热点1-1 集合与复数（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点1-1 集合与复数
集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式及分式不等式的的形式，结合有限集、无限集考查集合的交集、并集、补集等，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1或2题，以简单题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。
复数是高考数学的必考题，常见考查复数的四则运算、共轭复数、实部、虚部、模等概念，偶尔考查几何意义-复数与平面内的点对应，基本出现在前2题的位置，难度不大，属于容易题。
【题型1 集合的含义与表示】
【例1】（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意，，
当，
当，
当，
当，
当，
当，
由集合中元素满足互异性，所以.故选：B
【变式1-1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）集合中的元素个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】因为，即，所以的可能取值为，
分别代入可得，所以集合中共有8个元素.故选：D
【变式1-2】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）（多选）下列关系正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为是整数，所以，故A错误；
因为为无理数，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
由于为正整数集，为自然数集，为整数集，所以，故D正确.故选：BCD.
【变式1-3】（2023·全国·高三课时练习）集合中只含有1个元素，则实数a的取值是 ．
【答案】0或1
【解析】当时，满足题意；
当时，要集合P仅含一个元素，
则，解得，
故a的值为0，1
【变式1-4】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）已知集合，若，则（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
【答案】C
【解析】，
，解得或，
当时，，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当时，，
此时，满足题意.
综上，.故选：C.
【题型2 集合与集合间的关系】
【例2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，由集合间的关系可知，.故选：A
【变式2-1】（2023上·上海·高三校考期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
又，所以，
因为，则，而为奇数，所以，故选：C.
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数，可得函数为上的单调递增函数，
当时，，
要使得，所以.故选：B.
【变式2-3】（2023上·湖北·高三校联考期中）已知集合，且，则（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
【答案】D
【解析】由题意：，得：或两种情况，
若，则，此时，不满足互异性；
若，则解得或，显然，符合题意，
而当时，，不满足互异性.
综上所述：.故选：D.
【变式2-4】（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．0或2 C．1或2 D．2
【答案】C
【解析】由，得到，即，
又，故，所以，
因为，且，所以或2，故选：C.
【题型3 有限集合的子集个数问题】
【例3】（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为，
，
所以，
的真子集个数为.故选：B.
【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）设集合，则的真子集的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由题意知，
，故的真子集的个数为：，故C项正确.故选：C.
【变式3-2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．64个
【答案】D
【解析】因为，，所以，
所以，则的子集共有个，故选：D
【变式3-3】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件的集合有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【解析】∵，
∴或或或，共4个．故选：C．
【变式3-4】（2023上·安徽·高三校联考期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合有7个真子集，
所以集合中包含3个元素，所以，解得.故选：A
【题型4 集合的交并补运算】
【例4】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得或，则或，
又，所以，故选：B
【变式4-1】（2023·天津河东·高三统考期中）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，即，解得或，
所以或，则，
由，则，解得，
所以，
所以.故选：C
【变式4-2】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解可得，，
所以，.
当时，不满足，或不满足；
当时，满足，或满足；
当时，满足，或不满足.
所以，．故选：B.
【变式4-3】（2023·江苏无锡·天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，
即实数的取值范围是.故选：C.
【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）设全集，集合，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）不等式，可化为，
所以不等式的解集为，故．
由，得．
当时，；当时，．
由，得，则，且，
所以的取值范围是．
（2）由于，因此，于是．
当时，显然成立；
当时，，得到，因此．
综上所述，的取值范围是．
【题型5 韦恩图在集合中的应用】
【例5】（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知是全集的非空子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为M，N是全集U的非空子集，且，
所以韦恩图为：
由韦恩图可知，A不正确；B不正确；C不正确；D正确.故选：D
【变式5-1】（2023·广东佛山·统考一模）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，，
，则阴影部分表示，
而，则.故选：D
【变式5-2】（2023·重庆渝中·高三统考期中）设均为非空集合，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合的韦恩图，如图所示，
因为，所以，所以.故选：C.
【变式5-3】（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得当时，，故选项A不正确；
，当时，，故选项B不正确；
当时，，故选项C不正确；
因为，所以，故选项D正确.故选：D.
【变式5-4】（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】题图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，
故属于集合S的补集，即是的子集，
则阴影部分所表示的集合是故选：C
【题型6 集合的新定义问题】
【例6】（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为，，
所以，故的元素的个数为4．故选：
【变式6-1】（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】D
【解析】方程的两根为，的两根为，
当时，，
当时，，，则，
当时，，，则，
因为的长度为4，所以或，得或，
当时，，，则，
当时，，，则
所以的长度为10，故选：D
【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合的三元子集有，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，共20个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为，，，，一共4种．
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．故选：C．
【变式6-3】（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据新定义，数集，，定义，，，
集合，，，
则可知所有元素的和为，故选：D.
