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2024年辽宁省鞍山市台安县部分学校中考数学一模试卷 含解析
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这是一份2024年辽宁省鞍山市台安县部分学校中考数学一模试卷 含解析，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局B．输给对手
C．打赢了对手D．无法确定
2．（3分）如图所示，几何体的主（正）视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．a•a3＝a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a6
5．（3分）一元二次方程x2+2x+2＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
6．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
7．（3分）一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（ ）
A．160钱B．155钱C．150钱D．145钱
9．（3分）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P＝15°，∠CFP＝110°，则∠ABP的大小为（ ）
A．100°B．95°C．90°D．85°
10．（3分）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（，﹣5）B．（﹣5，）C．（1，﹣4﹣）D．（﹣4﹣，1）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算（4+）（4﹣）的结果等于 ．
12．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．
13．（3分）如图，在体育课上，A，B，C，D，E，F六位同学分别站在正六边形的6个顶点处 （面向六边形内）做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手或右手边的第一个人．若游戏中传球和接球都没有失误，现在球在A手上，则经过两次传球后球又传到A手上的概率为 ．
14．（3分）如图，矩形OABC，对角线OB与双曲线y＝交于点D，若OD：OB＝3：5，则矩形OABC的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的D'处，当△APD'是等腰三角形时，AP＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：−14+÷（−）×（−2）3；
（2）化简：（a−1+）÷．
17．（8分）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、LED灯三个阶段，目前性价比最高的是LED灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的LED照明灯共200只，甲型号LED照明灯的进价为30元/只，乙型号LED照明灯的进价为60元/只．
（1）若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只．
（2）若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？
18．（9分）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
19．（8分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误．
解答下列问题：
（1）记录错误的h的值是 cm，正确的值应该是 cm；
（2）求水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式；
（3）当h为10cm时，求对应的时间t为多少．
20．（8分）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆AB的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长CD＝10米，坡度i＝3：4，小华在C处测得旗杆顶端A的仰角为60°，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°．求旗杆AB的高度．（点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上，结果保留根号）
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
22．（12分）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
23．（12分）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在▱ABCD中，AB＜BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作▱DEGF．
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对▱ABCD展开类似研究．如图3，在▱ABCD中，∠ABC＝60°．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A：当AB＝4，BC＝6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
B：当BC＝6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
2024年辽宁省鞍山市台安县部分学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局B．输给对手
C．打赢了对手D．无法确定
【分析】根据对正负数的理解即可解答．
【解答】解：某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中输给了对手．
故选：B．
2．（3分）如图所示，几何体的主（正）视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三视图画法规则：
（1）高平齐：正视图和侧视图的高保持平齐；
（2）宽相等：侧视图的宽和俯视图的宽相等；
（3）长对正：正视图和俯视图的长对正．
【解答】解：由图可得，主视图应该是三列，正方体的数目分别是：1、2、1．
故选：B．
