2023-2024学年江苏省南京市江宁区南京师范大学江宁分校九年级（下）3月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市江宁区南京师范大学江宁分校九年级（下）3月月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9的平方根是( )
A. 3B. 3C. ± 3D. ±3
2.根据地区生产总值统一核算结果，盐城市2023年第一季度实现地区生产总值1702.3亿元．将1702.3亿用科学记数法表示为
( )
A. 1.7023×103B. 1.7023×104C. 1.7023×1010D. 1.7023×1011
3.下列运算正确的是( )
A. x5+x5=x10B. x5÷x5=xC. x5·x5=x10D. (x5)5=x10
4.实数a，b满足a<0，a2>b2，下列结论：①a0，③1a<1b，④|a|>|b|.其中所有正确结论的序号是
( )
A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④
5.若抛物线y=a(x−h)2+k(a>0)过点A(0,1)，B(8,2)，则h的值不可以是
( )
A. −3B. 0C. 2D. 4
6.如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P.以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB=OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B(异于点P，A)，连接AB和BP，过点P作∠BPC=∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A. 甲、乙两人的作法都正确B. 甲、乙两人的作法都错误
C. 甲的作法正确，乙的作法错误D. 甲的作法错误，乙的作法正确
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.分解因式a+12−2a−2= ．
8.计算 12− 43 的 结果是 ．
9.式子1 x+3有意义，则x的取值范围是 ．
10.圆锥的侧面积是10π，底面半径为2cm，则圆锥的母线长是 cm．
11.设x1，x2是方程x2−2x−1=0的两个根，则x11+x2+x2= ．
12.如图，已知直线AD/​/BE/​/CF，如果ABBC=23，DE=4，那么线段EF的长是 ．
13.在反比例函数y=4x中，已知四边形ABDC与四边形BOFE都是正方形，则点C的坐标为 ．
14.不等式组x+1>033x−1<22x+1 的 所有整数解是 ．
15.关于x的一次函数y=mx−3m+2的图象过点4,a，5,b，6,c，若abc<0，则m的取值范围是 ．
16.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E从点B运动到点C，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接DF，在点E运动的过程中，DF长的最小值为 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：−12−2−1− 3+tan60∘．
18.(本小题8分)
先化简，再求代数式的值：x2−2x+1x2−x÷(2x+1−1)，其中x是−219.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF//AB.求证：四边形ABFE是菱形．
20.(本小题8分)
中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成尚不完整的统计图(如图).请根据以上信息，解答下列问题．
(1)本次调查所得数据的 众数是________部，中位数是________部；
(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为_________度；
(3)请将条形统计图补充完整；
(4)若该校共有1560名学生，请估计该校四大名著一部没有读过的学生有多少人？
21.(本小题8分)
2023年春节档上映了3部观众较为喜爱的电影：《流浪地球2》，《满江红》，《无名》.甲、乙两人分别从中任意选择一部观看．
(1)甲选择《满江红》电影是______事件．(填“不可能”或“必然”或“随机”)；
(2)求甲、乙两人选择同一部电影的概率(请用画树状图或列表的方法给出分析过程)．
22.(本小题8分)
某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．
(1)求甲、乙两种商品每件的 进价分别是多少元？
(2)商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
23.(本小题8分)
学校无人机兴趣小组进行测量活动．如图，甲楼AB与乙楼CD之间的距离BD为72米．无人机升空后，在点M处测得甲楼顶部A与乙楼顶部C的俯角分别为14∘和60∘，点M距地面BD的高度为50米．无人机沿水平方向由点M飞行40米到达点N，测得点A的俯角为37∘(结果保留整数).点A,B,C,D,M,N均在同一竖直平面内．求乙楼CD的高度．(参考数据：tan14∘≈0.25，tan37∘≈0.75， 3≈1.73.)
24.(本小题8分)
A、B两地相距180km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发ah.设甲车行驶的时间为x(h)，甲、乙两车离A地的距离分别为y甲km、y乙km，图中线段OP表示y甲与x的函数关系．

