理得到，
故轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，
不变，依然满足，
故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，
同时在球上，故在两球的交线上，为圆.
球心距为，
为直角三角形，对应圆的半径为，
周长为.故选：D
【题型4 圆的切线方程与切线长】
【例4】（2023秋·河北张家口·高三统考期末）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，
∵，∴点在圆上，
又∵，则切线的斜率，
∴切线方程为，即.故选：C.
【变式4-1】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
由直线方程，整理可得，则，
整理可得，由配方法可得，
，，
由，则，即，解得.故选：C.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】圆即，圆心为，半径为，
由题意可知过圆的圆心，
则，解得，点的坐标为，
作示意图如图所示：
，切点为，则，
所以．故选：B．
【变式4-3】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）直线l过点且与圆相切，则直线l的方程为______________．
【答案】或.
【解析】由，得圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则，，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线l的方程为或，
故答案为：或.
【变式4-4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过点且圆心在射线上，被轴截得弦长为，点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由题可设圆的圆心为，
又圆经过点，且被轴截得弦长为，
所以，又，解得，
所以圆的方程为；
（2）由题可知圆心为，半径为2，点，
当直线斜率不存在时，与相切，故满足题意
当直线斜率存在时，可设切线为，即，
则，解得，
所以切线为，即；
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
【题型5 圆的切点弦与弦长问题】
【例5】（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知直线被圆截得的线段长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆方程得：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
，解得：.故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）若直线与直线被圆截得的弦长之比为，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆C的标准方程为，
所以圆心到直线的距离为，
到直线的距离分别为，
所以直线被圆截得的弦长
为，
直线被圆截得的弦长
为，
由题意可得，解得，满足，
所以圆C的半径为，面积为.故选：B．
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）已知点P为直线l：上一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的定点的坐标为______.
【答案】
【解析】设点，则
∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B，
∴，
∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径
所以圆心坐标为，半径长为
∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为：
化为一般方程为：
即
与联立，求得AB所在直线方程为：①
又因为其中，即代入①中，得：
所以，所以 解得：
直线AB恒过定点的坐标为
故答案为：
【变式5-3】（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的直线方程为______.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
方程化为一般式方程为，
则，
以为圆心，为半径作圆，
其方程为，方程化为一般式方程为，
∵，则是圆与圆的交点，
两圆方程作差可得：，
∴直线的方程为
故答案为：
【变式5-4】（2023·高三课时练习）直线与圆相交于A、B两点，则的面积是______.
【答案】2
【解析】由得，
所以圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以，
所以的面积是.
故答案为：2
【题型6 两圆的公共弦问题】
【例6】（2022·全国·高三专题练习）圆O1：x2+y2-2x=0与圆O2：x2+y2+4y=0的公共弦所在的直线方程是（ ）
A．x+2y=0 B．x-2y=0 C．2x+y=0 D．2x-y=0
【答案】A
【解析】因为x2+y2-2x=0，x2+y2+4y=0，所以(x2+y2-2x)-(x2+y2+4y)=0，所以x+2y=0，
即所求直线方程为x+2y=0.故选：A
【变式6-1】（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知圆与圆相交于两点，则__________.
【答案】
【解析】将圆与圆的方程相减，
即得的方程为 ，
则的圆心为，半径为，
则到直线的距离为 ，
故，
故答案为：
【变式6-2】（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
【解析】由，得圆心，
且一般式为，
公共弦方程为，
，则弦长，
故答案为：.
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是___________．
【答案】
【解析】由题意所在的直线方程为：，
即，因为圆的圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为1，所以．
故答案为：
【变式6-4】（2023·全国·高三专题练习）圆和.
（1）取何值时与内切？
（2）求时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【答案】（1）；（2）公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为
【解析】（1）因为两圆的标准方程为：，
所以圆心分别为，半径分别为和
当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离
，
故有，解得.