3．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．a•a3＝a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a6
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行计算即可．
【解答】解：A、原式＝（3﹣1）x2＝2x2，故本选项错误；
B、原式＝a1+3＝a4，故本选项错误；
C、原式＝a6﹣3＝a3，故本选项错误；
D、原式＝a2×3＝a6，故本选项正确．
故选：D．
5．（3分）一元二次方程x2+2x+2＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
【分析】根据方程的根的判别式Δ＝﹣4＜0，即可得出该方程没有实数根．
【解答】解：在方程x2+2x+2＝0中，
∵Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程x2+2x+2＝0没有实数根．
故选：A．
6．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+5﹣6x＝0，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故选：B．
7．（3分）一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的增减性可得k＜0，进一步可得b＞0，即可确定一次函数的图象．
【解答】解：一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴一次函数经过第一、二、四象限，
故选：A．
8．（3分）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（ ）
A．160钱B．155钱C．150钱D．145钱
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
依题意得：，
解得：．
故选：C．
9．（3分）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P＝15°，∠CFP＝110°，则∠ABP的大小为（ ）
A．100°B．95°C．90°D．85°
【分析】由平行线的性质得到∠AEP＝110°，再由三角形外角定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠CFP＝110°，
∴∠AEP＝∠CFP＝110°，
∵∠AEP＝∠ABP+∠P，∠P＝15°，
∴∠ABP＝∠AEP﹣∠P＝110°﹣15°＝95°，
故选：B．
10．（3分）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（，﹣5）B．（﹣5，）C．（1，﹣4﹣）D．（﹣4﹣，1）
【分析】连接AB，过点D作DE⊥x轴于点E，根据线段垂直平分线和菱形的性质可得△ABC为等边三角形，进而可得∠DAE＝60°，在Rt△ADE中，利用三角函数求出DE，AE的长，从而可得答案．
【解答】解：连接AB，过点D作DE⊥x轴于点E，
由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴BC＝AB，AD＝，
∵四边形AOBC为菱形，A（﹣4，0），
∴OA＝AC＝BC＝4，
∴AD＝2，BC＝AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠DAE＝60°，
在Rt△ADE中，DE＝AD•sin60°＝2×＝，AE＝AD•cs60°＝＝1，
∴OE＝OA+AE＝4+1＝5，
∴点D的坐标为（﹣5，）．
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算（4+）（4﹣）的结果等于 13 ．
【分析】应用平方差公式，求出计算（4+）（4﹣）的结果等于多少即可．
【解答】解：（4+）（4﹣）
＝42﹣
＝16﹣3
＝13．
故答案为：13．
12．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 48 ．
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故答案为48．
13．（3分）如图，在体育课上，A，B，C，D，E，F六位同学分别站在正六边形的6个顶点处 （面向六边形内）做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手或右手边的第一个人．若游戏中传球和接球都没有失误，现在球在A手上，则经过两次传球后球又传到A手上的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的情况，其中经过两次传球后球又传到A手上的情况有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中经过两次传球后球又传到A手上的情况有3种，
∴经过两次传球后球又传到A手上的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，矩形OABC，对角线OB与双曲线y＝交于点D，若OD：OB＝3：5，则矩形OABC的面积为 50 ．
【分析】作DE⊥OA轴于E，易证得△DOE∽△BOA，即可得到＝（）2＝，由于S△EOD＝＝9，求得S△AOB＝25，则矩形OABC的面积＝2S△AOB＝50．
【解答】解：作DE⊥OA轴于E，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴DE∥AB，
∴△DOE∽△BOA，
∴＝（）2
∵OD：OB＝3：5，S△EOD＝＝9，
∴＝（）2，
∴S△AOB＝25，
∴矩形OABC的面积＝2S△AOB＝50，
故答案为：50．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的D'处，当△APD'是等腰三角形时，AP＝ ．
【分析】分三种情形：如图1中，当PA＝PD′时，如图2中，当AP＝AD′时，如图3中，当D′A＝D′P时，分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当PA＝PD′时，
由翻折的性质可知，PD＝PD′，
∴PA＝PD＝PD′＝3．
如图2中，当AP＝AD′时，设AP＝x，则PD＝PD′＝6﹣x．
∵AB＝4，BE＝3，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠HAD′＝∠AEB，
∵∠AHD′＝∠B＝90°，
∴△AHD′∽△EBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AH＝x，HD′＝x，
∴PH＝x﹣x＝x，
在Rt△PHD′中，则有（6﹣x）2＝（x）2+（x）2，
