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热点7-1 直线与圆综合（10题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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这是一份热点7-1 直线与圆综合（10题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含热点7-1直线与圆综合10题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、热点7-1直线与圆综合10题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
1、直线的方程、直线平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度较小；
2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查；
3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
【例1】（2022·全国·模拟预测）“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线的斜率不小于，则该直线的倾斜角为锐角或，
∴“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的充分不必要条件.故选：A.
【变式1-1】（2023·江西宜春·高三丰城中学校考阶段练习）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线的斜率，
所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：A
【变式1-2】（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由题意两直线均有斜率，所以，
当时，取，则，
但，即充分性不成立；
当时，取，则，
但，即必要性不成立；
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.
【变式1-3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递增，
又，，故的取值范围是.故选：C
【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）（多选）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P三点，如图所示．
当直线l与线段相交时，或，
所以斜率k的取值范围是或斜率不存在，
结合选项，选项A、B符合题意．故选：AB．
【题型2 直线方程及过定点问题】
【例2】（2024·山东青岛·高三统考期末）对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限
【答案】C
【解析】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；
在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；
在中，令，解得，即直线过两点，
，所以直线的一个方向向量为，故C正确；
画出直线的图象如图所示，
所以直线不经过第二象限，故D错误.故选：C.
【变式2-1】（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得直线的一个方向向量为，所以其斜率为，
又它经过点，所以直线的方程为，即.故选：B.
【变式2-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线与轴相交于点,令得
由题知且直线的斜率得
易知点在直线上,根据点斜式得即.故选：C.
【变式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知的三个顶点分别为.
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）已知平行四边形，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设线段的中点，且，
则边的垂直平分线的斜率，
由直线的点斜式可得，化简可得.
（2）由四边形为平行四边形，且，
则，又，则.
【变式2-4】（2022·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）（多选）已知直线，直线，且与相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．过定点过定点
B．点的轨迹方程为
C．点到点和点距离之和的最大值为
D．设，则的最大值为
【答案】BD
【解析】由，即过定点，，即过定点，A错；
由，即，所以的轨迹是以为直径的圆，
所以圆心为，半径为，即轨迹方程为，B对；
如下图，设，则，故，
当且仅当时等号成立，故到点和点距离之和的最大值为，C错；
由图知：当直线与圆相切时，最大，此时，
所以且最大，D对.故选：BD
【题型3 直线的平行与垂直问题】
【例3】（2024·山东青岛·高三统考期末）“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，直线与平行；
当直线与平行时，
有且，解得，
故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C
【变式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为直线和垂直，
所以，所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时取等.故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
【答案】BD
【解析】对于选项A：直线的方程可化为：，
令得：，所以直线恒过点，故选项A错误，
对于选项B：若时，显然不平行，
若时，显然不平行，
所以若，则，且，解得，故选项B正确，
对于选项C：若，则，解得，故选项C错误，
对于选项D：若直线不经过第三象限，当时，直线，符合题意，
当时，则，解得，
综上，，故选项D正确，故选：BD.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线平行的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
故所求直线方程为.
【变式3-4】（2023·广东珠海·统考模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线方程是，
即.故选：C.
【题型4 直线的距离问题及应用】
【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，即，
则点到双曲线的渐近线的距离为.故选：A
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意知，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
当，此时圆上有个点满足，
当，此时圆上有个点满足，
所以圆上到直线距离为的点的个数为.故C正确.故选：C.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .
【答案】
【解析】由，得，得，所以：，即，
又：，所以与间的距离.
【变式4-3】（2022·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若直线与垂直，直线的方程为，则与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线与垂直，
所以，解得，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得.故选：C.
【变式4-4】（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x，
则，，可得，
对于直线，与直线距离为；
对于直线，与直线距离为；
所以点到直线的距离的最大值为.故选：A
【题型5 直线的对称问题及应用】
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
【变式5-1】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
在直线中，作出图象如下图所示，
由图可知，点关于直线对称的点为,
直线与直线的交点为,
∴关于直线对称的直线方程为：，即，
∴关于直线对称的直线方程是：.故选：B.