【变式6-4】（2023·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知全集且集合、是非空集合，定义且，已知，，则 .
【答案】
【解析】，或，
因为且，
所以.
【题型7 复数的基本运算】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且，则（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【解析】由题意得：，则，
.故选：C.
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
由，所以，
即，则.故选：D.
【变式7-2】（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以，故选：A.
【变式7-3】（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A．3 B．25 C．9 D．5
【答案】D
【解析】设，
则，
则
，即
因为复数满足
所以，即
所以，即.故选：D
【变式7-4】（2023·天津·高三咸水沽第一中学校考期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
【答案】
【解析】因为复数为纯虚数，可得，
所以.
【题型8 与复数有关的最值问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】设，在复平面内对应的点的坐标为，
由，得，即，
因此点在圆上运动，圆心的坐标为，半径，
又，
于是可以看成是点到点的距离，显然此点在圆外，
所以.故选：D
【变式8-1】（2023·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】设复数在复平面内对应的点为，
因为复数满足，
所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为，
又表示点到点的距离，
所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，
当为时，到定点的距离最小，最小值为1，
所以的最小值为1，故选：A．
【变式8-2】（2023·上海·高三宜川中学校考期中）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为 ．
【答案】7
【解析】令且，又，
所以，即，
所以复数z对应点在以为圆心，半径为2的圆上，
又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5，
所以的最大值为.
【变式8-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）若复数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设且，又，
所以，
即点到两定点的距离之和为，
所以点在以为焦点，长轴长为10的椭圆上，
由表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴.
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最小值为
【答案】/
【解析】设，（不同时为0），
，
由题意可知，得或，
当时，的轨迹是轴（除原点外），
此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，
当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，
的最小值是点与的距离.
（建议用时：60分钟）
1．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知集合，则满足的实数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以或，
当时，，此时集合中有两个1，所以不合题意，舍去，
当时，得或，
当时，集合和集合中均有两个1，所以不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
综上，，
所以满足的实数的个数为1，故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）已知全集，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又，所以，则，故选项A判断错误；
，故选项B判断错误；
，故选项C判断错误；
故选项D判断正确.故选：D.
3．（2023·四川成都·高三校考期中）设，，则中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由，则，
所以中元素个数为4.故选：C
4．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）设集合，，则满足集合的集合的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【解析】由，即，解得，所以，
又，所以，
所以，即，则集合的子集有个.故选：C
5．（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题设，则，
所以共有个子集，其中3个真子集.故选：C
6．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：
对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确.故选：D.
7．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，
因为所以.故选：C
8．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
而表示整数，表示被3除余2的整数，
故，则，故选：B．
9．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，，则集合的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．15
【答案】B
【解析】由题意，得，，
.又，集合的个数为.故选：B.
10．（2023·河南·模拟预测）已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合中恰有两个元素，得，
解得．故选：B．
11．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
则由题意可设，，其中，
则，且，故，故选：D．
12．（2023·河南·高三校联考期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：，
，所以.故选：D.
13．（2023·辽宁·高三统考期中）设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由不等式，分解因式可得，解得，
由可得，
由，则，故A正确，B，C，D均错误．故选：A.
14．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为为纯虚数，所以，，故，
所以，
则复数在复平面内对应的点为，则其在第四象限，故选：D.
15．（2023·上海·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，
有，则结合诱导公式易知，
可取的值是4或5.故选：B
16．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且,,则称a为集合A的孤立元素．若集合,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合的三元子集个数为，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为
，一共35种，
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．故选：C．
17．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知，，若，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得：，所以，则
由得：当时，则，又，所以；
当时，则不等式解得，不符合，
综上所述.故选：B.
18．（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知M，N均为的子集，若存在使得，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，又因为，所以，故，故A正确；
由于题目条件是存在，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故BCD错误；故选：A.
19．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为，
所以，故A错误；
，故B正确；
因为，
所以，故C错误；
，故D正确.故选：BD.
20．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
C．若，满足，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，，，依次循环，
所以，故A正确；
对于B，设，，则有，
可知在复平面内的轨迹为圆，故B正确；
对于C，因为复数z满足，故点轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，
设，即，当此直线与圆相切时有，解得，
所以的取值范围为，故C不正确；
对于D，设，，若，则有，
令
，则.
令，可得，
所以，于是得，故D正确.故选：ABD满分技巧
与集合元素有关问题的解题策略
1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
满分技巧
利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[
满分技巧
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
满分技巧
集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
满分技巧
1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用；
2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解。在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象切解答时不易出错。
满分技巧
正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.