（2）由题可得两圆的公共弦所在直线方程为
整理得，
所以公共弦长为
【题型7 两圆的公切线问题】
【例7】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）下列直线中，不是圆和公切线的一条直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当直线的斜率不存在时，设为，
若直线是圆和公切线
则满足，所以
所以直线是圆和公切线
当直线的斜率存在时，设直线方程为
若直线是圆和公切线
则满足即，所以
即，即
所以或，所以切线方程是和
综上：切线方程有和和故选：C
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．0条
【答案】B
【解析】由圆，则圆心，半径；
由圆，整理可得，
则圆心，半径；
由，
则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.
【变式7-2】（2022·广西北海·统考一模）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为圆：与：恰好有4条公切线，
所以圆与外离，所以，解得或，
即实数的取值范围是.故选：D.
【变式7-3】（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）“”是“圆与圆有公切线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由已知有，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为1，两圆圆心距，
当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离，
此时两圆的半径与圆心之间的距离满足，
即，又，故解得，
当时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，
此时两圆有公切线，
所以圆与圆有公切线的充要条件为，
所以“”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件，故选：D．
【变式7-4】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为的圆的一段圆弧，且弧所对的圆周角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，弧的中点为弧所对的圆周角为，则弧所对的圆心角为，
圆的半径为，在弧上取两点、，则，
分别过点、作圆的切线，并交直线于点，
当过点、的切线刚好是圆与圆的外公切线时，
劣弧上一定还存在点、，使过点、的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，
过点，分别向、作垂线，垂足为、，则即为圆的半径，
此时圆与圆皆满足题意：弧上存在四点、、、，
过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切.
线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.
在直角中，，
，
即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故选：.
【题型8 与圆有关的最值问题】
【例8】（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆的标准方程为，圆心为，
将直线的方程变形为，
由得，故直线过定点，如下图所示：
当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，
因为，则直线的斜率为.故选：B.
【变式8-1】（2023·贵州毕节·统考一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意可得的圆心到直线的距离为
，即与圆相离；
设为直线上的一点，则，
过点P作圆的切线，切点分别为，
则有，
则点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为 ，
半径为，
则其方程为，
变形可得 ，
联立，可得：，
又由，则有 ，
变形可得 ，
则有，可得，故直线恒过定点，
设，由于，故点在内，
则时，C到直线的距离最大，
其最大值为,故选∶B
【变式8-2】（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为，设动点满足，
所以点在圆内部和圆周上，
因为动点满足，
所以点的轨迹是以的直径的圆，
如图，延长交圆于点，
设的中点为，的中点为，
则，
若点在圆上时，两点重合，两点重合，
若点在圆内时，则，
所以，当且仅当点在圆上时，取等号，
则，当且仅当三点共线时，取等号，
因为，当且仅当重合时，取等号，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，此时，
所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时，
取等号，所以的最大值为.故选：C.
【变式8-3】（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）若M，N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过P作圆的两条切线，切点为M，N，
根据切线的性质得，
在中，根据已知可得，
则当越小，则越大，
，
越大，越大，
则当PC与直线垂直时，此时最大，
根据切线的性质可得此时最大，
此时，则，即，
则的最大值为，故选：B.
【变式8-4】（2023·高三课时练习）已知实数满足.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）表示圆上的点与点连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，解得：，，
即的最大值为，最小值为.
（2）设，，，
则，
，，，，
即的最大值为，最小值为.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知直线，直线，其中实数，则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，此时，
所以，直线与无交点；
当时，由，解得：，
由题意，解得，
又，由几何概型的概率公式知，所求的概率为.故选：A.
2．（2023春·广东·高三统考开学考试）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行．
故“”能得到“直线与直线平行”，
但是 “直线与直线平行”不能得到“”，故选：A
3．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点,
连接，交于，则D点即为所求，如图，
因为所在直线方程为，，设，
则，解得，即，
由所在直线方程为，，同理可得，
所以直线方程为，由解得，故选：C
4．（2023·高三课时练习）两圆和的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【解析】由题知, 的圆心为,半径为3,
因为,
即,圆心为,半径为4,
所以两圆心之间的距离为,
因为,所以两圆相交.故选:B
5．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆与圆公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.故选:.