【变式5-2】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设是所求直线上任意一点，
则关于轴对称的点为，且在直线上，
代入可得，即.故选：C.
【变式5-3】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，
由题意可得点在直线上，
所以，即，
所以与直线关于轴对称的直线的方程为，故选：B
【变式5-4】（2024·陕西西安·统考一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，
由轴对称性质得，，，解得，，故，
即与重合时，将军饮马的总路程最短，
则最短路程为.故选：C
【题型6 圆的标准方程与一般方程】
【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，
则圆的方程为，又点在圆上，
所以，解得，
所以所求圆的方程为．故选：A
【变式6-1】（2023·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A
【变式6-2】（2023·广西·统考模拟预测）（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【答案】BC
【解析】由题设，在圆外，
则，解得.故选：BC
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考期末）若圆关于直线对称，则 ．
【答案】
【解析】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上，
则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意.
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴交于四点，其中，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，圆的内接四边形的面积为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则．
又因为，解得（负值舍去），
因此圆心，圆的方程为，
即，故B正确.故选:B．
【题型7 圆的切线方程与切线长】
【例7】（2024·福建·高三校联考开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，
可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．故选：B．
【变式7-1】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）设点是直线与直线的交点，过点作圆的切线，请写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即可）．
【答案】（或）
【解析】如图，由题意知，圆，联立，解得，
即点，过点作圆的切线，其切线方程为或．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知点在圆．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】由圆方程可得圆心为，半径，
因为的最小值为，所以，解得，故圆．
若过点的切线斜率存在，
设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为，即；
若过点的切线斜率不存在，由圆方程可得，圆过坐标原点，所以切线方程为．
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．故选：A
【变式7-3】（2024·安徽池州·高三统考期末）已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为M，N，
，则，
则，故，
故为钝角，则.故选：D.
【变式7-4】（2024·广东广州·高三广州市玉岩中学校考开学考试）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆C：，即圆C：，圆心坐标，半径为3；
由题意过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，
可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，因为，，
显然PC最小时四边形面积最小，
即，所以
所以四边形PACB的面积的最小值为，故选：B.
【题型8 圆的切点弦及弦长问题】
【例8】（2024·广东深圳·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】C
【解析】变形为，故直线过定点，
的圆心为，半径为3，
则当⊥时，取得最小值，
最小值为.故选：C
【变式8-1】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题意知，
，，，
所以，
根据圆的对称性易知，
则，解得．故选：A．
【变式8-2】（2024·陕西·校联考一模）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径，
弦的长度为，故圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离，所以，故选：C．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆C：的圆心为，
设，则以为直径的圆的方程为
与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为
因为直线PQ过点，所以，解得．
所以直线PQ的方程为，即．故选：C．
【变式8-4】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，
（1）当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心.
（2）当时，求直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）或
【解析】（1）由已知，故，所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心.
（2）因为，圆的半径为，
所以圆心到直线的距离为，
当直线与轴垂直时，易知符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，
所以，解得，
所以直线的方程为，即；
综上：直线的方程为或.
【题型9 两圆的公共弦问题】
【例9】（2023·广东揭阳·高三统考期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，；
由，则，；所以，两圆相交，
将两圆作差得，所以公共线方程.故选：B
【变式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，以线段AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，
可设，，明显，圆O的半径为2，其方程为：①，
设动点，由，从而有，
化简得：，即②，
由可得相交弦的方程为：，圆心到距离，
所以公共弦长为.故选:A.
【变式9-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为以为直径的圆的方程为，
又圆：，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为，
由，可得，即得直线AB的方程为.故选：C.
【变式9-3】（2024·山东临沂·高三统考期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为直径的圆的方程为，
即，圆，
两圆方程相减就是直线的方程，即可，
整理为，联立，得，
所以直线恒过定点.故选：A
【变式9-4】（2023·四川·高三校联考阶段练习）设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】由题意可知：，
因为圆：和圆：交于A，B两点，
所以直线AB的方程为，
所以到直线AB的距离，
所以，
又
所以．故选：C．
【题型10 两圆的公切线问题】
【例10】（2023·河北衡水·高三校考阶段练习）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由可知圆心为，半径，
由，即，则圆心为，半径，
则两圆圆心距离为，，，
故，即两圆相交，故公切线条数为2条.故选：B.