解得x＝30﹣12或30+12（舍弃）．
如图3中，当D′A＝D′P时，过点D′作D′H⊥AP于H．设AP＝x，则AH＝PH＝，PD＝PD′＝AD′＝6﹣x，
∵＝，
∴＝，
∴x＝，
综上所述，满足条件的AP的值为3或30﹣12或．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：−14+÷（−）×（−2）3；
（2）化简：（a−1+）÷．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）−14+÷（−）×（−2）3
＝
＝﹣1+12
＝11；
（2）（a−1+）÷
＝•
＝
＝
＝．
17．（8分）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、LED灯三个阶段，目前性价比最高的是LED灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的LED照明灯共200只，甲型号LED照明灯的进价为30元/只，乙型号LED照明灯的进价为60元/只．
（1）若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只．
（2）若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？
【分析】（1）设甲型号照明灯购进x只，乙型号照明灯购进y只，根据购进甲、乙两种型号的LED照明灯共200只共花费7200元列出方程组求解即可；
（2）设甲型号照明灯购进m只，则乙型号照明灯购进（200﹣m）只，根据总费用不超过8400元列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲型号照明灯购进x只，乙型号照明灯购进y只．
根据题意，得
解得
答：甲型号照明灯购进160只，乙型号照明灯购进40只．
（2）设甲型号照明灯购进m只，则乙型号照明灯购进（200﹣m）只．
根据题意，得30m+60（200﹣m）≤8400，
解得m≥120．
答：甲型号照明灯至少购进120只．
18．（9分）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
【分析】（1）根据自然增长率与出生率、死亡率的数值即可推测它们之间的关系；
（2）根据样本容量＝总体×抽样比例求出a的值即可；
（3）①根据统计图进行解答，合理即可；
②根据目前人口自然增长率的趋势，提出建议改善现状，合理即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，人口自然增长率＝出生率﹣死亡率．
（2）5‰a＝11450，解得a＝2290000．
（3）①近5年来，我市及全国人口自然增长率逐年下降；自2021年起，我市人口呈现负增长（答案不唯一，合理即可）；
②建议国家加大政策优惠力度和补贴力度，降低生育成本，鼓励人们多生育（答案不唯一，合理即可）．
19．（8分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误．
解答下列问题：
（1）记录错误的h的值是 3.4 cm，正确的值应该是 3.2 cm；
（2）求水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式；
（3）当h为10cm时，求对应的时间t为多少．
【分析】（1）由表格中数据知，时间每增加1分钟，h增加0.4，据此可知h＝3.4是错误的值；
（2）设水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h＝kt+b，再用待定系数法求解析式即可；
（3）利用（2）的关系式求解t值即可．
【解答】解：（1）由表格中数据知，时间每增加1分钟，h增加0.4，
∴h＝3.4是错误的值，正确的值应该是3.2，
故答案为：3.4，3.2；
（2）设水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h＝kt+b，
代入表中数据得，
解得，
∴水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h＝0.4t+2；
（3）由（2）知h＝0.4t+2，
当h＝10时，10＝0.4t+2，
解得t＝20，
20．（8分）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆AB的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长CD＝10米，坡度i＝3：4，小华在C处测得旗杆顶端A的仰角为60°，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°．求旗杆AB的高度．（点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上，结果保留根号）
【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DF＝BE，BF＝DE，然后设DE＝3x米，则CE＝4x米，从而在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE和DE的长，再设BC＝y米，则DF＝BE＝（y+8）米，最后分别在Rt△ABC和Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AB和AF的长，从而列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝BE，BF＝DE，
∵坡长CD＝10米，坡度i＝3：4，
∴＝，
∴设DE＝3x米，则CE＝4x米，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝5x（米），
∴5x＝10，
解得：x＝2，
∴CE＝8米，DE＝BF＝6米，
设BC＝y米，
∴DF＝BE＝BC+CE＝（y+8）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC•tan60°＝y（米），
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF•tan45°＝（y+8）米，
∵AB＝AF+BF，
∴y＝y+8+6，
解得：y＝7+7，
∴AB＝y＝（21+7）米，
∴旗杆AB的高度为（21+7）米．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
【分析】（1）连接OE，证明AC∥OE得到∠OEB＝90°即可得到证明；
（2）连接DF，先证DF∥BC得到∠B＝∠EDA＝30°，结合30°角所对直角边等于斜边一半得到AF，AC即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠AEO，
∴AC∥OE，