(1)若两车同时到达目的地．
①a的值为___．
②在图中画出y乙km与x(h)的函数图像；
(2)若甲、乙两车在距A地90km至120km之间的某处相遇，求a的取值范围．
25.(本小题8分)
已知二次函数y=mx2−2m+1x−4(m>0)．
(1)若该函数图象经过点(−1,0)，求m的值；
(2)当−226.(本小题8分)
如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
27.(本小题8分)
【初步感知】(1)如图1，点A,B,C,D均在小正方形网格的格点上，则tan∠BAC2=_______；
【问题解决】(2)求tan15∘的值；
方案①：如图2，在▵ABC中，∠C=90∘，∠BAC=30∘，作AD平分∠BAC交BC于D，…
方案②：如图3，在▵ABC中，AB=AC，∠A=30∘，过点B作BD⊥AC，垂足为D，…
请你选择其中一种方案求出tan15∘的值(结果保留根号)；
【思维提升】(3)求sin18∘的值；
如图4，在▵ABC中，AB=AC，∠A=36∘.求sin18∘的值(结果保留根号)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据平方根的定义求出即可．
【 详解】解：∵±32=9，
∴9的平方根是±3，
故选：D．
2.【答案】D
【解析】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1702.3亿=1.7023×1011．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂乘除法以及幂的乘方进行判断即可．
【详解】解：A．x5+x5=2x5，不符合题意；
B.x5÷x5=1，不符合题意；
C.x5·x5=x10，符合题意；
D.(x5)5=x25，不符合题意；
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】由a<0，a2>b2，可知|a|>|b|，得出a1b，当b>0时1a<1b，进行判断即可．
【详解】解：∵a2>b2，
∴|a|>|b|，故④正确
∵a<0，
∴|a|=−a，
∴−a>|b|，
当b>0时，|b|=b，有−a>b，即a<−b−b，即a∴a当b<0时，1a>1b，当b>0时1a<1b，故②，③错误，
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．把A点和B点坐标分别代入解析式得到方程组，消去k得到可解得a=164−16h，然后利用a>0得到h的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．
【详解】解：把A(0,1)、B(8,2)分别代入y=a(x−h)2+k(a>0)得ah2+k=1a(8−h)2+k=2,
②−①得64a−16ah=1，
解得a=164−16h>0，
所以h<4，
所以h的值不可以是4．
故选：D
6.【答案】A
【解析】【分析】对于甲先证明▵AOP是等边三角形，得到∠OPA=∠OAP=60∘，再由AB=OP=AP，得到∠APB=∠ABP，即可利用三角形外角的性质得到∠APB=∠ABP=30∘，则∠OPB=90∘，即可证明PB是⊙O的切线；
对于乙由直径所对的圆周角是直角得到∠ABP=90∘，则∠APB+∠PAB=90∘，进而得到∠APB+∠BPC=90∘，则∠APC=90∘，即可证明PC是⊙O的切线．
【详解】解：甲正确．
理由：如图1中，连接PA．
∵AP=PO=AO，
∴▵AOP是等边三角形，
∴∠OPA=∠OAP=60∘，
∵AB=OP=AP，
∴∠APB=∠ABP，
∵∠OAP=∠APB+∠ABP，
∴∠APB=∠ABP=30∘，
∴∠OPB=90∘，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线，
乙正确．
理由：∵AP是直径，
∴∠ABP=90∘，
∴∠APB+∠PAB=90∘，
∵∠BPC=∠BAP，
∴∠APB+∠BPC=90∘，
∴∠APC=90∘，
∴OP⊥PC，
∴PC是⊙O的切线，
故选：A．