【变式10-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知：，
所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2，
对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件，
即直线不可能是两圆的公切线；故选：D.
【变式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，故两圆外切，
所以公切线有3条， 故选：C
【变式10-3】（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．故选：A.
【变式10-4】（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 .
【答案】4
【解析】由题可得，由圆，则圆心为，半径为，
由圆，则圆的圆心为，半径为.
则两圆心的距离，
因为，所以圆与圆相交.
如图，设切点为，作于点，
所以圆与圆的公切线长为.
（建议用时：60分钟）
1．（2024·浙江·校联考一模）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆，即，
它的圆心坐标和半径分别为.故选：A.
2．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值（ ）
A．-2 B．-2或1 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题意得，解得或，
当时，两直线都为，两直线重合，舍去；
当时，两直线分别为和，两直线平行，满足要求；故选：A
3．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】因为直线与直线垂直，
所以，即，所以，
当且仅当或时等号成立．
即的最小值为4，故选：B
4．（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知A，B是圆C：的两点，且是正三角形，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设是圆的圆心，，
由题意可知，圆与轴相切于D点，则，
又，所以，
又是正三角形，则两点恰为切点
设点与点重合，
由题意可知，，且，所以，
不妨设线段AB中点为H，则，
设直线AB：，即，
则，则或，
结合图形知时与圆没有交点，故舍去，
则，所以直线AB的方程为.故选：C
5．（2024·山东滨州·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】变形为，圆心为，半径为4，
过定点，当与垂直时，最小，
由垂径定理得，最小值为.故选：B
6．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立，得，
取直线上一点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.故选：A
7．（2024·山东青岛·高三统考期末）圆与圆相交于A、B两点，则（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】D
【解析】两圆方程相减得直线的方程为，
圆化为标准方程，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
弦长，所以.故选：D
8．（2023·江苏苏州·高三统考期中）圆与圆的公切线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】圆化成标准方程为，知
圆化成标准方程为，知
圆心距，可知两圆内切，则两圆有1条公切线.故选：A
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）（多选）已知是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若， B．若，直线的方程为
C．直线经过一个定点 D．弦的中点在一个定圆上
【答案】BCD
【解析】由可得圆心，半径，依题意，
又，所以，故A错误；
根据题意可得共圆，所以在以为直径的圆上，
所以以为直径的圆为，即，
与圆相减可得公共弦AB所在直线的方程为，故B正确；
设，则，
所以以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为，
所以直线过定点，故C正确；
记弦的中点为，可得，，
所以的中点在以为直径的圆上，故D正确.故选：BCD.
10．（2024·云南昆明·统考一模）（多选）已知圆，直线，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，则（ ）
A．直线的斜率为1 B．四边形的面积为
C． D．
【答案】AC
【解析】若要最大，则只需锐角最大，只需最大，即最小，
所以若最小，则，
由垂径分线定理有，所以，所以，故A正确；
由题意，此时，，
所以此时，故D错误；
而当时，，
所以四边形的面积为，故B错误；
由等面积法有四边形的面积为，
又由题意，所以，故C正确.故选：AC.
11．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）（多选）已知直线：与直线：，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则或或 B．若，则或
C．直线和直线均与圆相切 D．直线和直线的斜率一定都存在
【答案】AC
【解析】对于A，直线：与直线：，
若，则，即，又，所以，
或或，解得或或，正确；
对于B，若，则，所以，
又，所以或，
当时，直线：即，
直线：即，两直线重合，不符合题意，舍去；
当时，直线：即，
直线：即，两直线平行，符合题意；所以，B错误；
对于C，圆的圆心为，半径为1，
圆心到直线：的距离为，
圆心到直线：的距离为，
所以直线和直线均与圆相切，正确；
对于D，当时，直线：化简为，直线斜率不存在；
当时，直线：化简为，直线斜率不存在；D错误.故选：AC
12．（2024·江苏·高三统考期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
【答案】
【解析】设所求圆的一般方程为，
因为点，，在圆上，
所以，解得，
则所求圆的一般方程为：，
13．（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆方程整理为，则圆心，
，因为圆不经过第三象限，
所以，解得，则.
