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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点8-3 双曲线及其应用8大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点8-3 双曲线及其应用8大题型，文件包含热点8-3双曲线及其应用8大题型原卷版docx、热点8-3双曲线及其应用8大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点8-3 双曲线及其应用8大题型
双曲线及其应用是高考数学的重点，在近几年高考数学试卷中，上去西安的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。
一、求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，
这一结论适用于选择或选择题。
二、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程与直线方程联立消去
得到关于的一元二次方程，
1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
【题型1 双曲线的定义及概念】
【例1】（2023秋·河北·高三统考阶段练习）如图，线段所在直线与平面平行，平面上的动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】C
【解析】如图，将平面竖直放置，以AB为轴作圆锥，使母线与轴线的夹角为，
又线段所在直线与平面平行，
则点P的轨迹如图所示，为双曲线的一支，故选：C.
【变式1-1】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知是平面内两个不同的定点，为平面内的动点，则“的值为定值，且”是“点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“的值为定值，”，
若，则点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；
“点的轨迹是双曲线”，则必有是平面内两个不同的定点，
且满足，故必要性成立；故选：B
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点F1（，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是（ ）
A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
【答案】D
【解析】依题意得，
当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；
当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线上一点P到焦点的距离为9，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．15 B．5 C．3或5 D．3或15
【答案】D
【解析】由双曲线的定义可知，而，
所以，或，由，
双曲线上的点到焦点的距离最小值为，
显然 和都符合题意，故选：D
【变式1-4】（2023秋·河北保定·高三统考期末）（多选）平面内有一定点和一个定圆，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可以是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】BCD
【解析】
如图所示，由垂直平分线可知，，
当点在圆外时，，
即动点到两定点之间的距离之差为定值，
故此时点的轨迹为双曲线，故D选项正确；
当点在圆上时，点与点重合；
当点在圆内且不与圆心重合时，，
即动点到两定点之间的距离之和为定值，故此时点的轨迹为椭圆，故C选项正确；
当点与点重合时，为中点，即，
即动点到点的距离为定值，故此时点的轨迹为圆，故B选项正确；故选：BCD.
【题型2 利用双曲线定义求最值】
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，
所以下焦点，设上焦点为，则，
根据双曲线定义：，在上支，
，,
在中两边之差小于第三边，，
，.故选：D.
【变式2-1】（2023·河南郑州·统考一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义得,
故
如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，
，故方程为，
联立，解得点Q的坐标为
(Q为第一象限上的一点)，
故，故选：A
【变式2-2】（2022秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【解析】由双曲线,可得，,
设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即，
作，垂足为E，即，
作,垂足为H，则，
因为点P为C左支上的动点，所以，可得，
故，
由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值，
最小值为，
即的最小值为，故选：A．
【变式2-3】（2022秋·江苏扬州·高三江苏省邗江中学校考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，所以，，
当在双曲线的左支时，，
所以，
当且仅当时等号成立.
当在双曲线的右支时，，
所以（其中），
对于函数，，
任取，，
由于，所以，
所以在上递增，所以.
所以的最小值为.
综上所述，的最小值为.故选：B
【变式2-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知点是右焦点为的双曲线上一点，点是圆上一点，则的最小值是______.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，则，
设圆的圆心为，则，半径.
因为双曲线表示双曲线的右支（除去顶点），
由定义可知：，
所以
（当且仅当三点共线时等号成立），
因为，
所以的最小值为，
故答案为：.
【题型3 双曲线的标准方程】
【例3】（2023·广东惠州·统考模拟预测）“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程表示双曲线，
所以，解得或.即.
因为是的真子集，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B．
【变式-1】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】点，，令为轨迹上任意点，则有，
因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长，
所以所求轨迹方程为.故选：B
【变式3-2】（2023秋·天津·高三统考期末）已知双曲线的实轴长为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的焦点坐标为，故，
由题意得：，所以，
故双曲线方程为.故选：B
【变式3-3】（2023·陕西西安·统考一模）已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为：，
不妨令点A在直线上，，如图，
因为，则，
而，即有，
，，
由知，点在y轴同侧，
于是，，，
在中，，
由得：，整理得：，
化简得，解得或（舍去），
所以，，双曲线方程为.故选：A
【变式3-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线上一点到两个焦点的距离之差为，且双曲线E的离心率为2，则双曲线E的方程为______．
【答案】
【解析】由题意知，，．
又因为，所以，所以，
所以双曲线E的方程为．
故答案为：．
【题型4 双曲线的焦点三角形问题】
【例4】（2022秋·贵州贵阳·高三统考阶段练习）设O为坐标原点，为双曲线的左、右焦点，经过原点O的直线与双曲线交于两点、，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的左、右焦点分别为、，
过原点的直线与双曲线相交于，两点，
不妨设在右支上， 故，又，
可得，，
又，所以,
由于，进而
则的面积等于的面积，
故四边形面积为：．故选：D
【变式4-1】（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知双曲线，分别为左、右焦点，P为曲线C上的动点，若的平分线与x轴交于点，则为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】由题意可知
不妨设在右支上，根据角平分线的性质可得，又，
所以，在中，由余弦定理得,
进而 ；
方法二：由双曲线的光学性质可知MP为切线，设，故其方程为，
又因为过，则，则.故选：B.
