高考数学导数专题-10.不等式放缩

这是一份高考数学导数专题-10.不等式放缩，共5页。试卷主要包含了切线不等式， 高次不等式放缩，分式不等式放缩，数列不等式等内容，欢迎下载使用。
首先来梳理常见的不等式及其构造原理.
1.切线不等式：
高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式：
； 1.2 ；
将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：
①
②；
③；

2. 高次不等式放缩
2.1 ； 2.2 ；
2.3 ； 2.4 .
3.分式不等式放缩
3.1 3.2
4.数列不等式

取： 则： 取：则：
二．典例分析
例1.证明：当时，.
解析：一方面，由，得，当且仅当时取到等号.另一方面：
不等式，当且仅当时取到等号.于是可知，为函数和的公切线，且切点不同.于是，证毕.
注：此题实质和下面这道2013年高考试题同源.
练习1.（2013新课标2）已知函数
（1）设是的极值点，求,并讨论的单调性；
（2）当时，证明．
例2.已知函数的导函数为.
（1）当时，判断的零点个数，并说明理由.
（2）证明：，.
解析：本题仅就第二问的命题手法做一解析
将所证不等式转化为，令，可知，
利用导数可证得，由此可得到
，
令，只需证明当时，即可.
练习2.已知函数.
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，.
此处仅从不等式放缩角度给出第二问的原理.
一方面，由于，等号成立当且仅当，另一方面，，等号成立当且仅当.将上述两式相乘可得：

因此，只需证明：成立即可.这个不等式易证，此处不再赘述.
在不等式试题中，还经常考察与对数有关的数列不等式，下面我们通过一个例子，展示其基本手法.
例3．（2017新课标3卷）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
解：（1）的定义域为．
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点．由于，所以当且仅当时，．故．
（2）由（1）知当时，令得，从而
故，而，所以的最小值为3．
三．习题演练
习题1.（成都市2018届二诊）已知函数.
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
解析：（1）由，得恒成立，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以，即，故的取值范围是；
（2）有（1）知时，有，所以.
＝ 1 \* GB3 ①要证，可证，只需证，易证，所以； ＝ 2 \* GB3 ②要证，可证，易证.
由于，所以，所以，综上所述，当时，证明：.
习题2.（安庆市2018届联考）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，都有.
解析：（1），令，则，
当时，，所以，当时，，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）要证明，即证，
令，则， 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，所以.要证，只需再证即可.易证，当且仅当时取等号（证明略），所以，综上所述，当时，都有.
习题3.已知函数．
（1）当时,讨论的单调性；
（2）当时,,求a的取值范围；
（3）设,证明：．
解析：（1）略.
（2）设,则,
又,设,则,
若,则, 故存在,使得,总有,
故在为增函数,故时,
故在为增函数,故时,与题设矛盾.
若,则,
设,故,
故在上为减函数,故,即时成立.
所以,故总成立,即在上为减函数,所以.当时,,所以, 所以在上为减函数,所以.
综上,a的取值范围是.
（3）取,则,总有成立,令,则,
故即对任意的恒成立. 所以对任意的,有,整理得,
故
,故不等式成立.