14．（2023·安徽六安·高三毛坦厂中学校考阶段练习）设直线的方程为.
（1）求证：不论a为何值，直线必过一定点P；
（2）若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】（1）由得:；
则，解得
所以不论为何值，直线必过一定点；
（2）由得，
当时，，当时，，
又由，得，
∴,
当且仅当，即时取等号
∴，，
∴的周长为；
（3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，
即，均为整数，
所以，均为整数，∴，，，，，0，，2，
又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，
所以直线的方程为，，，，
，，，.
15．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，，则圆心，半径，
如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
连接AB，CA，CB，CP，则，易知，
所以，有，，
所以，得，
当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为
，此时，所以；
又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以，
所以，即线段AB的长度的取值范围为.
16．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点.
（1）求圆M的方程；
（2）若在圆中存在弦，且弦中点在直线上，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设坐标，则，解得，即坐标
圆与轴相切于圆方程.
（2），圆半径，
轨迹是以为圆心，为半径的圆，则其轨迹方程为，
又在直线上，直线与圆有公共点，即，.满分技巧
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
满分技巧
1、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
2、直线过定点：过与的交点的直线可设为：
满分技巧
1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
2、平行垂直直线一般方程的设法：
（1）平行：与直线垂直的直线方程可设为
（2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为
满分技巧
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
满分技巧
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
满分技巧
求圆的方程的方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
满分技巧
1、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
（1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
（2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证
2、切线长：若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为.
满分技巧
1、直线与圆相交时的弦长求法：
（1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：
（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长
2、切点弦方程：过外一点作圆的两条切线，切点分别为，
则切点弦所在直线方程为：
满分技巧
两圆公共弦所在直线方程
圆：，圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
满分技巧
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。
1、直线的方程、直线平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度较小；
2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查；
3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
【例1】（2022·全国·模拟预测）“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线的斜率不小于，则该直线的倾斜角为锐角或，
∴“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的充分不必要条件.故选：A.
【变式1-1】（2023·江西宜春·高三丰城中学校考阶段练习）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线的斜率，
所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：A
【变式1-2】（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由题意两直线均有斜率，所以，
当时，取，则，
但，即充分性不成立；
当时，取，则，
但，即必要性不成立；
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.
【变式1-3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递增，
又，，故的取值范围是.故选：C
【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）（多选）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P三点，如图所示．
当直线l与线段相交时，或，
所以斜率k的取值范围是或斜率不存在，
结合选项，选项A、B符合题意．故选：AB．
【题型2 直线方程及过定点问题】
【例2】（2024·山东青岛·高三统考期末）对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限
【答案】C
【解析】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；
在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；
在中，令，解得，即直线过两点，
，所以直线的一个方向向量为，故C正确；
画出直线的图象如图所示，
所以直线不经过第二象限，故D错误.故选：C.
【变式2-1】（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得直线的一个方向向量为，所以其斜率为，
又它经过点，所以直线的方程为，即.故选：B.
【变式2-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线与轴相交于点,令得
由题知且直线的斜率得
易知点在直线上,根据点斜式得即.故选：C.
【变式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知的三个顶点分别为.
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）已知平行四边形，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设线段的中点，且，
则边的垂直平分线的斜率，
由直线的点斜式可得，化简可得.
（2）由四边形为平行四边形，且，
则，又，则.
