高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样同步训练题

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知识精讲
知识点
1.随机模拟的定义：利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做．我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
2. 随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
3. 随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.
4.随机模拟来估计概率事件的特点：
（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．
(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
【微点拨】随机模拟解题的主要步骤：
1.构造描述概率的过程；
2.按要求产生随机变量；
3.建立估计量，从中得到问题的解.
【即学即练1】已知某工厂生产的产品的合格率为90%现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品，经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0301 6233 2616 8045 6001 3661 9597 7424 7610 4001
掘此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【即学即练3】通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952
6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________．
【即学即练4】利用计算机产生0~1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为______.
【即学即练5】家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000辆汽车的信息,时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日,发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎,则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为_______.
【即学即练6】某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
【即学即练7】假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.
【即学即练8】一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
能力拓展
考法01
随机数的产生方法
1．产生随机数的方法
（1）利用计算器或计算机软件产生随机数．
（2）构建模拟试验产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法．
3.随机数产生的方法比较
【典例1】袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色.用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为（ ）
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3B．4C．5D．6
【典例2】下列不能产生随机数的是 ( )
A．抛掷骰子试验B．抛硬币
C．计算器D．正方体的六个面上分别写有，抛掷该正方体
【典例3】要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
考法02
用随机事件的频率估计其概率：由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
【典例4】用随机模拟方法得到的频率（ ）
A．大于概率B．小于概率C．等于概率D．是概率的近似值
【典例5】数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
【典例6】种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验.在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽，“种子发芽”这个事件发生的频率是____，若用户需要该批可发芽的稻谷种100 000粒，需采购该批稻谷种子____千克(每千克约35 000粒).(结果取整数)
【典例7】容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为 ____，估计数据落在[2,10)内的概率约为____.
【典例8】某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
【典例9】（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；
（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；
（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？
考法03
简单的随机模拟试验的应用：用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，样本点的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
【典例10】袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例11】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，某部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率，先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，其余6个数字表示不下雨．产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
则这三天中恰有两天降雨的概率约为 .
【典例12】假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．
【典例13】在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
【典例14】一个学生在一次竞赛中要回答道题是这样产生的：从道物理题中随机抽取道；从道化学题中随机抽取道；从道生物题中随机抽取道.使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为，化学题的编号为，生物题的编号为.
分层提分
题组A 基础过关练
1．．抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时，产生的整数随机数中，每组中数字的个数为（ ）
A．1B．2C．10D．12
2. 某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的（ ）
A．概率为B．频率为
C．频率为8D．概率接近于8
3. 某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是eq \f(1,4)，某家长说：“要是都不会做，每道题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
4. 池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
5. 在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A．B．C．D．
6. 手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
7. 袋子中有四个小球，分别写有“海”“中”“加”“油”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“加”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“海”“中”“加”“油”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止概率为（ ）
A．B．C．D．
8. 我校某高一学生为了获得华师一附中荣誉毕业证书，在“体音美2+1+1项目”中学习游泳．他每次游泳测试达标的概率都为60%，现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数随机数，指定1，2，3，4表示未达标，5，6，7，8，9，0表示达标；再以每三个随机数为一组，代表三次测试的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
917 966 891 925 271 932 872 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 507 989
据此估计，该同学三次测试恰有两次达标的概率为（ ）
A．0．50B．0．40C．0．43D．0．48
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：显然样本容量是，即基本事件的总数为，再从这组随机数中挑选出符合条件的个数，进而可求出所求事件的频率，据此便可估计出所求事件的概率．因为这个数据中符合条件的有：共个，所以所求事件的概率，故选A．
考点：随机事件的概率．
题组B 能力提升练
1. （多选题）给出下列四个命题,其中正确的命题有（ ）
A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是
B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
2. （多选题）张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
3. （多选题）下列说法正确的是( )
A．掷一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大
B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大
C．某彩票中奖的概率是1%，买100张一定有1张中奖
D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论
4. 一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
则4年内男婴的出生频率为________（保留4位小数）；这一地区男婴出生的概率约是_______
5. 气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
6. 对某批产品进行抽样检查，数据如下，根据表中的数据，如果要从该批产品中抽到950件合格品，则大约需要抽查_________件产品.
7. 在利用整数随机数进行随机模拟试验中，到之间的每个整数出现的可能性是______．
C 培优拔尖练
1. 某种树苗的成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率.
问题
（1）用随机模拟方法估计概率时，如何用随机数体现树苗的成活率为0.9？
（2）用随机模拟方法估计概率时，如何用随机数体现种植这种树苗5棵？
2. 盒中有大小､形状相同的5只白球和2只黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:
(1)任取一球,得到白球;
(2)任取三球,都是白球.
3. 某射击运动员每次击中目标的概率都是80%．若该运动员连续射击10次，用随机模拟方法估计其恰好有5次击中目标的概率．
4. 某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
5. 甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
6. 为了估计某自然区天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
7. 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值.
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值.
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.课程标准
课标解读
了解随机模拟试验出现的意义与基本过程；
会用模拟的方法估计事件发生的概率，理解用模拟法估计概率的实际意义与实际属性.
通过本节课的学习，要求掌握随机模拟的基本过程，能在简单的实际问题中用模拟法估计事件发生的概率.
方法
抽签法
用计算器或计算机产生
优点
保证机会均等
操作简单，省时、省力
缺点
耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性
由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
分组
频数
频率
[700,900)
48
[900,1 100)
121
[1 100,1 300)
208
[1 300,1 500)
223
[1 500,1 700)
193
[1 700,1 900)
165
[1 900，＋∞)
42
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
116
785
812
730
134
452
125
689
024
169
334
217
109
361
908
284
044
147
318
027
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数m
2883
4970
6994
8892
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
475
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10