【变式4-2】（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知，是双曲线两个焦点，是双曲线上的一点，且，则点到轴的距离为______.
【答案】
【解析】由双曲线方程可得：，在中，由余弦定理可得：
即，解得：，
设点，则，
即，解得：，将点代入双曲线方程可得：
也即点到轴的距离为，
故答案为：.
【变式4-3】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）（多选）已知双曲线的上、下焦点分别为，点P在双曲线上且位于x轴上方，则下列结论正确的是（ ）
A．线段的最小值为1
B．点P到两渐近线的距离的乘积为
C．若为直角三角形，则的面积为5
D．的内切圆圆心在直线上
【答案】ABD
【解析】双曲线的焦点，实轴长，设点，有，
对于A，，则，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，双曲线渐近线，则点P到两渐近线的距离的乘积为：
，B正确；
对于C，为直角三角形，
当时，，解得，
，
当时，，解得，
，C不正确；
对于D，如图，圆C是的内切圆，切点分别为，设点，
由双曲线的定义及圆的切线性质得：
，解得，
而，即直线方程为：，
所以的内切圆圆心在直线上，D正确.故选：ABD
【变式4-4】（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）（多选）已知，为曲线的焦点，则下列说法正确的是（ ）．
A．若曲线C的离心率，则
B．若，则曲线C的两条渐近线夹角为
C．若，曲线C上存在四个不同点P，使得
D．若，曲线C上存在四个不同点P，使得
【答案】BD
【解析】对于A，若曲线C的离心率，则该曲线为椭圆，
当焦点在轴上时，，，解得，
当焦点在轴上时，，，解得，
综上，若曲线C的离心率，则或，故A错误；
对于B，时，曲线，渐近线，
两渐近线的倾斜角分别为，所以两渐近线夹角为，故B正确；
对于C，，曲线，，，，
当点位于上下顶点时，最大，点位于上下顶点时，，
则，所以曲线上不存在点P使得，故C错误；
对于D，若，则曲线是焦点在上的双曲线，则，
所以以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，此4个交点即为点，故D正确.
故选：BD．
【题型5 双曲线的离心率值与范围】
【例5】（2023·全国·校联考模拟预测）已知是双曲线上的一个动点，且点到的两个焦点距离的差的绝对值为6，的焦点到渐近线的距离为4，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设双曲线方程为，
则双曲线的渐近线方程为，即，
由双曲线的定义知，，所以，
由双曲线的焦点到其渐近线的距离为，即，
所以，所以的离心率．故选：B
【变式5-1】（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设，，
因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．
因为Q在C的左支上，所以，
即，解得，则．
因为，所以，即，
故，故．故选：A
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，
所以有，即.
由已知得，存在点，使得，即，
显然，所以.
又，
即当点位于图中位置时，等号成立，所以，
又，
所以，整理可得，，解得或（舍去），
所以，则，则，所以，
所以.故选：C.
【变式5-3】（2022秋·江苏南京·高三南京市第一中学校联考期末）（多选）已知为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上．若，且，则双曲线的离心率可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】设，，由双曲线定义知：，即，
由得：，；
由得：，
，，
双曲线离心率，则选项中可能的值为，，.故选：ACD.
【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与y轴交于点A，若P为左支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为，
所以.
因为直线与y轴交于点A，所以，连接，
易知，
当且仅当A，P，三点共线时取等号.
所以，即，所以，
又，所以的离心率的取值范围为.
故答案为：.
【变式5-5】（2023·湖南·模拟预测）已知双曲线的右焦点，点A是圆上一个动点，且线段AF的中点B在双曲线E的一条渐近线上，则双曲线E的离心率的取值范围是____________.
【答案】
【解析】因为点A是圆上一个动点，所以设，
则，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
因为点B在双曲线的一条渐近线上，所以，即；
因为，其中，
因为，所以，即离心率.
故答案为：
【题型6 双曲线的中点弦问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
【答案】D
【解析】设，且，
代入双曲线方程得，
两式相减得：
若是线段的中点，则，
所以，即直线的斜率为，
所以直线方程为：，即；
但联立，得，则，方程无解，
所以直线不存在.故选：D.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，故选：D.
【变式6-2】（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为__________.
【答案】
【解析】设，
因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，
所以①，②，③，④，
所以，②③得，整理得
所以，
因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，
所以，，
因为，所以，即，整理得：，
所以，整理得，
所以，即，
所以，整理得，
因为的两条浙近线分别为，
所以，的两条浙近线的斜率之积为
故答案为：
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上的两点．
（1）若是坐标原点，直线经过的右焦点，且，求直线的方程；
（2）若线段的中点为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题知：双曲线焦点在 轴上， ，
所以右焦点为 ，
当直线的斜率不存在时，直线为 ，
此时设 ， ,
,不满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线为 ，，
联立方程，消去 得： ，
所以 ，
因为 ，
所以
，解得 ，
所以直线的方程为；
（2）设，
因为在双曲线上，
所以，化简得：，
所以，所以
因为是中点，所以
所以，即 ，
所以直线的方程为，即
【变式6-4】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．
【答案】（1）;；（2）.