∵∠C＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是半圆O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝30°，AB＝12，
∴，OB＝2OE，
∵OE＝OD，
∴OD＝BD，
∴OA＝OE＝OD＝BD＝4，
∴AD＝8，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠C＝∠DFA＝90°，
∴DF∥BC，
∴∠B＝∠EDA＝30°，
∴，
∴CF＝AC﹣AF＝2，
22．（12分）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 49 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 230 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y＝0 时，x＝230；②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，当x＝274 时，y＝0，代入进行计算即可求解．
【解答】解：（1）描出各点，画出图象如下：
（2）①观察表格数据，可知当x＝50和x＝130 时，函数值相等，
∴对称轴为直线x＝＝90，顶点坐标为（90，49），
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm，
当y＝0时，x＝230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；
故答案为：49；230；
②设抛物线解析式为y＝a（x﹣90）2+49，
将（230，0）代入得，0＝a（230﹣90）2+49，
解得：a＝﹣0.0025，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49；
（3）当OA＝28.75 时，抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为（h﹣28.75）cm，
∴平移后的抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，
当x＝274 时，y＝0，
∴﹣0.0025（274﹣90）2+49+h﹣28.75＝0，
解得：h＝64.39；
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．
23．（12分）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在▱ABCD中，AB＜BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作▱DEGF．
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对▱ABCD展开类似研究．如图3，在▱ABCD中，∠ABC＝60°．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 A（或B） 题．
A：当AB＝4，BC＝6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
B：当BC＝6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
【分析】（1）根据矩形的性质即角平分线的性质证明即可；
（2）连接DG交BF于点O，连接BD，由（1）得四边形DEGF为正方形，DG⊥EF，GO＝OD，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）A：过点G作GH⊥AD交AD于点H，连接AG，证明四边形DFGE为是菱形，由锐角三角函数得到，，进而得到AH＝AE+EH＝5，利用勾股定理即可求解；
B：连接AG，AC，CG，CG交AD于点H，当CG⊥AD时，CG最短，此时△ACG的面积最小，利用锐角三角函数求出EH，CG即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠FED＝∠EBC，∠EFD＝∠ABE，∠FDE＝∠C＝90°，
∵四边形DEGF平行四边形，
∴平行四边形DEGF为矩形，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∴∠FED＝∠EFD，
∴DE＝DF，
∴矩形DEGF为正方形；
（2）解：BG＝AC，理由如下：
连接DG交BF于点O，连接BD，如图2，
由（1）得四边形DEGF为正方形，
∴DG⊥EF，GO＝OD，
∴BF垂直平分DG，
∴BG＝BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∴BG＝AC；
（3）解：A：补全图形如图3.1，过点G作GH⊥AD交AD于点H，连接AG，
由题意得四边形DFGE为平行四边形，
∵∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，
∴，
∵AD∥BC，AB＝4，BC＝6，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴AB＝AE＝4，DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝2，
∵AD∥BC，DF∥GE，
∴∠CBE＝∠DEF＝30°，∠DEG＝∠ABC＝60°，
∴∠GEF＝∠DEF＝30°，
∵GF∥DE，
∴∠DEF＝∠GFE＝30°，
∴∠GED＝∠GFD＝60°，
∴四边形DFGE为是菱形，
∴GE＝DE＝2，
∴，，
∴AH＝AE+EH＝5，
∴，
此时，A，G两点之间的距离为；
B：补全图形如如图3.2，连接AG，AC，CG，CG交AD于点H，
由A的证明知四边形DFGE为是菱形，
∴∠CBF＝∠CFB＝30°，
∴BC＝CF＝6，
当CG⊥AD时，CG最短，此时△ACG的面积最小，
∵CG⊥AD，∠ABC＝∠DFG＝60°，
∴∠CGF＝90°，∠GCF＝30°，
∴，
∵四边形DFGE为是菱形，
∴DE＝GE＝DF＝GF＝3，AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝3，
∴AB＝AE＝3，
∵，，
∴，
∴，
∴以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值为．
故答案为：A（或B）．
t（min）
0
1
2
3
5
…
h（cm）
2
2.4
2.8
3.4
4
…
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
t（min）
0
1
2
3
5
…
h（cm）
2
2.4
2.8
3.4
4
…