【变式2-4】（2022·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）（多选）已知直线，直线，且与相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．过定点过定点
B．点的轨迹方程为
C．点到点和点距离之和的最大值为
D．设，则的最大值为
【答案】BD
【解析】由，即过定点，，即过定点，A错；
由，即，所以的轨迹是以为直径的圆，
所以圆心为，半径为，即轨迹方程为，B对；
如下图，设，则，故，
当且仅当时等号成立，故到点和点距离之和的最大值为，C错；
由图知：当直线与圆相切时，最大，此时，
所以且最大，D对.故选：BD
【题型3 直线的平行与垂直问题】
【例3】（2024·山东青岛·高三统考期末）“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，直线与平行；
当直线与平行时，
有且，解得，
故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C
【变式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为直线和垂直，
所以，所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时取等.故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
【答案】BD
【解析】对于选项A：直线的方程可化为：，
令得：，所以直线恒过点，故选项A错误，
对于选项B：若时，显然不平行，
若时，显然不平行，
所以若，则，且，解得，故选项B正确，
对于选项C：若，则，解得，故选项C错误，
对于选项D：若直线不经过第三象限，当时，直线，符合题意，
当时，则，解得，
综上，，故选项D正确，故选：BD.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线平行的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
故所求直线方程为.
【变式3-4】（2023·广东珠海·统考模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线方程是，
即.故选：C.
【题型4 直线的距离问题及应用】
【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，即，
则点到双曲线的渐近线的距离为.故选：A
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意知，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
当，此时圆上有个点满足，
当，此时圆上有个点满足，
所以圆上到直线距离为的点的个数为.故C正确.故选：C.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .
【答案】
【解析】由，得，得，所以：，即，
又：，所以与间的距离.
【变式4-3】（2022·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若直线与垂直，直线的方程为，则与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线与垂直，
所以，解得，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由平行线间的距离公式可得.故选：C.
【变式4-4】（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x，
则，，可得，
对于直线，与直线距离为；
对于直线，与直线距离为；
所以点到直线的距离的最大值为.故选：A
【题型5 直线的对称问题及应用】
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
【变式5-1】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
在直线中，作出图象如下图所示，
由图可知，点关于直线对称的点为,
直线与直线的交点为,
∴关于直线对称的直线方程为：，即，
∴关于直线对称的直线方程是：.故选：B.
【变式5-2】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设是所求直线上任意一点，
则关于轴对称的点为，且在直线上，
代入可得，即.故选：C.
【变式5-3】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，
由题意可得点在直线上，
所以，即，
所以与直线关于轴对称的直线的方程为，故选：B
【变式5-4】（2024·陕西西安·统考一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，
由轴对称性质得，，，解得，，故，
即与重合时，将军饮马的总路程最短，
则最短路程为.故选：C
【题型6 圆的标准方程与一般方程】
【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，
则圆的方程为，又点在圆上，
所以，解得，
所以所求圆的方程为．故选：A
【变式6-1】（2023·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A
【变式6-2】（2023·广西·统考模拟预测）（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【答案】BC
【解析】由题设，在圆外，
则，解得.故选：BC
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考期末）若圆关于直线对称，则 ．
【答案】
【解析】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上，
则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意.
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴交于四点，其中，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，圆的内接四边形的面积为，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则．
又因为，解得（负值舍去），
因此圆心，圆的方程为，
即，故B正确.故选:B．
【题型7 圆的切线方程与切线长】
【例7】（2024·福建·高三校联考开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，
可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．故选：B．
【变式7-1】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）设点是直线与直线的交点，过点作圆的切线，请写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即可）．
【答案】（或）
【解析】如图，由题意知，圆，联立，解得，
即点，过点作圆的切线，其切线方程为或．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知点在圆．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】由圆方程可得圆心为，半径，
因为的最小值为，所以，解得，故圆．
若过点的切线斜率存在，
设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为，即；
若过点的切线斜率不存在，由圆方程可得，圆过坐标原点，所以切线方程为．
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．故选：A
【变式7-3】（2024·安徽池州·高三统考期末）已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为M，N，
，则，
则，故，
故为钝角，则.故选：D.
【变式7-4】（2024·广东广州·高三广州市玉岩中学校考开学考试）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆C：，即圆C：，圆心坐标，半径为3；
由题意过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，
可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，因为，，
显然PC最小时四边形面积最小，
即，所以
所以四边形PACB的面积的最小值为，故选：B.