6．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知圆及直线，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】直线，即，
由解得，于是得直线l恒过定点，
而当时，，因此点在圆C内，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选：A
7．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知向量，满足，则动点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【解析】因为，
所以，即．
故动点的轨迹是一个圆．故选：B．
8．（2023春·天津红桥·高三统考期末）若直线被圆截得的弦长为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
即圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以，即，解得，故选：A
9．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）（多选）下述四个结论正确的是（ ）
A．过点与圆相切的直线方程为
B．直线与圆相交的充分不必要条件是
C．直线表示过点的所有直线
D．过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是
【答案】AB
【解析】对于选项A，设过点与圆相切的直线方程为：
，
由题设得：，即，解得，
所以过点与圆相切的直线方程为，故A正确，
选项B，若直线与圆相交，则，
所以是直线与圆相交的充分不必要条件，故B正确，
选项C，点在轴上，但是无论取何值，
直线不能表示轴上的直线，故C不正确，
选项D，若截距为0时，设直线方程为，
将点代入得：，所以方程为：，
若截距不为0时，设在坐标轴上的截距为，
则设直线方程为：，将点代入得：，
所以所求方程为：.故选项D不正确，故选：AB.
10．（2023春·全国·高三校联考开学考试）（多选）与圆和都相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则两圆心的距离，
故两圆外切，则两圆的公切线有3条，且斜率都存在，
设两圆的公切线方程为，即，
则，解得或或
故公切线方程为或或故选：ABD.
11．（2023·山东菏泽·统考一模）（多选）已知圆，下列说法正确有（ ）
A．对于，直线与圆都有两个公共点
B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是
C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4
D．圆上存在三点到直线距离均为1
【答案】BC
【解析】对于选项A，因为，即：，
所以，所以直线恒过定点，
又因为，所以定点在圆O外，
所以直线与圆O可能相交、相切、相离，
即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误；
对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，
又因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径，
所以，即：，解得：.故选项B正确；
对于选项C，，
又因为O到P的距离的最小值为O到直线的距离，即：，
所以四边形PAOB的面积的最小值为.故选项C正确；
对于选项D，因为圆O的圆心，半径，
则圆心O到直线的距离为，
所以，所以圆O上存在两点到直线的距离为1.
故选项D错误.故选：BC.
12．（2023春·广东·高三统考开学考试）（多选）已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为
B．若点，则的面积为
C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆
D．的最小值为
【答案】AB
【解析】A:由，，则其中点为，所以，
则圆的标准方程为，化为一般式方程为①，
又圆的一般式方程为②，
而，
①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确；
B：由直线的方程为，则点到直线的距离，
．故B正确；
C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为，
则满足椭圆定义，
故圆心的轨迹为椭圆．故C错误；
D：设，，
则可转化为圆上动点到定点的距离的平方，
所以的最小值为，
故．故D错误.故选：AB.
13．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）写出与圆和都相切的一条直线的方程___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则，因此圆相外切，它们有3条公切线，而轴，，
则两圆的每条公切线斜率都存在，设公切线方程为，为常数，
于是得，整理得或，
解得，解得：或，
因此圆的公切线方程为：或或，
所以与圆和都相切的一条直线的方程可以为.
故答案为：
14．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为_______________．
【答案】
【解析】圆，所以圆心为，半径，,
所以切线长，
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
直线为圆与圆的公共弦，
所以由得.
故答案为: .
15．（2023秋·天津·高三统考期末）若双曲线的渐近线与圆相切，则_______．
【答案】
【解析】由双曲线方程，则其渐近线方程，
由圆方程，整理可得，其圆心为，半径，
由两个渐近线关于对称，则不妨只探究渐近线，整理可得，
由题意，可得，解得.
故答案为：.
16．（2023·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，圆O：与坐标轴的四个交点分别为A，B，C，D，设动点P到A，B，C，D四点的距离分别为，，，，若，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意知，，，，
设，则由，
得，整理得，
所以动点P的轨迹方程为.
在平面直角坐标系中作出圆，
如图所示，设圆心为E，半径为r，连接ED，则，
由图可得P点到D点的最大距离，
即的最大值为，
P点到D点的最小距离，即的最小值为，
故.