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
1．（3分）某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局B．输给对手
C．打赢了对手D．无法确定
2．（3分）如图所示，几何体的主（正）视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．a•a3＝a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a6
5．（3分）一元二次方程x2+2x+2＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
6．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
7．（3分）一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（ ）
A．160钱B．155钱C．150钱D．145钱
9．（3分）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P＝15°，∠CFP＝110°，则∠ABP的大小为（ ）
A．100°B．95°C．90°D．85°
10．（3分）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（，﹣5）B．（﹣5，）C．（1，﹣4﹣）D．（﹣4﹣，1）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算（4+）（4﹣）的结果等于 ．
12．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．
13．（3分）如图，在体育课上，A，B，C，D，E，F六位同学分别站在正六边形的6个顶点处 （面向六边形内）做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手或右手边的第一个人．若游戏中传球和接球都没有失误，现在球在A手上，则经过两次传球后球又传到A手上的概率为 ．
14．（3分）如图，矩形OABC，对角线OB与双曲线y＝交于点D，若OD：OB＝3：5，则矩形OABC的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的D'处，当△APD'是等腰三角形时，AP＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：−14+÷（−）×（−2）3；
（2）化简：（a−1+）÷．
17．（8分）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、LED灯三个阶段，目前性价比最高的是LED灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的LED照明灯共200只，甲型号LED照明灯的进价为30元/只，乙型号LED照明灯的进价为60元/只．
（1）若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只．
（2）若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？
18．（9分）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
19．（8分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误．
解答下列问题：
（1）记录错误的h的值是 cm，正确的值应该是 cm；
（2）求水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式；
（3）当h为10cm时，求对应的时间t为多少．
20．（8分）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆AB的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长CD＝10米，坡度i＝3：4，小华在C处测得旗杆顶端A的仰角为60°，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°．求旗杆AB的高度．（点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上，结果保留根号）
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
22．（12分）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
23．（12分）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在▱ABCD中，AB＜BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作▱DEGF．
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对▱ABCD展开类似研究．如图3，在▱ABCD中，∠ABC＝60°．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A：当AB＝4，BC＝6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
B：当BC＝6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
2024年辽宁省鞍山市台安县部分学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局B．输给对手
C．打赢了对手D．无法确定
【分析】根据对正负数的理解即可解答．
【解答】解：某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中输给了对手．
故选：B．
2．（3分）如图所示，几何体的主（正）视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三视图画法规则：
（1）高平齐：正视图和侧视图的高保持平齐；
（2）宽相等：侧视图的宽和俯视图的宽相等；
（3）长对正：正视图和俯视图的长对正．
【解答】解：由图可得，主视图应该是三列，正方体的数目分别是：1、2、1．
故选：B．
3．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2﹣x2＝3B．a•a3＝a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a6
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行计算即可．