【题型8 圆的切点弦及弦长问题】
【例8】（2024·广东深圳·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】C
【解析】变形为，故直线过定点，
的圆心为，半径为3，
则当⊥时，取得最小值，
最小值为.故选：C
【变式8-1】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题意知，
，，，
所以，
根据圆的对称性易知，
则，解得．故选：A．
【变式8-2】（2024·陕西·校联考一模）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径，
弦的长度为，故圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离，所以，故选：C．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆C：的圆心为，
设，则以为直径的圆的方程为
与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为
因为直线PQ过点，所以，解得．
所以直线PQ的方程为，即．故选：C．
【变式8-4】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，
（1）当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心.
（2）当时，求直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）或
【解析】（1）由已知，故，所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心.
（2）因为，圆的半径为，
所以圆心到直线的距离为，
当直线与轴垂直时，易知符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，
所以，解得，
所以直线的方程为，即；
综上：直线的方程为或.
【题型9 两圆的公共弦问题】
【例9】（2023·广东揭阳·高三统考期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，；
由，则，；所以，两圆相交，
将两圆作差得，所以公共线方程.故选：B
【变式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，以线段AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，
可设，，明显，圆O的半径为2，其方程为：①，
设动点，由，从而有，
化简得：，即②，
由可得相交弦的方程为：，圆心到距离，
所以公共弦长为.故选:A.
【变式9-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为以为直径的圆的方程为，
又圆：，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为，
由，可得，即得直线AB的方程为.故选：C.
【变式9-3】（2024·山东临沂·高三统考期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为直径的圆的方程为，
即，圆，
两圆方程相减就是直线的方程，即可，
整理为，联立，得，
所以直线恒过定点.故选：A
【变式9-4】（2023·四川·高三校联考阶段练习）设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】由题意可知：，
因为圆：和圆：交于A，B两点，
所以直线AB的方程为，
所以到直线AB的距离，
所以，
又
所以．故选：C．
【题型10 两圆的公切线问题】
【例10】（2023·河北衡水·高三校考阶段练习）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由可知圆心为，半径，
由，即，则圆心为，半径，
则两圆圆心距离为，，，
故，即两圆相交，故公切线条数为2条.故选：B.
【变式10-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知：，
所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2，
对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件，
即直线不可能是两圆的公切线；故选：D.
【变式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，故两圆外切，
所以公切线有3条， 故选：C
【变式10-3】（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．故选：A.
【变式10-4】（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 .
【答案】4
【解析】由题可得，由圆，则圆心为，半径为，
由圆，则圆的圆心为，半径为.
则两圆心的距离，
因为，所以圆与圆相交.
如图，设切点为，作于点，
所以圆与圆的公切线长为.
（建议用时：60分钟）
1．（2024·浙江·校联考一模）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆，即，
它的圆心坐标和半径分别为.故选：A.
2．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值（ ）
A．-2 B．-2或1 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题意得，解得或，
当时，两直线都为，两直线重合，舍去；
当时，两直线分别为和，两直线平行，满足要求；故选：A
3．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】因为直线与直线垂直，
所以，即，所以，
当且仅当或时等号成立．
即的最小值为4，故选：B
4．（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知A，B是圆C：的两点，且是正三角形，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设是圆的圆心，，
由题意可知，圆与轴相切于D点，则，
又，所以，
又是正三角形，则两点恰为切点
设点与点重合，
由题意可知，，且，所以，
不妨设线段AB中点为H，则，
设直线AB：，即，
则，则或，
结合图形知时与圆没有交点，故舍去，
则，所以直线AB的方程为.故选：C
5．（2024·山东滨州·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】变形为，圆心为，半径为4，
过定点，当与垂直时，最小，
由垂径定理得，最小值为.故选：B
6．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立，得，
取直线上一点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.故选：A
7．（2024·山东青岛·高三统考期末）圆与圆相交于A、B两点，则（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】D
【解析】两圆方程相减得直线的方程为，
圆化为标准方程，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
弦长，所以.故选：D
8．（2023·江苏苏州·高三统考期中）圆与圆的公切线的条数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】圆化成标准方程为，知
圆化成标准方程为，知
圆心距，可知两圆内切，则两圆有1条公切线.故选：A
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）（多选）已知是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若， B．若，直线的方程为
C．直线经过一个定点 D．弦的中点在一个定圆上
【答案】BCD
【解析】由可得圆心，半径，依题意，
又，所以，故A错误；
根据题意可得共圆，所以在以为直径的圆上，
所以以为直径的圆为，即，
与圆相减可得公共弦AB所在直线的方程为，故B正确；
设，则，
所以以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为，
所以直线过定点，故C正确；
记弦的中点为，可得，，
所以的中点在以为直径的圆上，故D正确.故选：BCD.
