新高考数学二轮专题《导数》第14讲 导数解答题之导数中的函数不等式放缩（2份打包，解析版+原卷版）

第14讲 导数解答题之导数中的函数不等式放缩

1．已知，，其中为自然对数的底数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若在（1）的条件下，当取最大值时，求证：．

【解析】（1）解：法一：（分类讨论法）．因为，．

①当时，，所以，

故在，上单调递增，

所以，所以．

②当时，令，

若，；若，，

所以在上单减，在上单增；

所以，

解得，此时无解，

综上可得．

法二：（分离参数法）．恒成立在，上恒成立．

令，则，

所以在，上单增，

故，所以．

（2）证明：由题意可知，．

要证，

先证明：时，．

令．

当时，，所以在，上单减，

所以（1），所以．

所以要证明式成立，只需要证明．  （8分）

令，则，，

令

又在，上单调递增，则在，上，，

在，，．

所以，在，上单减，在，上单增，

所以，

所以在，上单调递增，所以（1）．

所以成立，也即是式成立．故．

2．已知函数，，且曲线在处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）求函数在，上的最小值：

（3）证明：当时，．

【解析】解：（1），

，

（1），（1），

，．

（2）由（1）得：，

，，

在上递减，在上递增．

，

在，上递增，

，

在，上的最小值为1．

（3）证明：，由（2）得过

且在处的切线方程为，

故可猜测，时，的图象恒在切线的上方，

下面证明当时，

设，，

，

，

由（2）知：在上递减，在上递增，

，（1），，

，

存在，使得，

，，时，；

，时，，

故在上递增，在，上递减，在上递增，

又（1），

当且仅当时等号成立．

故，，

令，则，

时，，时，，

在上递增，在上递减，

（1），

，

即．

，

，

即成立，

时，，

综上所述，时，．

3．已知函数，曲线在处的切线方程为．

（1）求实数、的值；

（2）且时，证明：曲线的图象恒在切线的上方；

（3）证明不等式：．

【解析】解：（1），由曲线在处的切线方程为，

由（1），（1），

解得，；

（2）由题意只需证：当且时，，

设，则，，

易知在单调递增；且（1），，

必定存在，使得，

则在单调递减，在，单调递增，其中，（1），即在单调递减，在单调递增，

（1），即当且时，成立；

所以当且时，曲线的图象在切线的上方；

（3）要证：，只需证，

由（2）知时，，

故只需证，即证，

设，则，

故在单调递减，在单调递增，

（1）；

即不等式：成立．

4．已知，曲线在，（1）处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）求在，上的最大值；

（3）证明：当时，．

【解析】解：（1），

（1），（1），

解得：，；

（2）由（1）得：，

，，

在递减，在递增，

，

在，递增，

（1）；

（3），由（2）得过，

且在处的切线方程是，

故可猜测，时，的图象恒在切线的上方，

下面证明时，，

设，，

，，

由（2）得：在递减，在递增，

，（1），，

，

存在，使得，

，，时，，

，时，，

故在递增，在，递减，在递增，

又（1），当且仅当时取“”，

故，，

由（2）得：，故，

，当且仅当时取“”，

，

即，

，

即成立，

当且仅当时“”成立．

5．设函数，已知在处有极值．

（1）求实数的值；

（2）当（其中是自然对数的底数）时，证明：；

（3）证明：对任意的，，不等式恒成立．

【解析】解：（1）由题意函数，已知在处有极值，

所以（1）解得：．

（2），

，

由，

，

函数的单调递增区间为．，单调的减区间为，

，又（e），

（e）（1）

即：

即：

；

（3），函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

当时，函数在处取得最小值，

，

由于以上各式并不都能取等号，所以把以上各式相加，变形得：

．