【解答】解：A、原式＝（3﹣1）x2＝2x2，故本选项错误；
B、原式＝a1+3＝a4，故本选项错误；
C、原式＝a6﹣3＝a3，故本选项错误；
D、原式＝a2×3＝a6，故本选项正确．
故选：D．
5．（3分）一元二次方程x2+2x+2＝0根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．不能确定
【分析】根据方程的根的判别式Δ＝﹣4＜0，即可得出该方程没有实数根．
【解答】解：在方程x2+2x+2＝0中，
∵Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程x2+2x+2＝0没有实数根．
故选：A．
6．（3分）分式方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+5﹣6x＝0，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故选：B．
7．（3分）一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的增减性可得k＜0，进一步可得b＞0，即可确定一次函数的图象．
【解答】解：一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴一次函数经过第一、二、四象限，
故选：A．
8．（3分）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（ ）
A．160钱B．155钱C．150钱D．145钱
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
依题意得：，
解得：．
故选：C．
9．（3分）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P＝15°，∠CFP＝110°，则∠ABP的大小为（ ）
A．100°B．95°C．90°D．85°
【分析】由平行线的性质得到∠AEP＝110°，再由三角形外角定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠CFP＝110°，
∴∠AEP＝∠CFP＝110°，
∵∠AEP＝∠ABP+∠P，∠P＝15°，
∴∠ABP＝∠AEP﹣∠P＝110°﹣15°＝95°，
故选：B．
10．（3分）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（ ）
A．（，﹣5）B．（﹣5，）C．（1，﹣4﹣）D．（﹣4﹣，1）
【分析】连接AB，过点D作DE⊥x轴于点E，根据线段垂直平分线和菱形的性质可得△ABC为等边三角形，进而可得∠DAE＝60°，在Rt△ADE中，利用三角函数求出DE，AE的长，从而可得答案．
【解答】解：连接AB，过点D作DE⊥x轴于点E，
由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴BC＝AB，AD＝，
∵四边形AOBC为菱形，A（﹣4，0），
∴OA＝AC＝BC＝4，
∴AD＝2，BC＝AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠DAE＝60°，
在Rt△ADE中，DE＝AD•sin60°＝2×＝，AE＝AD•cs60°＝＝1，
∴OE＝OA+AE＝4+1＝5，
∴点D的坐标为（﹣5，）．
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算（4+）（4﹣）的结果等于 13 ．
【分析】应用平方差公式，求出计算（4+）（4﹣）的结果等于多少即可．
【解答】解：（4+）（4﹣）
＝42﹣
＝16﹣3
＝13．
故答案为：13．
12．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 48 ．
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故答案为48．
13．（3分）如图，在体育课上，A，B，C，D，E，F六位同学分别站在正六边形的6个顶点处 （面向六边形内）做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手或右手边的第一个人．若游戏中传球和接球都没有失误，现在球在A手上，则经过两次传球后球又传到A手上的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的情况，其中经过两次传球后球又传到A手上的情况有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中经过两次传球后球又传到A手上的情况有3种，
∴经过两次传球后球又传到A手上的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，矩形OABC，对角线OB与双曲线y＝交于点D，若OD：OB＝3：5，则矩形OABC的面积为 50 ．
【分析】作DE⊥OA轴于E，易证得△DOE∽△BOA，即可得到＝（）2＝，由于S△EOD＝＝9，求得S△AOB＝25，则矩形OABC的面积＝2S△AOB＝50．
【解答】解：作DE⊥OA轴于E，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴DE∥AB，
∴△DOE∽△BOA，
∴＝（）2
∵OD：OB＝3：5，S△EOD＝＝9，
∴＝（）2，
∴S△AOB＝25，
∴矩形OABC的面积＝2S△AOB＝50，
故答案为：50．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的D'处，当△APD'是等腰三角形时，AP＝ ．
【分析】分三种情形：如图1中，当PA＝PD′时，如图2中，当AP＝AD′时，如图3中，当D′A＝D′P时，分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当PA＝PD′时，
由翻折的性质可知，PD＝PD′，
∴PA＝PD＝PD′＝3．
如图2中，当AP＝AD′时，设AP＝x，则PD＝PD′＝6﹣x．
∵AB＝4，BE＝3，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠HAD′＝∠AEB，
∵∠AHD′＝∠B＝90°，
∴△AHD′∽△EBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AH＝x，HD′＝x，
∴PH＝x﹣x＝x，
在Rt△PHD′中，则有（6﹣x）2＝（x）2+（x）2，
解得x＝30﹣12或30+12（舍弃）．
如图3中，当D′A＝D′P时，过点D′作D′H⊥AP于H．设AP＝x，则AH＝PH＝，PD＝PD′＝AD′＝6﹣x，
∵＝，
∴＝，
∴x＝，