10．（2024·云南昆明·统考一模）（多选）已知圆，直线，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，则（ ）
A．直线的斜率为1 B．四边形的面积为
C． D．
【答案】AC
【解析】若要最大，则只需锐角最大，只需最大，即最小，
所以若最小，则，
由垂径分线定理有，所以，所以，故A正确；
由题意，此时，，
所以此时，故D错误；
而当时，，
所以四边形的面积为，故B错误；
由等面积法有四边形的面积为，
又由题意，所以，故C正确.故选：AC.
11．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）（多选）已知直线：与直线：，其中，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则或或 B．若，则或
C．直线和直线均与圆相切 D．直线和直线的斜率一定都存在
【答案】AC
【解析】对于A，直线：与直线：，
若，则，即，又，所以，
或或，解得或或，正确；
对于B，若，则，所以，
又，所以或，
当时，直线：即，
直线：即，两直线重合，不符合题意，舍去；
当时，直线：即，
直线：即，两直线平行，符合题意；所以，B错误；
对于C，圆的圆心为，半径为1，
圆心到直线：的距离为，
圆心到直线：的距离为，
所以直线和直线均与圆相切，正确；
对于D，当时，直线：化简为，直线斜率不存在；
当时，直线：化简为，直线斜率不存在；D错误.故选：AC
12．（2024·江苏·高三统考期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
【答案】
【解析】设所求圆的一般方程为，
因为点，，在圆上，
所以，解得，
则所求圆的一般方程为：，
13．（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆方程整理为，则圆心，
，因为圆不经过第三象限，
所以，解得，则.
14．（2023·安徽六安·高三毛坦厂中学校考阶段练习）设直线的方程为.
（1）求证：不论a为何值，直线必过一定点P；
（2）若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】（1）由得:；
则，解得
所以不论为何值，直线必过一定点；
（2）由得，
当时，，当时，，
又由，得，
∴,
当且仅当，即时取等号
∴，，
∴的周长为；
（3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，
即，均为整数，
所以，均为整数，∴，，，，，0，，2，
又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，
所以直线的方程为，，，，
，，，.
15．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，，则圆心，半径，
如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
连接AB，CA，CB，CP，则，易知，
所以，有，，
所以，得，
当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为
，此时，所以；
又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以，
所以，即线段AB的长度的取值范围为.
16．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点.
（1）求圆M的方程；
（2）若在圆中存在弦，且弦中点在直线上，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设坐标，则，解得，即坐标
圆与轴相切于圆方程.
（2），圆半径，
轨迹是以为圆心，为半径的圆，则其轨迹方程为，
又在直线上，直线与圆有公共点，即，.满分技巧
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
满分技巧
1、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
2、直线过定点：过与的交点的直线可设为：
满分技巧
1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
2、平行垂直直线一般方程的设法：
（1）平行：与直线垂直的直线方程可设为
（2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为
满分技巧
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
满分技巧
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
满分技巧
求圆的方程的方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
满分技巧
1、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
（1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
（2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证
2、切线长：若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为.
满分技巧
1、直线与圆相交时的弦长求法：
（1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：
（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长
2、切点弦方程：过外一点作圆的两条切线，切点分别为，
则切点弦所在直线方程为：
满分技巧
两圆公共弦所在直线方程
圆：，圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
满分技巧
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。
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