7.【答案】a+1a−1
【解析】【分析】先计算完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：原式=a2+2a+1−2a−2
=a2−1
=a+1a−1，
故答案为：a+1a−1．
8.【答案】4 33
【解析】【分析】先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式=2 3−23 3
=4 33；
故答案为：4 33．
9.【答案】x>−3
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵式子1 x+3有意义，
∴x+3≥0 x+3≠0,
∴x>−3，
故答案为：x>−3．
10.【答案】5
【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：∵圆锥的侧面积S侧=πrl=10π，r=2，
∴圆锥的母线长l=10π2π=5，
故答案为：5．
11.【答案】1
【解析】【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=−1，
∴x11+x2+x2
=x1+x1x2+x2
=x1+x2+x1x2
=2−1
=1
故答案为：1．
12.【答案】6
【解析】【分析】由平行线所截线段对应成比例可知ABBC=DEEF，然后代入DE=4求解即可．
【详解】解：∵AD//BE//CF，
∴ABBC=DEEF=23，
∵DE=4，
∴EF=6，
故答案为：6．
13.【答案】( 5−1, 5+1)
【解析】【分析】设OB=a,AB=b，则点E(a,a)，点Cb,a+b，由反比例函数图像上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之取a、b均为正值的解即可．
【 详解】解：设OB=a,AB=b，则点E(a,a)，点Cb,a+b，
∵反比例函数y=4x的图像过点C、E，
∴a2=4(a+b)⋅b=4,
解得：a=2b= 5−1或a=2b=− 5−1(舍去)
或a=−2b=1+ 5(舍去)或a=−2b=1− 5(舍去)
∴AB=AC=b= 5−1，AO=2+ 5−1，
故点C的坐标为( 5−1, 5+1)．
故答案为：( 5−1, 5+1)．
14.【答案】0
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数即可．
【详解】解：x+1>0①33x−1<22x+1②,
解不等式①得，x>−1，
解不等式②得，x<1，
所以不等式组的解集为−1所以原不等式组的整数解是0.
故答案为：0.
15.【答案】m<−2或−1【解析】【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
由y=mx−3m+2=mx−3+2，即可求得一次函数v=110的图象过定点3,2，结合一次函数v=110的图象过点4,a，5,b，6,c，且abc<0，即可得出m的值不大于0，当a<0或b>0c<0满足题意，得到m+2<0或2m+2>03m+2<0，解得m<−2或−1【详解】解：∵y=mx−3m+2=mx−3+2，
∴一次函数v=110的图象过定点3,2，
∵一次函数v=110的图象过点4,a，5,b，6,c，且abc<0，
∴m的值不大于0，
∴a<0或b>0c<0,
∴m+2<0或2m+2>03m+2<0,
∴m<−2或−1故答案为：m<−2或−116.【答案】4−2 2
【解析】【分析】过点F作FH⊥AC于点H，过点D作DG⊥HF于点G，HG与CD的交点为K，根据旋转和正方形的性质，证明▵ABE≌AHFAAS，从而得出CH=4 2−4，点F在射线HF上运动，当点F与点G重合时，DF有最小值，然后利用锐角三角函数，分别求出CK、DG，即可得到DF长的最小值．
【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，过点D作DG⊥HF于点G，HG与CD的交点为K，
由旋转的性质可知，AE=AF，∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠HAF，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AB=CD=4，∠B=∠ADC=90∘，∠ACD=45∘，AC= 2AB=4 2，
∵FH⊥AC，
∴∠AHF=90∘，
在▵ABE和AHF中，
∠B=∠AHF=90∘∠BAE=∠HAFAE=AF,
∴▵ABE≌AHFAAS，
∴AH=AB=4，
∴CH=AC−AH=4 2−4
∵∠AHF=90∘，
∴点F在射线HF上运动，当点F与点G重合时，DF有最小值，
在Rt▵CHK中，∠ACD=45∘，
∴CK=CHcs45∘= 2CH= 2×4 2−4=8−4 2，
∴DK=CD−CK=4−8−4 2=4 2−4，
∵AC⊥GH，DG⊥GH，
∴AC//DG，
∴∠CDG=∠ACD=45∘，
∴在Rt▵DGK中，DG=DK⋅cs45∘= 22×4 2−4=4−2 2
即DF的最小值为4−2 2，
故答案为：4−2 2．
17.【答案】解：−12−2−1− 3+tan60∘
=4+(1− 3)+ 3
=4+1− 3+ 3
=5．

【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂及绝对值的性质化简，代入特殊角的三角函数值计算即可得答案；熟记特殊角的三角函数值并熟练掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】解：x2−2x+1x2−x÷2x+1−1
=(x−1)2x(x−1)÷1−xx+1
=−(x−1)2x(x−1)×x+1x−1
=−x+1x
∵分式有意义，
∴x2−x≠0，x+1≠0
∴x≠0，±1
∵−2∴取x=2
∴原式=−32