【解析】（1）若焦点，其到渐近线的距离，
又因为双曲线：经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）设点，，
因为是弦的中点，则．
由于，则，
所以，
从而直线的方程为，即．
联立，得，
所以，
从而．
【题型7 双曲线的弦长问题】
【例7】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，
故可设双曲线的方程是，
又已知，
又，，
所以双曲线的方程是；
（2）由题意得直线的方程为，
由得，
由题知得且 ．
设，则，
， 解得或，
，所以直线的方程为．
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．
（1）求C的方程；
（2）直线与C交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）选①②，可得，，解得，所以C的方程为；
选①③，可得，，解得，所以C的方程为；
选②③，可得，，解得，，
所以C的方程为；
（2）设，，联立，消掉y，整理得，
所以，
因为，
所以．
【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）设双曲线，其中两焦点坐标为，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．
【答案】答案见解析
【解析】（1）当弦AB所在直线的斜率k存在时， 设直线AB为y = k( x- c) ，
双曲线方程可化为①，
将直线y = k( x- c) 代入①整理得，，
设，
当时， 弦AB的两个端点同在右支曲线上(如图1) ， 于是
∴，
当时， 弦AB的两个端点在左右两支曲线上(如图2) ，
于是．
（2）当弦AB所在直线的斜率k不存在时， 弦AB 与x 轴垂直，．
【变式7-3】（2022·全国·高三专题练习）（1）已知A，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状：
（2）已知过双曲线上的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于A，两点，求.
【答案】（1）轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点；
（2）.
【解析】（1）设，
因为，，所以，
整理得，
故点的轨迹方程为，
轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.
（2）由得，，，所以,即，
所以右焦点，因为直线的倾斜角是，且直线经过右焦点，
所以直线的方程为,
由可得：，所以，，
所以.
【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（ ）
A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定
B．该双曲线的离心率为
C．若和在双曲线的同一支上，则
D．若和分别在双曲线的两支上，则
【答案】BC
【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，
且有，解得，则双曲线的方程为，其焦点在轴上；
若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，
则，可得，且有，无解，A错；
对于B选项，，，，
所以，双曲线的离心率为，B对；
对于CD选项，当直线不与轴重合时，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，
，
，
.
若和在双曲线的同一支上，则，可得，
则，C对；
若和分别在双曲线的两支上且直线不与轴重合时，
，可得，则，
若直线与轴重合，则、分别为双曲线的两个顶点，则，
故当和分别在双曲线的两支上时，，D错.故选：BC.
【题型8 直线与双曲线综合问题】
【例8】（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且的面积为6．
（1）求C的方程；
（2）若过点且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于 两点，Q为x轴上一点，满足，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意点在C上，且的面积为6，
可得且，则，
又 ，解得，
故双曲线方程为；
（2）证明：由（1）知，故设斜率为k的直线l为，
由于直线l交双曲线C的右支于两点，故，
联立 ，可得，
当时，直线l与双曲线的渐近线平行，
此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意；
故，此时，
设，则，
则，即的中点坐标为，
因为Q为x轴上一点，满足，
故Q为的垂直平分线与x轴的交点，
的垂直平分线的方程为：，
令 ，则得，即,
所以,
又，
又因为在双曲线的右支上，故,
故，即,
故，即为定值.
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．
【答案】（1）；（2）定点坐标为，详见解析.
【解析】（1）由双曲线，可得其渐近线为，
∴双曲线：的渐近线为，
∴，即，
∴双曲线：，
由，可得，解得，
∴直线被双曲线所截得的弦长为，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）当直线的斜率不为0时，可设，
由，可得，
设，则，，
∴，
，
设以为直径的圆上任意一点，则，
∴以为直径的圆的方程为，
令，可得，
∴，
∴，
由，可得，即以为直径的圆恒过定点，
当直线的斜率为0时，此时为实轴端点，显然以为直径的圆过点，
综上，以为直径的圆恒过轴上的定点，此定点坐标为.
【变式8-2】（2023·吉林·统考二模）在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为6.
【解析】（1）由已知可得：，整理化简可得：，即,
所以动点的轨迹方程为：；
（2）由可设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
由，可得，
所以，
同理可得，
又由且，可得，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为6.
【变式8-3】（2023·云南曲靖·统考一模）如图，已知，直线l：，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设，，证明定值，并求的取值范围．
【答案】（1）；（2）证明见解析，
【解析】（1）设点，则，且．
由得，
即，化简得．
故动点P的轨迹C的方程为：．
（2）设直线AB的方程为：，则．
联立直线AB与轨迹C的方程得，消去x得，
则．
设，，由韦达定理知，．
由，得：，，
整理得，．
所以．
故为定值0．
∵，
∴，
∴的取值范围是．
【变式8-4】（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设，为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线与直线的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）交点Q在定直线上，理由见解析.
【解析】（1）若双曲线的方程且，，则，
将代入双曲线并整理得：，
又直线与双曲线交于A，B两点，故且，
由AB中点的横坐标为，所以，则，
所以，，故.