故答案为：.位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4条
3条
2条
1条
无公切线
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点8-1 直线与圆8大题型
1、直线方程、直线的平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；
2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查；
3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。
一、平行和垂直的直线的设法
1、平行：与直线垂直的直线方程可设为
2、垂直：与直线垂直的直线方程可设为
二、直线与圆相交时的弦长求法：
1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，
整理出弦长公式为：
2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长
三、直线与圆相切时的切线问题
1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。
（1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；
（2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况
【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。
2、求过圆上一点的切线方程
法一：先求出切点与圆心的连线斜率，
若不存在，则结合图形可直接写出切线方程；
若，则结课图形可直接写出切线方程；
若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。
法二：若不存在，验证是否成立；
若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。
3、过圆外一点的圆的切线方程
法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程；
法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。
四、与圆的切线相关的结论
1、过圆上一点的圆的切线方程为；
2、过上一点的圆的切线方程为
3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为，
则切点弦所在直线方程为：
4、若圆的方程为，
则过圆外一点的切线长为.
5、圆心的三个重要几何性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在某一条弦的中垂线上；
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
五、两圆的公切线
1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线；
2、公切线的条数
【题型1 直线方程、倾斜角与斜率】
【例1】（2023·高三课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，两直线平行，无交点，不合题意，故，
由，得，
则两直线的交点为，
依题意得，解得，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：B
【变式1-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线方程为，
则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，
则，解得，即，，
同理可得：点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，
则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.故选：D
【变式1-2】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）（多选）已知直线：，直线：，过点的直线与，的交点分别为.且，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，且直线与直线之间的距离.
设直线的倾斜角为，斜率，所以，
又，所以直线的倾斜角为或.
当直线的倾斜角为时，设斜率为，
则，
所以直线的方程为，即；
当直线的倾斜角为时，设斜率为，
则.
所以直线的方程为，即.故选：AC.
【变式1-3】（2023·高三课时练习）直线过相异两点和，则的倾斜角的范围是______.
【答案】
【解析】当时，，此时重合，不合题意，直线斜率存在；
设直线斜率为，倾斜角为，则；
，又，.
故答案为：.
【变式1-4】（2022·全国·高三专题练习）直线与的夹角为________．
【答案】
【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，所以，
又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，
故答案为：.
【题型2 直线的平行与垂直问题】
【例2】（2023·吉林·统考二模）已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，
即，即，整理可得，
所以，
当且仅当时，等号成立；因此的最小值为.故选：D
【变式2-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）是直线与直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线垂直，
则，解得或，
所以由能够推出两直线垂直，故充分性成立；
由两直线垂直得不到，故必要性不成立，
故是直线与直线垂直的
充分不必要条件.故选：A
【变式2-2】（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）若直线与直线平行，其中、均为正数，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】由已知两直线平行可得，则，
因为、均为正数，利用基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
故答案为：.
【变式2-3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则a＝______．
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以函数在处的切线斜率为，
因为该切线与直线平行，故，解得
故答案为：1
【变式2-4】（2023·安徽合肥·统考一模）函数在点处的切线与直线平行，则实数______．
【答案】5
【解析】∵，则，∴，
若切线与直线平行，则，解得.
故答案为：5.
【题型3 圆的标准方程与一般方程】
【例3】（2023·陕西咸阳·校考一模）圆心在轴，半径为1，且过点的圆的标准方程是_____.
【答案】
【解析】由题，可设圆心坐标为，
因为所求圆的圆心在轴，半径为1，且过点，
所以，，解得，
所以，圆心坐标为，半径为1，
所以，所求圆的标准方程为
故答案为：
【变式3-1】（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是____________.
【答案】
【解析】设，则，解得，
即，则，整理得，
故点的轨迹方程是.
故答案为：.
【变式3-2】（2023·山东威海·统考一模）在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为______.
【答案】
【解析】设圆的方程为，
将点的坐标分别代入可得，
，解得
则可得圆的方程为
故答案为:
【变式3-3】（2023·全国·校联考模拟预测）写出以原点为圆心且与圆C：相切的一个圆的标准方程为________．
【答案】或
【解析】圆C：的圆心为，半径为1．
因为两圆圆心距为，
故若两圆外切，则所求圆的半径为，其标准方程为；
若两圆内切，则所求圆的半径为，其标准方程为．
故答案为：或
【变式3-4】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，
，则，，设，，
则，整理得到，
故轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，
不变，依然满足，
故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，
同时在球上，故在两球的交线上，为圆.