【解析】【分析】首先将括号里面通分，进而将能因式分解的分子与分母因式分解，即可化简，再利用分式有意的条件得出即可．
19.【答案】【证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
又∵EF//AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．

【解析】【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB=AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
20.【答案】【小问1详解】
本次调查的人数：8÷20%=40人，
读1部的人数：40−2−10−8−6=14人，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
中位数：2+2÷2=2部，
故答案为：1，2；
【 小问2详解】
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360∘×640=54∘，
故答案为：54；
【小问3详解】
由(1)知，读1部的人数：40−2−10−8−6=14人，
补全条形统计图如图所示，
；
【小问4详解】
1560×240=78(人)，

【解析】【分析】(1)根据读3部的人数和所占百分比，可以求出本次调查的人数，再算出读1部的人数，然后即可得到众数和中位数；(2)用360°乘以读4部所占的百分比即可得到答案；(3)根据(1)中读1部的人数，可以将条形统计图补充完整；(4)用全校人数乘以一部没有读过的百分比即可求得答案．
21.【答案】【小问1详解】
甲选择《满江红》电影是随机事件．
故答案为：随机．
【 小问2详解】
《流浪地球2》，《满江红》，《无名》分别用A、B、C表示，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙2人选择同1部电影的情况有3种，
∴甲、乙2人选择同1部电影的概率为39=13．

【解析】【分析】(1)根据事件的分类进行判断即可求解．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
(2)根据画树状图法求概率即可求解．
22.【答案】(1)设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
2x+y=50x+2y=70，得x=10y=30,
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；
(2)设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品(60−m)件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元，
则w=(20−10)m+(50−30)(60−m)=−10m+1200，
∵m≥4(60−m)，
解得：m≥48，
∴当m=48时，w取得最大值，最大利润为：−10×48+1200=720元，
∴60−m=12，
答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元．

【解析】【分析】(1)根据购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
(2)根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
23.【答案】解：延长BA、DC，分别交MN所在直线于点E、F.过点M作MH⊥BD，垂足为点H，设AE为x米，

在Rt▵AEN中，∠ANE=37∘，
∵tan37∘=AEEN，
∴EN=AEtan37∘=43x，
在Rt△AEM中，∠AME=14∘，
∵tan14∘=AEEM，
∴EM=AEtan14∘=4x，
∵EM−EN=MN，
∴4x−43x=40，
解得x=15，
∴EM=60，
∵四边形EBDF是矩形，
∴EF=BD=72，
∴MF=12，
在Rt▵CFM中，∠CMF=60∘，
∵tan60∘=CFMF，
∴CF=MF×tan60∘=12 3，
∵四边形MHDF是矩形，
∴FD=MH=50，
∴CD=50−12 3≈29．
答：乙楼CD的高度为29米．

【解析】【分析】延长BA、DC，分别交MN所在直线于点E、F.过点M作MH⊥BD，垂足为点H，设AE为x米，在Rt▵AEN中，∠ANE=37∘，由tan37∘=AEEN可得EN=43x，在Rt△AEM中，∠AME=14∘，由tan14∘=AEEM可得EM=4x，由EM−EN=MN可求出x的值，最后根据矩形的性质和解直角三角形即可得到答案．
24.【答案】【小问1详解】
解：①∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，
∴乙车行驶时间为180÷80=2.25h，
∵a=3−2.25=0.75h，
∴乙车比甲车晚出发0.75h，即a=0.75，
故答案为：0.75
②图象如下：
【小问2详解】
解：根据题意得：甲的速度为180÷3=60km/h，
∴y甲=60x，
y乙=180−80x−a=−80x+180+80a，
由60x=−80x+180+80a得：x=97+47a，
当x=97+47a时，y甲=y乙=6097+47a，
∵甲、乙两车在距A地90km至120km之间的某处相遇，
∴90<6097+47a<120，
解得38∴a的范围是38
【解析】【分析】(1)①乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，求出乙车行驶时间为180÷80=2.25h，则a=3−2.25=0.75h，即可得到乙车比甲车晚出发0.75h，即a=0.75，
②根据①中数据即可画出图象；
(2)求得y甲=60x，y乙=180−80x−a=−80x+180+80a，由60x=−80x+180+80a得x=97+47a，当x=97+47a时，y甲=y乙=6097+47a，则90<6097+47a<120，解不等式即可得答案．
25.【答案】【小问1详解】
解：∵二次函数y=mx2−2m+1x−4过点−1,0，
∴0=m+2m+1−4，
解得：m=1；
【小问2详解】
解：∵y=mx2−2m+1x−4(m>0)，
∴函数图象抛物线开口向上，对称轴为x=2m+12m，
∵当−2∴2m+12m≥3，
解得：m≤14，
∵m>0，
∴m的取值范围0
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、配方法、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
(1)将点(−1,0)代入y=mx2−(2m+1)x−4即可求得m的值；
(2)先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据“当−20即可解答．
26.【答案】【小问1详解】
证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD//OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵E是BC的中点，且OA=OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，
∵OE=6，
∴AC=12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
又∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ADAC=ACAB，即AD12=1220，
∴AD=365．