综上所述，满足条件的AP的值为3或30﹣12或．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：−14+÷（−）×（−2）3；
（2）化简：（a−1+）÷．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）−14+÷（−）×（−2）3
＝
＝﹣1+12
＝11；
（2）（a−1+）÷
＝•
＝
＝
＝．
17．（8分）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、LED灯三个阶段，目前性价比最高的是LED灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的LED照明灯共200只，甲型号LED照明灯的进价为30元/只，乙型号LED照明灯的进价为60元/只．
（1）若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只．
（2）若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？
【分析】（1）设甲型号照明灯购进x只，乙型号照明灯购进y只，根据购进甲、乙两种型号的LED照明灯共200只共花费7200元列出方程组求解即可；
（2）设甲型号照明灯购进m只，则乙型号照明灯购进（200﹣m）只，根据总费用不超过8400元列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲型号照明灯购进x只，乙型号照明灯购进y只．
根据题意，得
解得
答：甲型号照明灯购进160只，乙型号照明灯购进40只．
（2）设甲型号照明灯购进m只，则乙型号照明灯购进（200﹣m）只．
根据题意，得30m+60（200﹣m）≤8400，
解得m≥120．
答：甲型号照明灯至少购进120只．
18．（9分）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
【分析】（1）根据自然增长率与出生率、死亡率的数值即可推测它们之间的关系；
（2）根据样本容量＝总体×抽样比例求出a的值即可；
（3）①根据统计图进行解答，合理即可；
②根据目前人口自然增长率的趋势，提出建议改善现状，合理即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，人口自然增长率＝出生率﹣死亡率．
（2）5‰a＝11450，解得a＝2290000．
（3）①近5年来，我市及全国人口自然增长率逐年下降；自2021年起，我市人口呈现负增长（答案不唯一，合理即可）；
②建议国家加大政策优惠力度和补贴力度，降低生育成本，鼓励人们多生育（答案不唯一，合理即可）．
19．（8分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误．
解答下列问题：
（1）记录错误的h的值是 3.4 cm，正确的值应该是 3.2 cm；
（2）求水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式；
（3）当h为10cm时，求对应的时间t为多少．
【分析】（1）由表格中数据知，时间每增加1分钟，h增加0.4，据此可知h＝3.4是错误的值；
（2）设水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h＝kt+b，再用待定系数法求解析式即可；
（3）利用（2）的关系式求解t值即可．
【解答】解：（1）由表格中数据知，时间每增加1分钟，h增加0.4，
∴h＝3.4是错误的值，正确的值应该是3.2，
故答案为：3.4，3.2；
（2）设水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h＝kt+b，
代入表中数据得，
解得，
∴水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h＝0.4t+2；
（3）由（2）知h＝0.4t+2，
当h＝10时，10＝0.4t+2，
解得t＝20，
20．（8分）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆AB的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长CD＝10米，坡度i＝3：4，小华在C处测得旗杆顶端A的仰角为60°，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°．求旗杆AB的高度．（点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上，结果保留根号）
【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DF＝BE，BF＝DE，然后设DE＝3x米，则CE＝4x米，从而在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE和DE的长，再设BC＝y米，则DF＝BE＝（y+8）米，最后分别在Rt△ABC和Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AB和AF的长，从而列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝BE，BF＝DE，
∵坡长CD＝10米，坡度i＝3：4，
∴＝，
∴设DE＝3x米，则CE＝4x米，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝5x（米），
∴5x＝10，
解得：x＝2，
∴CE＝8米，DE＝BF＝6米，
设BC＝y米，
∴DF＝BE＝BC+CE＝（y+8）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC•tan60°＝y（米），
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF•tan45°＝（y+8）米，
∵AB＝AF+BF，
∴y＝y+8+6，
解得：y＝7+7，
∴AB＝y＝（21+7）米，
∴旗杆AB的高度为（21+7）米．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
【分析】（1）连接OE，证明AC∥OE得到∠OEB＝90°即可得到证明；
（2）连接DF，先证DF∥BC得到∠B＝∠EDA＝30°，结合30°角所对直角边等于斜边一半得到AF，AC即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠AEO，
∴AC∥OE，
∵∠C＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是半圆O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝30°，AB＝12，
