专题36 导数放缩证明不等式-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)

专题36 导数放缩证明不等式必刷100题

1．已知函数.

（1）求的最大值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：.

2．已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）（i）当时，恒成立，求正整数的最大值；

（ii）证明：．

3．已知函数．

（1）求的极大值点和极小值点；

（2）若函数，当时，证明：．

4．已知函数．

（1）求的最大值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：

5．已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

6．已知函数．

（1）当时，求的单调区间．

（2），证明：．

7．设函数，.

（1）若，求a的值

（2）证明：.

8．已知函数.

（1）判断的单调性；

（2）证明：.

9．已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）已知函数在区间上不存在极值点，求的取值范围；

（3）证明：，.

10．设函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：．

11．已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）求证：．

12．已知函数，，．

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；

（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．

13．已知函数，.

（1）若恒成立，求实数m的取值范围；

（2）求证：当时，.

14．已知函数.

（1）求函数在上的最小值；

（2）证明：当时，.

15．已知函数.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若是函数的极值点，且，求证：.

16．已知函数

（1）若，求的值；

（2）证明：对任意的正整数，.

17．已知函数f（x）=lnx-x+1.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）证明：当a≥1时，ax2+3x-lnx>0.

18．已知函数，

（1）试讨论的单调性；

（2）求证：.

19．已知函数.

（1）若，求a的值；

（2）证明：.

20．已知函数，，.

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；

（3）证明不等式.

21．已知．

（1）求证：当时，；

（2）求证：，，．

22．已知函数．

（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）求证：且．

23．已知函数，其中，．

（1）讨论函数在区间，上的单调性；

（2）求证：．

24．已知函数

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若，求实数取值的集合；

（3）当时，对任意，令，证明：.

25．已知函数（）.

（1）求函数的单调区间；

（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：（，）.

26．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）①若，证明：在上恒成立；

②证明：对任意正整数，都有成立（其中为自然对数的底数）.

27．已知函数和.

（1）当时，求方程的实根；

（2）若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求实数的取值范围；

（3）求证：，.

28．已知函数．

（1）求函数的单调区间及最值；

（2）证明：，．

29．已知函数

（1）若 对于恒成立，求的值；

（2）求证：.

30．已知函数．

（1）求函数图象在处的切线方程．

（2）证明：．

31．已知函数（，且）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，.

32．已知函数（）（其中为自然对数的底数）.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若，证明对于任意的恒成立.

33．设，已知函数在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）证明：当时，．

34． （1）已知函数（）．

①试讨论函数的单调性；

②若，为函数的两个极值点，证明：．

（2）证明：（e为自然对数的底数，，）

35．已知函数，．

（1）讨论在区间上的零点个数；

（2），当时，存在，有成立，证明：．

36．已知函数.

（1）判断函数的单调性；

（2）设，求证：当时，.

37．已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）若对任意恒有不等式成立，证明：.

38．已知函数，为的导数．

（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）当时，求证：．

39．已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程．

（2）证明：当时，对一切，都有成立．

40．已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，证明：．

41．已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）证明：当，恒成立.

42．已知函数（）.

（1）当时，证明：；

（2）若有且仅有两个零点，，求实数的取值范围，并证明.

43．已知函数

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若，求的最大值；

（3）证明：．

44．已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，证明：.

45．已知，其中，且.

（1）求与的关系；

（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（3）证明：①；

②.

46．已知函数.

（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）证明：（，且）.

47．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）当时，证明：.

48．已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围：

（3）证明：当时，恒成立.

49．已知函数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：当时，成立．

50．已知函数．

（1）讨论函数的单调性

（2）设，时，，求整数k的最大值；

（3）求证：时，．

51．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，证明：.

52．已知函数(其中为自然对数的底数).

（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；

（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.

53．已知函数，且函数与有相同的极值点.

（1）求实数的值；

（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：.

54．已知函数．

（1）若存在极值，求的取值范围．

（2）当时，证明：．

55．已知函数.

（1）若，且，求的值；

（2）证明：.

56．设．

（1）当时，求证：；

（2）证明：对一切正整数n，都有．

57．已知函数

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：.

58．已知

（1）若恒成立，求实数a的取值范围；

（2）求证：

59．已知，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：，其中，.

60．已知函数.

（1）讨论函数的零点个数；

（2）证明：.

61．已知函数，.

（1）已知恒成立，求a的值；

（2）若，求证：.

62．已知是函数的极值点.   

（1）求的值，并证明恒成立；

（2）证明：对于任意正整数，

63．已知

（1）证明：；

（2）证明：.

64．已知函数，．

（1）若函数在区间内的单调递增，求的取值范围；

（2）证明：对任意，．

65．已知，其中为自然对数的底数.

（1）当时，求函数在点处的切线的方程；

（2）当时，求函数在上的最小值；

（3）求证：.

66．已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线．

（1）求实数的值，并证明：当时，；

（2）令，且，证明：．

67．已知．

（1）当时求的极值点个数；

（2）当时，，求a的取值范围；

（3）求证：，其中．

68．已知定义在上的函数．（其中常数是自然对数的底数，）

（1）当时，求的极值；

（2）（i）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（ii）当时，证明：．

69．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意，都有．

70．已知函数.

（1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；

（2）设函数.

①若在上恰有1个零点，求实数的取值范围；

②证明：当时，.

71．已知函数.

（1）求的极值；

（2）当时，若，且，求证：.

72．设函数在点处的切线为．

（1）求，的值，并证明：；

（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

73．已知．

（1）求证：当时，在上单调递增；

（2）对于任意，证明：．

74．已知函数．

（1）求的单调区间和最值；

（2）证明：对大于1的任意自然数n，都有．

75．已知函数

（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；

（2）当时，证明：

76．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：．

77．已知函数

（1）若时，恒成立，求的取值范围；

（2）求证且；

（3）当时，方程有两个不相等的实数根，求证

78．已知函数.

（1）若时，恒成立，求的取值范围；

（2）求证：（且）；

79．（1）若，判断函数在区间内的单调性；

（2）证明：对任意，，.

80．已知函数.

（1）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数a的值；

（2）求函数的单调区间.

（3）求证：.

81．已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值，并求函数的单调区间；

（2）证明：.

82．已知函数，其中为自然对数的底数，函数.

（1）求的最大值；

（2）求证：；

（3）求证：.

83．已知函数.

（1）求的单调区间和最值；

（2）证明：对大于1的任意自然数n，都有.

84．已知函数；

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：．

85．已知函数

（1）证明：在区间存在唯一极小值点；

（2）证明：.

86．如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.

（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；

（2）求证：当时，.

87．已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）证明：．

88．已知函数，求证：

（1）函数有且仅有一个零点；

（2）.

89．已知函数，

(1)若直线与曲线相切，求的值.

(2)当时，求证：当时，恒成立.

(参考数据：，，)

90．已知函数，．

（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：．

91．已知函数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）证明：，.

92．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程

（2）若，求证：当时，.

93．已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

94．已知函数.

（1）求函数的极小值；

（2）证明：对于任意正整数，(为自然对数的底数).

95．已知：对任意，恒成立

（1）求的范围；

（2）证明：．（参考数据：，，，，）

96．已知函数，对于，恒成立.

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明：当时，.

97．设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若的最小值为，证明：.

98．已知函数.

（1）求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方；

（2）若函数，，证明：.

99．（1）证明：；

（2）证明：；

（3）比较与的大小，无需说明理由．

100．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，证明：在上恒成立；

（3）证明：当时，.