（2）由（1），不妨令，，
当直线l斜率不存在时，，则，
此时，，则交点为；
当直线l斜率存在时，，代入并整理，
得：，
过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，
故，
令，则，，
且，，联立直线与直线得，
所以，
则，可得或（舍），
综上，交点Q在定直线上.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·陕西咸阳·校考一模）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题，设，因为
所以，
因为，所以，解得
因为，解得，
所以，双曲线的离心率为.故选：A
2．（2023秋·天津河北·高三统考期末）设双曲线的焦距为，若成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】成等差数列，，又，
，即，，
双曲线的渐近线方程为：.故选：A.
3．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设渐近线方程为，即，下焦点为，
下焦点到渐近线的距离为，离心率，
，解得，故双曲线方程为.故选：D
4．（2023·上海黄浦·统考一模）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】∵表示双曲线，∴.
∴是表示双曲线的充要条件.故选：C.
5．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知在第一象限，在第二象限，
到渐近线的距离为，即，
设，则，，
由得，
故，，
.故选:C
6．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（ ）
A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在
【答案】D
【解析】设点，因点是的中点，则，
从而有，两式相减得：，
即，于是得直线l的斜率为，
直线l的方程为：，即，
由消去y并整理得：，
此时，即方程组无解，
所以直线l不存在.故选：D
7．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则（ ）
A．若直线的斜率为，则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有四个
C．点到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点，则的最小值为5
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意可知，，设
则直线的斜率为，，
令，
令在单调递减，对.
对于B，当，则满足条件的有两个；
当，则满足条件的有两个，易得不存在满足，
满足为等腰三角形的有4个，B对.
对于C，渐近线：即，
，C对，
对于D，由题意，点Q在双曲线外，
当三点共线时，有最小值，
此时，D错误.故选：ABC.
8．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设，过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．为定值
C．若当时，（为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为
D．当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为是双曲线C的右焦点，点M为双曲线右支上一点，
所以由双曲线性质知线段长度的最小值为，故A错误；
对于B，设，两渐近线方程分别为，，
所以，
又因为满足，可得，
所以故B正确；
对于C，因为，所以，而（为坐标原点）恰好为等边三角形，
因此由知，，
所以由双曲线的定义知：，
即，即双曲线的离心率，故C正确；
对于D，如图，
设直线与圆相切于点A，连接OA，则，且.
作于点B，则.
又因为，所以，，
因此在中，.
又点在双曲线右支上，所以，
整理得，即，
因此双曲线的渐近线的斜率的绝对值，故D正确.故选：BCD.
9．（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）（多选）已知双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C的焦距是______.
【答案】
【解析】因为双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，
所以，所以，
所以双曲线C的焦距是.
故答案为：.
10．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为，动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，若恒成立，则双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】如图：
因为恒成立，取特殊位置轴时，此时，所以，
在中，，
双曲线中，，
将代入双曲线方程得，整理可得：，
取点位于第一象限，所以，
则，
所以，
当时，，，此时不符合题意，故不成立，
当时，，，此时不符合题意，故不成立，
当时，，
所以，即，可得，所以，
所以，，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
11．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知点M为圆上的动点，点，延长至N，使得，线段的垂直平分线交直线于点P，记P的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线l与交于A，B两点，且，求的面积的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）连接，如图，
因为线段的垂直平分线交直线于点P，则，
则，
在中，，
于是，即，
因此点P的轨迹是以为焦点，
实轴长为2的双曲线，其虚半轴长为，
所以的方程是.
（2）显然，直线都不垂直于坐标轴，
设直线的方程为：，而，则直线的方程为：，，
设，由解得，
则，同理，
因此的面积
，
由且得：，
，
当且仅当，即时取等号，
则当时，，
所以的面积的最小值是.
12．（2023·吉林·统考一模）已知双曲线过点，且焦距为10．
（1）求C的方程；
（2）已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，故，所以C的方程为．
（2）设，，
当时，即，解得，则，
双曲线的渐近线方程为，
故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线方程为，
令，则，故．
则直线．
由得，
所以，．
．
所以，所以，即．
13．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）设点F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l交双曲线C的右支于点A，B，分别交两条渐近线于点M，N，点A，M在第一象限，当轴时，．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若，求直线l的斜率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，设，
当时，，
∴，解得，∴．
∵，∴，．
∴双曲线C的标准方程为；
（2）易知，设直线l：，
设，，，．
联立，得，
∴，，
∴．①
联立，得，
∴，．
∴．②
取AB中点P，由可知点P也为MN中点．
∴．
由，得，把①②代入得，
∴．∴直线l的斜率为．
14．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右顶点为，P(4，1)是C上一点，且直线PA1与PA2的斜率乘积为．
（1）求C的方程．
（2）设直线l与C交于点M，N，且PM⊥PN．证明：直线l过定点．
【答案】（1）；（2）过定点，证明见解析.
【解析】（1）由题意知，则，解得，
将P(4，1)代入得，
故双曲线方程为；
（2）当直线斜率存在时，
设直线，
联立双曲线方程得：，
则要满足，且，
解得：且，
设，则，，
，
，
，
所以，
即，
整理得，
即，即，
所以或，
当时，满足，
此时直线方程为，直线恒过定点，
当时，此时直线方程为，
直线恒过定点，舍去.