∴，OB＝2OE，
∵OE＝OD，
∴OD＝BD，
∴OA＝OE＝OD＝BD＝4，
∴AD＝8，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠C＝∠DFA＝90°，
∴DF∥BC，
∴∠B＝∠EDA＝30°，
∴，
∴CF＝AC﹣AF＝2，
22．（12分）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 49 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 230 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y＝0 时，x＝230；②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，当x＝274 时，y＝0，代入进行计算即可求解．
【解答】解：（1）描出各点，画出图象如下：
（2）①观察表格数据，可知当x＝50和x＝130 时，函数值相等，
∴对称轴为直线x＝＝90，顶点坐标为（90，49），
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm，
当y＝0时，x＝230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；
故答案为：49；230；
②设抛物线解析式为y＝a（x﹣90）2+49，
将（230，0）代入得，0＝a（230﹣90）2+49，
解得：a＝﹣0.0025，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49；
（3）当OA＝28.75 时，抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为（h﹣28.75）cm，
∴平移后的抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，
当x＝274 时，y＝0，
∴﹣0.0025（274﹣90）2+49+h﹣28.75＝0，
解得：h＝64.39；
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．
23．（12分）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在▱ABCD中，AB＜BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作▱DEGF．
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对▱ABCD展开类似研究．如图3，在▱ABCD中，∠ABC＝60°．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 A（或B） 题．
A：当AB＝4，BC＝6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
B：当BC＝6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
【分析】（1）根据矩形的性质即角平分线的性质证明即可；
（2）连接DG交BF于点O，连接BD，由（1）得四边形DEGF为正方形，DG⊥EF，GO＝OD，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）A：过点G作GH⊥AD交AD于点H，连接AG，证明四边形DFGE为是菱形，由锐角三角函数得到，，进而得到AH＝AE+EH＝5，利用勾股定理即可求解；
B：连接AG，AC，CG，CG交AD于点H，当CG⊥AD时，CG最短，此时△ACG的面积最小，利用锐角三角函数求出EH，CG即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠FED＝∠EBC，∠EFD＝∠ABE，∠FDE＝∠C＝90°，
∵四边形DEGF平行四边形，
∴平行四边形DEGF为矩形，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∴∠FED＝∠EFD，
∴DE＝DF，
∴矩形DEGF为正方形；
（2）解：BG＝AC，理由如下：
连接DG交BF于点O，连接BD，如图2，
由（1）得四边形DEGF为正方形，
∴DG⊥EF，GO＝OD，
∴BF垂直平分DG，
∴BG＝BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∴BG＝AC；
（3）解：A：补全图形如图3.1，过点G作GH⊥AD交AD于点H，连接AG，
由题意得四边形DFGE为平行四边形，
∵∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，
∴，
∵AD∥BC，AB＝4，BC＝6，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴AB＝AE＝4，DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝2，
∵AD∥BC，DF∥GE，
∴∠CBE＝∠DEF＝30°，∠DEG＝∠ABC＝60°，
∴∠GEF＝∠DEF＝30°，
∵GF∥DE，
∴∠DEF＝∠GFE＝30°，
∴∠GED＝∠GFD＝60°，
∴四边形DFGE为是菱形，
∴GE＝DE＝2，
∴，，
∴AH＝AE+EH＝5，
∴，
此时，A，G两点之间的距离为；
B：补全图形如如图3.2，连接AG，AC，CG，CG交AD于点H，
由A的证明知四边形DFGE为是菱形，
∴∠CBF＝∠CFB＝30°，
∴BC＝CF＝6，
当CG⊥AD时，CG最短，此时△ACG的面积最小，
∵CG⊥AD，∠ABC＝∠DFG＝60°，
∴∠CGF＝90°，∠GCF＝30°，
∴，
∵四边形DFGE为是菱形，
∴DE＝GE＝DF＝GF＝3，AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝3，
∴AB＝AE＝3，
∵，，
∴，
∴，
∴以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值为．
故答案为：A（或B）．
t（min）
0
1
2
3
5
…
h（cm）
2
2.4
2.8
3.4
4
…
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
t（min）
0
1
2
3
5
…
h（cm）
2
2.4
2.8
3.4
4
…
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
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