高考数学导数专题-13.比值代换与对数均值不等式

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对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立．
证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……①
不等式①（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立.
（2）再证：……②
不等式②（）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．
注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用.
二．典例分析
例1. 已知函数（a为常数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.
（3）若有两个零点，，证明：.
解析：（1）略；
（2），
故欲证，此为对数均值不等式，易证！
（3）函数有两个零点，，不妨设，，即，要证：，需证：，只需证：，只需证：，
只需证：，只需证：，令，即证，对数均值不等式，易证！
注：已知函数，若，不妨设，则令，可得：.（*），利用（*）的结论，我们还可以证明上述例题中（2），（3），请读者自行尝试！除此之外，我们还可以证明：
若，则
总之，当你把上述比值代换弄清楚后，可以衍生出很多题目来！
例2.(2011年辽宁卷)已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明：
解：（2），由
，同除以得，
要证，只需证；
只需证；
根据对数平均不等式，故原命题得证.
例3.（2010天津卷）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果，且，证明：.
解析：（2）等价于，故可得：
，由对数均值不等式可得：，故.
小结：由上例可知，形如：或者型，对数式单独放，在构造对数均值不等式的方向上均是可行的.同时，一些指数结构通过指对转化，亦可转化为上面两个形式，利用对均不等式可得偏移.
当然，比值代换适用范围显然比对数均值不等式广，即一些难以转化为对均不等式的极值点偏移结构仍然还可以用比值代换来解决.
例4.（2021新高考1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的正实数，且，证明：.
解析：方法2. 比值代换.
令，由，整理得，
于是，欲证只需证. 下面构造函数：
，故只需证明即可，对求二阶导数可证得.
除例4之外，比值（差值）代换还可用在更为广泛的双变量问题中，它们不再是极值点偏移，此时，把握住函数结构，构造比（差）值代换的齐次特征进行转化.
例5. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，求证：．
解析：（2）若函数有两个零，点，，根据（1），可得．
不妨设，由，得
两式相减，得，解得，要证明，即证，设，则．
则，则，
所以在上为增函数，从而，即成立，
因此，成立．即证.
例7.（2021新高考1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的正实数，且，证明：.
解析：证明同证法2．以下证明．不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，即证．记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．由得，所以，
即．
例6．已知函数，其中.
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
解：（1）的取值范围是.
(2)，对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，即
所以，令，
令，所以在上递增.
因为，所以在上恒成立. 所以在上恒成立.
所以在上递增. ，所以当时，，所以的取值范围是.
三．习题演练
习题1. （2022全国甲卷）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：.
解析：（2）此时，有两个解，且.
此时，，两式相除，可得：.
于是，欲证只需证明：（对数均值不等式）.易证！
习题2. 已知函数．
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点、，证明：．
解：（1），定义域为，，，.
因此，函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）令，得，由题意可得，
两式相加得，两式相减得，
设，，要证，即证，即，令，即证.（易证，略！）