当直线斜率不存在时，设，则，且，
此时，解得：或，
因为点和都异于点，故时不合要求，舍去，
故，此时直线经过点，
综上：直线过定点，定点坐标为.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点8-3 双曲线及其应用8大题型
双曲线及其应用是高考数学的重点，在近几年高考数学试卷中，上去西安的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。
一、求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，
这一结论适用于选择或选择题。
二、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程与直线方程联立消去
得到关于的一元二次方程，
1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
【题型1 双曲线的定义及概念】
【例1】（2023秋·河北·高三统考阶段练习）如图，线段所在直线与平面平行，平面上的动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】C
【解析】如图，将平面竖直放置，以AB为轴作圆锥，使母线与轴线的夹角为，
又线段所在直线与平面平行，
则点P的轨迹如图所示，为双曲线的一支，故选：C.
【变式1-1】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知是平面内两个不同的定点，为平面内的动点，则“的值为定值，且”是“点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“的值为定值，”，
若，则点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；
“点的轨迹是双曲线”，则必有是平面内两个不同的定点，
且满足，故必要性成立；故选：B
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点F1（，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是（ ）
A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
【答案】D
【解析】依题意得，
当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；
当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线上一点P到焦点的距离为9，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．15 B．5 C．3或5 D．3或15
【答案】D
【解析】由双曲线的定义可知，而，
所以，或，由，
双曲线上的点到焦点的距离最小值为，
显然 和都符合题意，故选：D
【变式1-4】（2023秋·河北保定·高三统考期末）（多选）平面内有一定点和一个定圆，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可以是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】BCD
【解析】
如图所示，由垂直平分线可知，，
当点在圆外时，，
即动点到两定点之间的距离之差为定值，
故此时点的轨迹为双曲线，故D选项正确；
当点在圆上时，点与点重合；
当点在圆内且不与圆心重合时，，
即动点到两定点之间的距离之和为定值，故此时点的轨迹为椭圆，故C选项正确；
当点与点重合时，为中点，即，
即动点到点的距离为定值，故此时点的轨迹为圆，故B选项正确；故选：BCD.
【题型2 利用双曲线定义求最值】
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，
所以下焦点，设上焦点为，则，
根据双曲线定义：，在上支，
，,
在中两边之差小于第三边，，
，.故选：D.
【变式2-1】（2023·河南郑州·统考一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义得,
故
如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，
，故方程为，
联立，解得点Q的坐标为
(Q为第一象限上的一点)，
故，故选：A
【变式2-2】（2022秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【解析】由双曲线,可得，,
设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即，
作，垂足为E，即，
作,垂足为H，则，
因为点P为C左支上的动点，所以，可得，
故，
由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值，
最小值为，
即的最小值为，故选：A．
【变式2-3】（2022秋·江苏扬州·高三江苏省邗江中学校考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，所以，，
当在双曲线的左支时，，
所以，
当且仅当时等号成立.
当在双曲线的右支时，，
所以（其中），
对于函数，，
任取，，
由于，所以，
所以在上递增，所以.
所以的最小值为.
综上所述，的最小值为.故选：B
【变式2-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知点是右焦点为的双曲线上一点，点是圆上一点，则的最小值是______.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，则，
设圆的圆心为，则，半径.
因为双曲线表示双曲线的右支（除去顶点），
由定义可知：，
所以
（当且仅当三点共线时等号成立），
因为，
所以的最小值为，
故答案为：.
【题型3 双曲线的标准方程】
【例3】（2023·广东惠州·统考模拟预测）“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程表示双曲线，
所以，解得或.即.
因为是的真子集，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B．
【变式-1】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】点，，令为轨迹上任意点，则有，
因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长，
所以所求轨迹方程为.故选：B
【变式3-2】（2023秋·天津·高三统考期末）已知双曲线的实轴长为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的焦点坐标为，故，
由题意得：，所以，
故双曲线方程为.故选：B
【变式3-3】（2023·陕西西安·统考一模）已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为：，
不妨令点A在直线上，，如图，
因为，则，
而，即有，
，，
由知，点在y轴同侧，
于是，，，
在中，，
由得：，整理得：，
化简得，解得或（舍去），
所以，，双曲线方程为.故选：A
【变式3-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线上一点到两个焦点的距离之差为，且双曲线E的离心率为2，则双曲线E的方程为______．
【答案】
【解析】由题意知，，．
又因为，所以，所以，
所以双曲线E的方程为．
故答案为：．
【题型4 双曲线的焦点三角形问题】
【例4】（2022秋·贵州贵阳·高三统考阶段练习）设O为坐标原点，为双曲线的左、右焦点，经过原点O的直线与双曲线交于两点、，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的左、右焦点分别为、，
过原点的直线与双曲线相交于，两点，
不妨设在右支上， 故，又，
可得，，
又，所以,
由于，进而
则的面积等于的面积，
故四边形面积为：．故选：D
【变式4-1】（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知双曲线，分别为左、右焦点，P为曲线C上的动点，若的平分线与x轴交于点，则为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】由题意可知
不妨设在右支上，根据角平分线的性质可得，又，
所以，在中，由余弦定理得,
进而 ；
方法二：由双曲线的光学性质可知MP为切线，设，故其方程为，
又因为过，则，则.故选：B.
【变式4-2】（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知，是双曲线两个焦点，是双曲线上的一点，且，则点到轴的距离为______.