球心距为，
为直角三角形，对应圆的半径为，
周长为.故选：D
【题型4 圆的切线方程与切线长】
【例4】（2023秋·河北张家口·高三统考期末）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，
∵，∴点在圆上，
又∵，则切线的斜率，
∴切线方程为，即.故选：C.
【变式4-1】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
由直线方程，整理可得，则，
整理可得，由配方法可得，
，，
由，则，即，解得.故选：C.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】圆即，圆心为，半径为，
由题意可知过圆的圆心，
则，解得，点的坐标为，
作示意图如图所示：
，切点为，则，
所以．故选：B．
【变式4-3】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）直线l过点且与圆相切，则直线l的方程为______________．
【答案】或.
【解析】由，得圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则，，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线l的方程为或，
故答案为：或.
【变式4-4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过点且圆心在射线上，被轴截得弦长为，点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由题可设圆的圆心为，
又圆经过点，且被轴截得弦长为，
所以，又，解得，
所以圆的方程为；
（2）由题可知圆心为，半径为2，点，
当直线斜率不存在时，与相切，故满足题意
当直线斜率存在时，可设切线为，即，
则，解得，
所以切线为，即；
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
【题型5 圆的切点弦与弦长问题】
【例5】（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知直线被圆截得的线段长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆方程得：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
，解得：.故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）若直线与直线被圆截得的弦长之比为，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆C的标准方程为，
所以圆心到直线的距离为，
到直线的距离分别为，
所以直线被圆截得的弦长
为，
直线被圆截得的弦长
为，
由题意可得，解得，满足，
所以圆C的半径为，面积为.故选：B．
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）已知点P为直线l：上一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的定点的坐标为______.
【答案】
【解析】设点，则
∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B，
∴，
∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径
所以圆心坐标为，半径长为
∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为：
化为一般方程为：
即
与联立，求得AB所在直线方程为：①
又因为其中，即代入①中，得：
所以，所以 解得：
直线AB恒过定点的坐标为
故答案为：
【变式5-3】（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的直线方程为______.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
方程化为一般式方程为，
则，
以为圆心，为半径作圆，
其方程为，方程化为一般式方程为，
∵，则是圆与圆的交点，
两圆方程作差可得：，
∴直线的方程为
故答案为：
【变式5-4】（2023·高三课时练习）直线与圆相交于A、B两点，则的面积是______.
【答案】2
【解析】由得，
所以圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以，
所以的面积是.
故答案为：2
【题型6 两圆的公共弦问题】
【例6】（2022·全国·高三专题练习）圆O1：x2+y2-2x=0与圆O2：x2+y2+4y=0的公共弦所在的直线方程是（ ）
A．x+2y=0 B．x-2y=0 C．2x+y=0 D．2x-y=0
【答案】A
【解析】因为x2+y2-2x=0，x2+y2+4y=0，所以(x2+y2-2x)-(x2+y2+4y)=0，所以x+2y=0，
即所求直线方程为x+2y=0.故选：A
【变式6-1】（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知圆与圆相交于两点，则__________.
【答案】
【解析】将圆与圆的方程相减，
即得的方程为 ，
则的圆心为，半径为，
则到直线的距离为 ，
故，
故答案为：
【变式6-2】（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
【解析】由，得圆心，
且一般式为，
公共弦方程为，
，则弦长，
故答案为：.
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是___________．
【答案】
【解析】由题意所在的直线方程为：，
即，因为圆的圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为1，所以．
故答案为：
【变式6-4】（2023·全国·高三专题练习）圆和.
（1）取何值时与内切？
（2）求时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【答案】（1）；（2）公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为
【解析】（1）因为两圆的标准方程为：，
所以圆心分别为，半径分别为和
当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离
，
故有，解得.
