第3章函数与基本初等函数 第7节对数函数 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y=lgax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
1.对数函数的概念函数y=lgax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是　　　　. 
微点拨对数函数解析式y=lgax的三个特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)真数是自变量x且x>0;(3)系数为1.
2.对数函数的图象与性质
微点拨1.对数值的符号规律:lgax>0⇔(a-1)(x-1)>0,lgax<0⇔(a-1)(x-1)<0 (其中a>0,a≠1,x>0).2.在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0微拓展函数y=lga|x|与y=|lgax|(a>0,a≠1)的性质
微思考如何确定对数型函数y=klga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)图象所过的定点?
3.反函数一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为　　　　　　,它们的定义域与值域正好互换. 
微点拨1.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
2.对于函数f(x)=|lgax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),则必有mn=1.3.函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象与 (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象与y=lga(-x)(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f(x)=lg3(x-1)是对数函数.(　　)2.若lgax>1,则x>a.(　　)3.函数f(x)=lga(ax-1)(a>0,且a≠1)在其定义域上单调递增.(　　)4.函数y=| |的单调递减区间是(1,+∞).(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册习题4.4第1题改编)函数y= 的定义域为　　　　. 
6.(人教B版必修第二册习题4-2 B第6题改编)已知0当1lgn7;当0解析 当n>m>1时,函数y=lgmx和y=lgnx的图象如图①所示,当x=7时,数形结合可得lgm7>lgn7.当0lgn7.当0lgm7.
题组三连线高考7.(2021·新高考Ⅱ,7)已知a=lg52,b=lg83,c= ,则下列判断正确的是(　　)A.c解析 (方法一)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).不妨令x=1,则有f(-1)=f(1),
考点一 对数函数的图象及其应用
例1(1)(2024·浙江嘉兴模拟)若函数f(x)=lg2|a+x|的图象不经过第四象限,则实数a的取值范围为　　　　. 
解析 函数f(x)=lg2|a+x|的图象关于直线x=-a对称,其定义域为{x|x≠-a},作出函数f(x)=lg2|a+x|的大致图象(如图所示),由图象可知,要使函数f(x)=lg2|a+x|的图象不经过第四象限,则 解得a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).
(2)(2024·北京海淀模拟)不等式2lg3x-(x-1)(x-2)>0的解集为　　　　. 
[对点训练1](1)(2024·浙江杭州模拟)函数f(x)=lgn(x+m)恒过定点(-2,0),则m的值为(　　)A.5B.4C.3D.2
解析 由函数f(x)=lgn(x+m)恒过定点(-2,0),可得lgn(-2+m)=0,所以-2+m=1,解得m=3,故选C.
(2)(2024·天津模拟)函数f(x)=xln(x2+1)的图象大致为(　　)
解析 由题可知,函数f(x)的定义域为R,又f(-x)=-xln[(-x)2+1]=-xln(x2+1)=-f(x),故函数f(x)为奇函数,排除A,B,又f(1)=ln 2>0,因此排除D,故选C.
考点二 对数函数的单调性及其应用(多考向探究预测)
考向1求单调区间或参数取值范围例2(1)(2024·河北唐山模拟)函数f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)的单调递增区间是　　　　. 
解析 由 得-1变式探究1(变结论)本例(1)中,若函数解析式不变,则函数f(x)的最大值为　　　　. 
解析 由于f(x)的定义域为(-1,3),又f(x)=lg(-x2+2x+3),令u=-x2+2x+3,易知,u有最大值4,因此函数f(x)的最大值为lg 4.
变式探究2(变条件)本例(2)中,若函数解析式不变,则当函数 的值域为R时,实数a的取值范围是　　　　　　　. 
(-∞,-4]∪[0,+∞)　
解析 当函数 的值域为R时,u(x)=x2-ax-a应能取到所有正实数,所以Δ=a2+4a≥0,解得a≥0或a≤-4,故实数a的取值范围是(-∞,-4] ∪[0,+∞).
[对点训练2]若函数 在(-2,+∞)单调递减,则实数a的取值范围是　　　　. 
考向2比较对数值大小
例3(1)(2024·湖南益阳模拟)已知 ,则a,b,c的大小关系正确的是(　　)A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b
(2)设a=lg26,b=lg312,c=lg515,则(　　)A.a解析 a=lg26=1+lg23,b=lg312=1+lg34,c=lg515=1+lg53.因为lg23>lg22=1,lg34>lg33=1,0c,b>c.又因为2lg23=lg29>lg28=3,2lg34=lg3162lg34,即lg23>lg34,a>b.所以a>b>c.
规律方法比较对数值大小的方法
考向3解对数型不等式例4(1)(2024·广东河源模拟)定义在R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递
规律方法求解对数不等式的两种类型及方法
考点三 与对数函数有关的综合问题
例5(多选题)(2024·安徽蚌埠模拟)已知函数 ,则下列说法中正确的是(　　)A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于y轴对称C.函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减D.函数f(x)的值域为[ ,+∞)
[对点训练3](2024·云南昆明模拟)已知函数f(x)=ln|x-1|-ln|x+1|,若存在两个不同的实数x1,x2,使f(x1)=f(x2),则有(　　)A.x1x2=-1B.x1x2=1C.x1+x2<-2D.x1+x2>2
递减,且y>1.所以当x∈(-∞,-1)时,函数f(x)单调递增,且f(x)>0;当x∈(-1,0)时,函数f(x)单调递减,且f(x)>0.作函数f(x)的图象知,由f(x1)=f(x2),则