【答案】
【解析】由双曲线方程可得：，在中，由余弦定理可得：
即，解得：，
设点，则，
即，解得：，将点代入双曲线方程可得：
也即点到轴的距离为，
故答案为：.
【变式4-3】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）（多选）已知双曲线的上、下焦点分别为，点P在双曲线上且位于x轴上方，则下列结论正确的是（ ）
A．线段的最小值为1
B．点P到两渐近线的距离的乘积为
C．若为直角三角形，则的面积为5
D．的内切圆圆心在直线上
【答案】ABD
【解析】双曲线的焦点，实轴长，设点，有，
对于A，，则，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，双曲线渐近线，则点P到两渐近线的距离的乘积为：
，B正确；
对于C，为直角三角形，
当时，，解得，
，
当时，，解得，
，C不正确；
对于D，如图，圆C是的内切圆，切点分别为，设点，
由双曲线的定义及圆的切线性质得：
，解得，
而，即直线方程为：，
所以的内切圆圆心在直线上，D正确.故选：ABD
【变式4-4】（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）（多选）已知，为曲线的焦点，则下列说法正确的是（ ）．
A．若曲线C的离心率，则
B．若，则曲线C的两条渐近线夹角为
C．若，曲线C上存在四个不同点P，使得
D．若，曲线C上存在四个不同点P，使得
【答案】BD
【解析】对于A，若曲线C的离心率，则该曲线为椭圆，
当焦点在轴上时，，，解得，
当焦点在轴上时，，，解得，
综上，若曲线C的离心率，则或，故A错误；
对于B，时，曲线，渐近线，
两渐近线的倾斜角分别为，所以两渐近线夹角为，故B正确；
对于C，，曲线，，，，
当点位于上下顶点时，最大，点位于上下顶点时，，
则，所以曲线上不存在点P使得，故C错误；
对于D，若，则曲线是焦点在上的双曲线，则，
所以以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，此4个交点即为点，故D正确.
故选：BD．
【题型5 双曲线的离心率值与范围】
【例5】（2023·全国·校联考模拟预测）已知是双曲线上的一个动点，且点到的两个焦点距离的差的绝对值为6，的焦点到渐近线的距离为4，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设双曲线方程为，
则双曲线的渐近线方程为，即，
由双曲线的定义知，，所以，
由双曲线的焦点到其渐近线的距离为，即，
所以，所以的离心率．故选：B
【变式5-1】（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设，，
因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．
因为Q在C的左支上，所以，
即，解得，则．
因为，所以，即，
故，故．故选：A
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，
所以有，即.
由已知得，存在点，使得，即，
显然，所以.
又，
即当点位于图中位置时，等号成立，所以，
又，
所以，整理可得，，解得或（舍去），
所以，则，则，所以，
所以.故选：C.
【变式5-3】（2022秋·江苏南京·高三南京市第一中学校联考期末）（多选）已知为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上．若，且，则双曲线的离心率可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】设，，由双曲线定义知：，即，
由得：，；
由得：，
，，
双曲线离心率，则选项中可能的值为，，.故选：ACD.
【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与y轴交于点A，若P为左支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为，
所以.
因为直线与y轴交于点A，所以，连接，
易知，
当且仅当A，P，三点共线时取等号.
所以，即，所以，
又，所以的离心率的取值范围为.
故答案为：.
【变式5-5】（2023·湖南·模拟预测）已知双曲线的右焦点，点A是圆上一个动点，且线段AF的中点B在双曲线E的一条渐近线上，则双曲线E的离心率的取值范围是____________.
【答案】
【解析】因为点A是圆上一个动点，所以设，
则，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
因为点B在双曲线的一条渐近线上，所以，即；
因为，其中，
因为，所以，即离心率.
故答案为：
【题型6 双曲线的中点弦问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
【答案】D
【解析】设，且，
代入双曲线方程得，
两式相减得：
若是线段的中点，则，
所以，即直线的斜率为，
所以直线方程为：，即；
但联立，得，则，方程无解，
所以直线不存在.故选：D.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，故选：D.
【变式6-2】（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为__________.
【答案】
【解析】设，
因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，
所以①，②，③，④，
所以，②③得，整理得
所以，
因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，
所以，，
因为，所以，即，整理得：，
所以，整理得，
所以，即，
所以，整理得，
因为的两条浙近线分别为，
所以，的两条浙近线的斜率之积为
故答案为：
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上的两点．
（1）若是坐标原点，直线经过的右焦点，且，求直线的方程；
（2）若线段的中点为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题知：双曲线焦点在 轴上， ，
所以右焦点为 ，
当直线的斜率不存在时，直线为 ，
此时设 ， ,
,不满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线为 ，，
联立方程，消去 得： ，
所以 ，
因为 ，
所以
，解得 ，
所以直线的方程为；
（2）设，
因为在双曲线上，
所以，化简得：，
所以，所以
因为是中点，所以
所以，即 ，
所以直线的方程为，即
【变式6-4】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．
【答案】（1）;；（2）.