（2）由题可得两圆的公共弦所在直线方程为
整理得，
所以公共弦长为
【题型7 两圆的公切线问题】
【例7】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）下列直线中，不是圆和公切线的一条直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当直线的斜率不存在时，设为，
若直线是圆和公切线
则满足，所以
所以直线是圆和公切线
当直线的斜率存在时，设直线方程为
若直线是圆和公切线
则满足即，所以
即，即
所以或，所以切线方程是和
综上：切线方程有和和故选：C
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．0条
【答案】B
【解析】由圆，则圆心，半径；
由圆，整理可得，
则圆心，半径；
由，
则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.
【变式7-2】（2022·广西北海·统考一模）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为圆：与：恰好有4条公切线，
所以圆与外离，所以，解得或，
即实数的取值范围是.故选：D.
【变式7-3】（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）“”是“圆与圆有公切线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由已知有，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为1，两圆圆心距，
当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离，
此时两圆的半径与圆心之间的距离满足，
即，又，故解得，
当时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，
此时两圆有公切线，
所以圆与圆有公切线的充要条件为，
所以“”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件，故选：D．
【变式7-4】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为的圆的一段圆弧，且弧所对的圆周角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，弧的中点为弧所对的圆周角为，则弧所对的圆心角为，
圆的半径为，在弧上取两点、，则，
分别过点、作圆的切线，并交直线于点，
当过点、的切线刚好是圆与圆的外公切线时，
劣弧上一定还存在点、，使过点、的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，
过点，分别向、作垂线，垂足为、，则即为圆的半径，
此时圆与圆皆满足题意：弧上存在四点、、、，
过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切.
线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.
在直角中，，
，
即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故选：.
【题型8 与圆有关的最值问题】
【例8】（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）若为圆上的动点，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆的标准方程为，圆心为，
将直线的方程变形为，
由得，故直线过定点，如下图所示：
当为射线与圆的交点且时，点到直线的距离最大，
因为，则直线的斜率为.故选：B.
【变式8-1】（2023·贵州毕节·统考一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意可得的圆心到直线的距离为
，即与圆相离；
设为直线上的一点，则，
过点P作圆的切线，切点分别为，
则有，
则点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为 ，
半径为，
则其方程为，
变形可得 ，
联立，可得：，
又由，则有 ，
变形可得 ，
则有，可得，故直线恒过定点，
设，由于，故点在内，
则时，C到直线的距离最大，
其最大值为,故选∶B
【变式8-2】（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为，设动点满足，
所以点在圆内部和圆周上，
因为动点满足，
所以点的轨迹是以的直径的圆，
如图，延长交圆于点，
设的中点为，的中点为，
则，
若点在圆上时，两点重合，两点重合，
若点在圆内时，则，
所以，当且仅当点在圆上时，取等号，
则，当且仅当三点共线时，取等号，
因为，当且仅当重合时，取等号，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，此时，
所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时，
取等号，所以的最大值为.故选：C.
【变式8-3】（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）若M，N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过P作圆的两条切线，切点为M，N，
根据切线的性质得，
在中，根据已知可得，
则当越小，则越大，
，
越大，越大，
则当PC与直线垂直时，此时最大，
根据切线的性质可得此时最大，
此时，则，即，
则的最大值为，故选：B.
【变式8-4】（2023·高三课时练习）已知实数满足.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）表示圆上的点与点连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，解得：，，
即的最大值为，最小值为.
（2）设，，，
则，
，，，，
即的最大值为，最小值为.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知直线，直线，其中实数，则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，此时，
所以，直线与无交点；
当时，由，解得：，
由题意，解得，
又，由几何概型的概率公式知，所求的概率为.故选：A.
2．（2023春·广东·高三统考开学考试）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行．
故“”能得到“直线与直线平行”，
但是 “直线与直线平行”不能得到“”，故选：A
3．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点,
连接，交于，则D点即为所求，如图，
因为所在直线方程为，，设，
则，解得，即，
由所在直线方程为，，同理可得，
所以直线方程为，由解得，故选：C
4．（2023·高三课时练习）两圆和的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【解析】由题知, 的圆心为,半径为3,
因为,
即,圆心为,半径为4,
所以两圆心之间的距离为,
因为,所以两圆相交.故选:B
5．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆与圆公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.故选:.
