2022新高考数学热点·重点·难点专练 热点09 解析几何

从新高考的考查情况来看，解析几何是高考必考内容，考查重点：①直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系；②椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，其中离心率与渐近线、通径等是考试的热点；③求曲线的轨迹方程，多在解答题第（1）问中出现；④直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上。主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象、逻辑推理、转化与化归思想等核心素养。

1、解析几何中的弦长问题：

（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；

（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.

（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.

2、解析几何中的定值、定点问题：

定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

3、解析几何中的最值（范围）问题：

1）处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

2）解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

4、解析几何中的轨迹方程问题：

1）直接法求轨迹方程的应用条件和步骤：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．

2）定义法求轨迹方程的适用条件及关键点：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.

注意：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

3）相关点法（代入法）求轨迹方程的四步骤：

热点1. 求离心率（范围）

离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．

关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：利用圆锥曲线的定义解决；利用题中的几何关系来解决问题。

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．

热点2. 求轨迹方程

应用圆锥曲线的定义或由已知条件求曲线方程或轨迹方程是本节的命题热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考查知识点较多，能力要求较高．

热点3. 直线与圆锥曲线的综合应用问题

直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大．

A卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1．（2021·福建·三模）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中）“直线与互相垂直”是“”的（    ）

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．（2021·河北衡水中学模拟预测）设直线与圆交于，两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（2021·辽宁·模拟预测）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·河南·郑州市高三期中）已知抛物线，过内一点作直线交抛物线于，两点，过点，的抛物线的两条切线交于点，则点的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·天津市第四十七中学高三期中）过原点的直线交双曲线于于两点，在第一象限，分别为的左､右焦点，连接交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·湖北武汉·高三期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

10．（2021·河北邯郸·高三期末）已知A，B是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上存在一点到准线的距离为4，则下列说法正确的是（    ）

A．                                               B．若，则直线AB恒过定点

C．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为  D．若，则直线AB的斜率为

11．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知曲线：，则（    ）

A．时，则的焦点是，   B．当时，则的渐近线方程为

C．当表示双曲线时，则的取值范围为    D．存在，使表示圆

12．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为2            B．椭圆的短轴长为

C．的最小值为   D．过点的圆的切线斜率为

13．（2021·江苏徐州·高三期中）已知圆，点是圆上的动点，则（    ）

A．圆关于直线对称   B．直线与圆相交所得弦长为

C．的最大值为              D．的最小值为

三、填空题

14．（2020·山东费县·高三期末）抛物线的焦点坐标是______；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则______．

15．（2021·江苏徐州·高三期中）已知抛物线的焦点为为上一点，若，则的最大值为________．

16．（2021·浙江省三门中学高三期中）设椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上一点，，，，则椭圆离心率的取值范围为___________.

17．（2021·湖北武汉·高三期中）已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.

18．（2022·全国·高三专题练习）P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.

四、解答题

19．（2021·四川南充·一模））已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．

（1）求椭圆C的标准方程；（2）当时，求△OMN的面积；（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上．

20．（2021·上海金山·一模）已知为椭圆C：内一定点，Q为直线l：上一动点，直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间），O为坐标原点.

（1）当直线PQ的倾斜角为时，求直线OQ的斜率；（2）当AOB的面积为时，求点Q的横坐标；

（3）设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

21．（2021·江苏连云港·高三期中）已知离心率为的椭圆与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点P（0，-2）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，当坐标原点O位于以AB为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.

22．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且点在C上.

（1）求椭圆C的标准方程；（2）设，为椭圆C的左，右焦点，过右焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，若内切圆的半径为，求直线l的方程.

23．（2021·北京市第三十五中学高三期中）已知椭圆．（1）若椭圆E的焦距为2，求实数a的值；（2）点A，B，C位于椭圆E上，且A，B关于原点对称．若椭圆E上存在等边，求a的取值范围．

24．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点（其中点位于第一象限），设点是抛物线上的一点，且满足，连接，.（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；（2）记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标.

B卷（建议用时90分钟）

一、单选题

1．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·河北邯郸·高三期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A，B是双曲线右支上两点，且，设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，直线与线段交于点P，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A．      B．     C．     D．

3．（2021·福建·福州三中模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点．点满足，且．若，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．

5．（2021·浙江·模拟预测）已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，的中点为，记的斜率为，且满足，若分别是轴､轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆的长轴端点为，，短轴端点为，，焦点为，.现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中（不共面），以下说法不正确的是（    ）

A．存在某个位置,使          B．存在某个位置,使二面角的平面角为

C．对任意位置，都有平面  D．异面直线与所成角的取值范围是

7．（2021·浙江·高二期中）已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．（2021·辽宁·凌源市实验中学高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法不正确的是（    ）

A．       B．(为坐标原点)的面积为

C．  D．若是抛物线上一动点，则的最小值为

二、多选题

9．（2021·江苏·高三期中）设m∈R，直线与直线相交于点P（x，y），线段AB是圆C：的一条动弦，Q为弦AB的中点，，下列说法正确的是（    ）

A．点P在定圆 B．点P在圆C外

C．线段PQ长的最大值为 D．的最小值为

10．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（    ）

A．双曲线的离心率为 B．与内切圆半径比为

C．与周长之比为 D．与面积之比为

11．（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ）

A．圆上的点到原点的最大距离为      B．圆上存在三个点到直线的距离为

C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则

12．（2021·江苏·高三开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（    ）．

A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于，的两点，，使得

C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线 D．在上存在点，使得

三、填空题

13．（2021·全国·模拟预测）设为坐标原点，点，，在抛物线：上，且直线与直线关于直线对称，则直线的斜率为___________；若直线在y轴上的截距为正数，则面积的最大值为___________.

14．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则实数的取值范围为_____；若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值为_______.

15．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，直线与 双曲线的左、右支分别交于P，Q（P，Q均在x轴上方）.若直线、的斜率为，且四边形的面积为.则双曲线的离心率为________.

16．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．

17．（2021·河南·正阳县高级中学模拟预测）已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为___________.

四、解答题

18．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围．

19．（2021·四川·树德中学高三期中）己知抛物线：的焦点为，为上的动点，为在动直线上的投影．当为等边三角形时，其面积为．（1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与线段交于点．试问：是否存在，使得和△的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

20．（2021·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；（2）若，求的值；（3）点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.

21．（2021·江苏海安·高三期中）已知过点P(－2，0)的直线l与抛物线Γ：相切于点T(x0，2)．（1）求p，x0；（2）设直线m：与Γ相交于点A，B，射线PA，PB与Γ的另一个交点分别为C，D，问：直线CD是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

22．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）如图，已知抛物线：，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点A，B，过A，B分别作抛物线的切线，交于点M.（1）求点M的横坐标；（2）已知F为抛物线的焦点，连接FA，FB，FM，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值.

23．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点（1）求双曲线的方程（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.