【解析】【分析】(1)连接OC，由AC平分∠BAD，OA=OC，可得∠DAC=∠OCA，AD/​/OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
(2)由OE是△ABC的中位线，得AC=12，再证明△DAC∽△CAB，ADAC=ACAB，即AD12=1220，从而得到AD=365．
27.【答案】解：(1)在Rt▵ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵AD=5，
∴▵ABD是等腰三角形，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAC是▵ABD的外角，
∴∠BAC=∠D+∠ABD，即∠D=12∠BAC，
∴tan∠BAC2=tan∠D=BCDC=43+5=12，
故答案为：12；
(2)选方案①：作AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DM⊥AB垂足为M，
∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，∠BAC=30∘，
∴DM=DC，∠DAC=12∠BAC=15∘，
设AB=2a，CD=CM=x，
∵sin∠BAC=BCAB，cs∠BAC=ACAB，
∴BC=a，AC= 3a，
∵S△ABC=S△ACD+S△ABD，
∴12AC⋅BC=12AC⋅CD+12AB⋅DM，
∴12× 3a×a=12× 3a×x+12×2a×x，
∴x=2 3−3a，
∵tan∠DAC=DCAC，
∴tan15∘=2 3−3a 3a=2− 3；
选方案②：过点B作BD⊥AC，垂足为D，设AB=AC=2a，
∵sin∠BAC=BDAB，cs∠BAC=ADAB，
∴BD=a，AD= 3a，
∴CD=2− 3a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180∘，
∴∠ACB=75∘
∵∠ADB=∠ACB+∠DBC=90∘，
∴∠DBC=15∘，
∴tan15∘=2− 3aa=2− 3；
(3)如图所示，设AB=AC=2a，作BE平分∠ABC交AC于点E，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A=36∘，∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴∠ABC=∠ACB=72∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36∘，
∴▵ABC∽▵BEC，
∴ACBC=BCCE，
∵∠3=∠1+∠A，
∴∠3=72∘，
∴∠3=∠C，
∴BC=BE，
同理：AE=BE，
∴BC=AE，
设AE=BC=x，
∴2ax=x2a−x，解之得，x= 5−1a(舍去负值)，
∴CE=3− 5a，过点B作BD⊥AC垂足D，
∴∠C+∠DBC=90∘，
∴∠DBC=18∘，
∵BC=BE，
∴CD=12CE=3− 52a，
∵sin∠DBC=CDBC，
∴sin18∘=3− 52 5−1= 5−14．

【解析】【分析】(1)根据格点的特点分别计算出AC,BC,AB,AD,DC的长，计算出∠D=12∠BAC，再根据正切值的计算方法即可求解；
(2)选方案①：作AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DM⊥AB垂足为M，设AB=2a，CD=CM=x，根据等面积法求出x的值，根据正切的计算方法即可求解；选方案②：过点B作BD⊥AC，垂足为D，设AB=AC=2a，求出a，根据正切的计算方法即可求解；
(3)设AB=AC=2a，作BE平分∠ABC交AC于点E，可证▵ABC∽▵BEC，BC=BE=AE，计算出CD的长，根据正弦的计算方法即可求解．