6．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知圆及直线，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】直线，即，
由解得，于是得直线l恒过定点，
而当时，，因此点在圆C内，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选：A
7．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知向量，满足，则动点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【解析】因为，
所以，即．
故动点的轨迹是一个圆．故选：B．
8．（2023春·天津红桥·高三统考期末）若直线被圆截得的弦长为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
即圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以，即，解得，故选：A
9．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）（多选）下述四个结论正确的是（ ）
A．过点与圆相切的直线方程为
B．直线与圆相交的充分不必要条件是
C．直线表示过点的所有直线
D．过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是
【答案】AB
【解析】对于选项A，设过点与圆相切的直线方程为：
，
由题设得：，即，解得，
所以过点与圆相切的直线方程为，故A正确，
选项B，若直线与圆相交，则，
所以是直线与圆相交的充分不必要条件，故B正确，
选项C，点在轴上，但是无论取何值，
直线不能表示轴上的直线，故C不正确，
选项D，若截距为0时，设直线方程为，
将点代入得：，所以方程为：，
若截距不为0时，设在坐标轴上的截距为，
则设直线方程为：，将点代入得：，
所以所求方程为：.故选项D不正确，故选：AB.
10．（2023春·全国·高三校联考开学考试）（多选）与圆和都相切的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则两圆心的距离，
故两圆外切，则两圆的公切线有3条，且斜率都存在，
设两圆的公切线方程为，即，
则，解得或或
故公切线方程为或或故选：ABD.
11．（2023·山东菏泽·统考一模）（多选）已知圆，下列说法正确有（ ）
A．对于，直线与圆都有两个公共点
B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是
C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4
D．圆上存在三点到直线距离均为1
【答案】BC
【解析】对于选项A，因为，即：，
所以，所以直线恒过定点，
又因为，所以定点在圆O外，
所以直线与圆O可能相交、相切、相离，
即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误；
对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，
又因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径，
所以，即：，解得：.故选项B正确；
对于选项C，，
又因为O到P的距离的最小值为O到直线的距离，即：，
所以四边形PAOB的面积的最小值为.故选项C正确；
对于选项D，因为圆O的圆心，半径，
则圆心O到直线的距离为，
所以，所以圆O上存在两点到直线的距离为1.
故选项D错误.故选：BC.
12．（2023春·广东·高三统考开学考试）（多选）已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为
B．若点，则的面积为
C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆
D．的最小值为
【答案】AB
【解析】A:由，，则其中点为，所以，
则圆的标准方程为，化为一般式方程为①，
又圆的一般式方程为②，
而，
①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确；
B：由直线的方程为，则点到直线的距离，
．故B正确；
C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为，
则满足椭圆定义，
故圆心的轨迹为椭圆．故C错误；
D：设，，
则可转化为圆上动点到定点的距离的平方，
所以的最小值为，
故．故D错误.故选：AB.
13．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）写出与圆和都相切的一条直线的方程___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则，因此圆相外切，它们有3条公切线，而轴，，
则两圆的每条公切线斜率都存在，设公切线方程为，为常数，
于是得，整理得或，
解得，解得：或，
因此圆的公切线方程为：或或，
所以与圆和都相切的一条直线的方程可以为.
故答案为：
14．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为_______________．
【答案】
【解析】圆，所以圆心为，半径，,
所以切线长，
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
直线为圆与圆的公共弦，
所以由得.
故答案为: .
15．（2023秋·天津·高三统考期末）若双曲线的渐近线与圆相切，则_______．
【答案】
【解析】由双曲线方程，则其渐近线方程，
由圆方程，整理可得，其圆心为，半径，
由两个渐近线关于对称，则不妨只探究渐近线，整理可得，
由题意，可得，解得.
故答案为：.
16．（2023·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，圆O：与坐标轴的四个交点分别为A，B，C，D，设动点P到A，B，C，D四点的距离分别为，，，，若，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意知，，，，
设，则由，
得，整理得，
所以动点P的轨迹方程为.
在平面直角坐标系中作出圆，
如图所示，设圆心为E，半径为r，连接ED，则，
由图可得P点到D点的最大距离，
即的最大值为，
P点到D点的最小距离，即的最小值为，
故.
故答案为：.位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4条
3条
2条
1条
无公切线
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