【解析】（1）若焦点，其到渐近线的距离，
又因为双曲线：经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）设点，，
因为是弦的中点，则．
由于，则，
所以，
从而直线的方程为，即．
联立，得，
所以，
从而．
【题型7 双曲线的弦长问题】
【例7】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，
故可设双曲线的方程是，
又已知，
又，，
所以双曲线的方程是；
（2）由题意得直线的方程为，
由得，
由题知得且 ．
设，则，
， 解得或，
，所以直线的方程为．
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．
（1）求C的方程；
（2）直线与C交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）选①②，可得，，解得，所以C的方程为；
选①③，可得，，解得，所以C的方程为；
选②③，可得，，解得，，
所以C的方程为；
（2）设，，联立，消掉y，整理得，
所以，
因为，
所以．
【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）设双曲线，其中两焦点坐标为，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．
【答案】答案见解析
【解析】（1）当弦AB所在直线的斜率k存在时， 设直线AB为y = k( x- c) ，
双曲线方程可化为①，
将直线y = k( x- c) 代入①整理得，，
设，
当时， 弦AB的两个端点同在右支曲线上(如图1) ， 于是
∴，
当时， 弦AB的两个端点在左右两支曲线上(如图2) ，
于是．
（2）当弦AB所在直线的斜率k不存在时， 弦AB 与x 轴垂直，．
【变式7-3】（2022·全国·高三专题练习）（1）已知A，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状：
（2）已知过双曲线上的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于A，两点，求.
【答案】（1）轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点；
（2）.
【解析】（1）设，
因为，，所以，
整理得，
故点的轨迹方程为，
轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.
（2）由得，，，所以,即，
所以右焦点，因为直线的倾斜角是，且直线经过右焦点，
所以直线的方程为,
由可得：，所以，，
所以.
【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（ ）
A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定
B．该双曲线的离心率为
C．若和在双曲线的同一支上，则
D．若和分别在双曲线的两支上，则
【答案】BC
【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，
且有，解得，则双曲线的方程为，其焦点在轴上；
若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，
则，可得，且有，无解，A错；
对于B选项，，，，
所以，双曲线的离心率为，B对；
对于CD选项，当直线不与轴重合时，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，
，
，
.
若和在双曲线的同一支上，则，可得，
则，C对；
若和分别在双曲线的两支上且直线不与轴重合时，
，可得，则，
若直线与轴重合，则、分别为双曲线的两个顶点，则，
故当和分别在双曲线的两支上时，，D错.故选：BC.
【题型8 直线与双曲线综合问题】
【例8】（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且的面积为6．
（1）求C的方程；
（2）若过点且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于 两点，Q为x轴上一点，满足，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意点在C上，且的面积为6，
可得且，则，
又 ，解得，
故双曲线方程为；
（2）证明：由（1）知，故设斜率为k的直线l为，
由于直线l交双曲线C的右支于两点，故，
联立 ，可得，
当时，直线l与双曲线的渐近线平行，
此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意；
故，此时，
设，则，
则，即的中点坐标为，
因为Q为x轴上一点，满足，
故Q为的垂直平分线与x轴的交点，
的垂直平分线的方程为：，
令 ，则得，即,
所以,
又，
又因为在双曲线的右支上，故,
故，即,
故，即为定值.
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．
【答案】（1）；（2）定点坐标为，详见解析.
【解析】（1）由双曲线，可得其渐近线为，
∴双曲线：的渐近线为，
∴，即，
∴双曲线：，
由，可得，解得，
∴直线被双曲线所截得的弦长为，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）当直线的斜率不为0时，可设，
由，可得，
设，则，，
∴，
，
设以为直径的圆上任意一点，则，
∴以为直径的圆的方程为，
令，可得，
∴，
∴，
由，可得，即以为直径的圆恒过定点，
当直线的斜率为0时，此时为实轴端点，显然以为直径的圆过点，
综上，以为直径的圆恒过轴上的定点，此定点坐标为.
【变式8-2】（2023·吉林·统考二模）在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为6.
【解析】（1）由已知可得：，整理化简可得：，即,
所以动点的轨迹方程为：；
（2）由可设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
由，可得，
所以，
同理可得，
又由且，可得，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为6.
【变式8-3】（2023·云南曲靖·统考一模）如图，已知，直线l：，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设，，证明定值，并求的取值范围．
【答案】（1）；（2）证明见解析，
【解析】（1）设点，则，且．
由得，
即，化简得．
故动点P的轨迹C的方程为：．
（2）设直线AB的方程为：，则．
联立直线AB与轨迹C的方程得，消去x得，
则．
设，，由韦达定理知，．
由，得：，，
整理得，．
所以．
故为定值0．
∵，
∴，
∴的取值范围是．
【变式8-4】（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设，为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线与直线的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）交点Q在定直线上，理由见解析.
【解析】（1）若双曲线的方程且，，则，
将代入双曲线并整理得：，
又直线与双曲线交于A，B两点，故且，
由AB中点的横坐标为，所以，则，
所以，，故.
（2）由（1），不妨令，，
当直线l斜率不存在时，，则，
此时，，则交点为；
当直线l斜率存在时，，代入并整理，
得：，
过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，
故，
令，则，，
且，，联立直线与直线得，
所以，
则，可得或（舍），
综上，交点Q在定直线上.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·陕西咸阳·校考一模）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题，设，因为
所以，
因为，所以，解得
因为，解得，
所以，双曲线的离心率为.故选：A
2．（2023秋·天津河北·高三统考期末）设双曲线的焦距为，若成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】成等差数列，，又，
，即，，
双曲线的渐近线方程为：.故选：A.
3．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设渐近线方程为，即，下焦点为，
下焦点到渐近线的距离为，离心率，
，解得，故双曲线方程为.故选：D
4．（2023·上海黄浦·统考一模）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】∵表示双曲线，∴.
∴是表示双曲线的充要条件.故选：C.
5．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知在第一象限，在第二象限，
到渐近线的距离为，即，
设，则，，
由得，
故，，
.故选:C
6．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（ ）
A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在
【答案】D
【解析】设点，因点是的中点，则，
从而有，两式相减得：，
即，于是得直线l的斜率为，
直线l的方程为：，即，
由消去y并整理得：，
此时，即方程组无解，
所以直线l不存在.故选：D
7．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则（ ）
A．若直线的斜率为，则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有四个
C．点到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点，则的最小值为5
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意可知，，设
则直线的斜率为，，
令，
令在单调递减，对.
对于B，当，则满足条件的有两个；
当，则满足条件的有两个，易得不存在满足，
满足为等腰三角形的有4个，B对.
对于C，渐近线：即，
，C对，
对于D，由题意，点Q在双曲线外，
当三点共线时，有最小值，
此时，D错误.故选：ABC.
8．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设，过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．为定值
C．若当时，（为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为
D．当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为是双曲线C的右焦点，点M为双曲线右支上一点，
所以由双曲线性质知线段长度的最小值为，故A错误；
对于B，设，两渐近线方程分别为，，
所以，
又因为满足，可得，
所以故B正确；
对于C，因为，所以，而（为坐标原点）恰好为等边三角形，
因此由知，，
所以由双曲线的定义知：，
即，即双曲线的离心率，故C正确；
对于D，如图，
设直线与圆相切于点A，连接OA，则，且.
作于点B，则.
又因为，所以，，
因此在中，.
又点在双曲线右支上，所以，
整理得，即，
因此双曲线的渐近线的斜率的绝对值，故D正确.故选：BCD.
9．（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）（多选）已知双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C的焦距是______.
【答案】
【解析】因为双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，
所以，所以，
所以双曲线C的焦距是.
故答案为：.
10．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为，动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，若恒成立，则双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】如图：
因为恒成立，取特殊位置轴时，此时，所以，
在中，，
双曲线中，，
将代入双曲线方程得，整理可得：，
取点位于第一象限，所以，
则，
所以，
当时，，，此时不符合题意，故不成立，
当时，，，此时不符合题意，故不成立，
当时，，
所以，即，可得，所以，
所以，，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
11．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知点M为圆上的动点，点，延长至N，使得，线段的垂直平分线交直线于点P，记P的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线l与交于A，B两点，且，求的面积的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）连接，如图，
因为线段的垂直平分线交直线于点P，则，
则，
在中，，
于是，即，
因此点P的轨迹是以为焦点，
实轴长为2的双曲线，其虚半轴长为，
所以的方程是.
（2）显然，直线都不垂直于坐标轴，
设直线的方程为：，而，则直线的方程为：，，
设，由解得，
则，同理，
因此的面积
，
由且得：，
，
当且仅当，即时取等号，
则当时，，
所以的面积的最小值是.
12．（2023·吉林·统考一模）已知双曲线过点，且焦距为10．
（1）求C的方程；
（2）已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，故，所以C的方程为．
（2）设，，
当时，即，解得，则，
双曲线的渐近线方程为，
故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线方程为，
令，则，故．
则直线．
由得，
所以，．
．
所以，所以，即．
13．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）设点F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l交双曲线C的右支于点A，B，分别交两条渐近线于点M，N，点A，M在第一象限，当轴时，．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若，求直线l的斜率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，设，
当时，，
∴，解得，∴．
∵，∴，．
∴双曲线C的标准方程为；
（2）易知，设直线l：，
设，，，．
联立，得，
∴，，
∴．①
联立，得，
∴，．
∴．②
取AB中点P，由可知点P也为MN中点．
∴．
由，得，把①②代入得，
∴．∴直线l的斜率为．
14．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右顶点为，P(4，1)是C上一点，且直线PA1与PA2的斜率乘积为．
（1）求C的方程．
（2）设直线l与C交于点M，N，且PM⊥PN．证明：直线l过定点．
【答案】（1）；（2）过定点，证明见解析.
【解析】（1）由题意知，则，解得，
将P(4，1)代入得，
故双曲线方程为；
（2）当直线斜率存在时，
设直线，
联立双曲线方程得：，
则要满足，且，
解得：且，
设，则，，
，
，
，
所以，
即，
整理得，
即，即，
所以或，
当时，满足，
此时直线方程为，直线恒过定点，
当时，此时直线方程为，
直线恒过定点，舍去.
当直线斜率不存在时，设，则，且，
此时，解得：或，
因为点和都异于点，故时不合要求，舍去，
故，此时直线经过点，
综上：直线过定点，定点坐标为.
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热点7-3 双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）： 这是一份热点7-3 双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含热点7-3双曲线及其应用8题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、热点7-3双曲线及其应用8题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
