人教版7.1.2平面直角坐标系课时作业

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7.1-7.2 平面直角坐标系坐标方法的简单应用
知识点1：点的坐标
【典例分析01】（2021春•饶平县校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是 ．
【思路引导】分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点O和点A的距离都小于2的点．
【完整解答】解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，
可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，
故答案为：点M与点N．
【变式训练01】（2021•常州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点（0，m），（2，n），（p，1）和（3，﹣2），则下列判断正确的是（ ）
A．m＜nB．m＜﹣3C．n＜﹣2D．p＜﹣1.5
【变式训练02】（2021春•仓山区校级期中）若点M（a+3，2a﹣4）到y轴的距离是到x轴距离的2倍，则a的值为（ ）
A．或1B．C．D．或
【变式训练03】（2020秋•罗湖区校级期末）在平面直角坐标系中，将点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（﹣2，﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限．
【变式训练04】．（2021春•饶平县校级期末）解答下列各题
（1）已知点P（a﹣1，3a+6）在y轴上，求点P的坐标；
（2）已知两点A（﹣3，m），B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围．
【变式训练05】（2017春•阳信县期中）已知平面直角坐标系中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的坐标．
知识点2：规律型：点的坐标
【典例分析02】（2021秋•庆云县期中）如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（ ）
A．（）2021B．（）2022C．（）2023D．（）2024
【思路引导】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1＝OA1＝1，O2A2＝O1A2＝（）1，O3A3＝O2A3＝（）2，即点A1的纵坐标为1；点A2的纵坐标为（），点A3的纵坐标为（）2，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．
【完整解答】解：∵三角形OAA1是等边三角形，
∴OA1＝OA＝2，∠AOA1＝60°，
∴∠O1OA1＝30°．
在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1＝90°，∠O1OA1＝30°，
∴O1A1＝OA1＝1，即点A1的纵坐标为1，
同理，O2A2＝O1A2＝（）1，O3A3＝O2A3＝（）2，
即点A2的纵坐标为（）1，
点A3的纵坐标为（）2，
…
∴点A2023的纵坐标为（）2022．
故选：B．
【变式训练06】（2021•内乡县二模）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），甲和乙皆同时由A出发，在△ABC的边上做环绕运动，甲以1单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，乙以2单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则甲、乙运动过程中第2021次相遇点的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（2，1+）C．（2，2）D．（3，1）
【变式训练07】（2021秋•迎江区校级月考）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→…则2021分钟时粒子所在点的横坐标为 990 ．
【变式训练08】（2021•齐齐哈尔三模）在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，OA1＝1，∠A2OA1＝∠A3OA2＝…＝∠A2021OA2020＝30°，A2A1⊥OA1，A3A2⊥OA2，…，A2021A2020⊥OA2020．按此规律，则A2021A2020的长为 ．
【变式训练09】（2020秋•濉溪县期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A4（ ），A8（），A12（ ）．
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
【变式训练10】（2017春•南皮县期中）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．已知A（1，4），A1（2，4），A2（4，4），A3（8，4），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则点A4的坐标是 ，B4的坐标是 ．
（2）若按第一题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是 ，Bn的坐标是 ．
知识点3：坐标确定位置
【典例分析03】（2019春•沙河口区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点A（x，y），给出如下定义，若存在点B（x±a，y±a）（a为正数），称点B为点A的等距点．例如：如图，对于点A（1，1），存在点B（3，3），点C（﹣1，3），则点B、C分别为点A的等距点．
（1）若点A的坐标是（0，1），写出a＝4时，点A在第一象限的等距点坐标；
（2）若点A的等距点B的坐标是（﹣3，1），求当点A的横、纵坐标相同时的坐标；
（3）是否存在适当的a值，当将某个点A（x，y）的所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长不大于，求a的取值范围．
【思路引导】（1）根据点的等距点的定义分别写出点A的等距点的坐标，根据第一象限内点的坐标特征解答；
（2）根据点的等距点的定义列方程，计算即可；
（3）写出点A（x，y）的所有等距点的坐标，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
【完整解答】解：（1）点A的坐标是（0，1），
则点A的等距点为（0+4，1+4），（0+4，1﹣4），（0﹣4，1+4），（0﹣4，1﹣4），
即（4，5），（4，﹣3），（﹣4，5），（﹣4，﹣3），
∴a＝4时，点A在第一象限的等距点坐标为（4，5）；
（2）由题意得，﹣3+a＝1﹣a，或﹣3﹣a＝1+a，
解得，a＝2或a＝﹣2，
∵a是正数，
∴a＝2，
当点A的横、纵坐标相同时的坐标为（﹣1，﹣1）；
（3）点A（x，y）的所有等距点的坐标分别为（x+a，y+a），（x+a，y﹣a），（x﹣a，y+a），（x﹣a，y﹣a），
则所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长为|8a|，
由题意得，|8a|≤，
解得，0＜a≤．
【变式训练11】（2021秋•南召县期末）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是（ ）
A．北偏东55°，2kmB．东北方向
C．东偏北35°，2kmD．北偏东35°，2km
【变式训练12】（2021春•路南区期末）在某个电影院里，如果用（2，15）表示2排15号，那么图框中的座次可以表示为（ ）
A．（2，15）B．（2，5）C．（5，9）D．（9，5）
【变式训练13】（2021春•西秀区期末）在国家体育馆“鸟巢”一侧的座位上，6排3号记为（6，3），则5排8号记为 ．
【变式训练14】（2020春•无棣县期末）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为 ．
【变式训练15】（2019春•沙河市期末）如图，已知火车站的坐标为（2，2），文化馆的坐标为（﹣1，3）．
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
（2）写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场A，图书馆B，公园C的坐标分别为（0，5），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），请在图中标出A，B，C的位置．
知识点4：坐标与图形性质
【典例分析04】（2021秋•姑苏区期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，点A在第一象限，且AB＝AC，连接AO，若∠AOC＝60°，AO＝6，则点C的坐标为 ．
【思路引导】过点A作AD⊥x轴于点D，在Rt△AOD中利用直角三角形的边角关系可求OD，利用点B的坐标为（﹣3，0），可得线段OB，则线段BD可求；利用等腰三角形的三线合一可求CD＝BD，则OC可得，结论可求．
【完整解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图，
在Rt△AOD中，
∵cs∠AOD＝，
∴OD＝OA×＝3．
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3．
∴BD＝OD+OB＝6．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝6．
∴OC＝OD+CD＝9．
∴C（9，0）．
故答案为：（9，0）．
【变式训练16】（2021秋•雁塔区校级期中）平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（2，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（2，﹣1）
【变式训练17】（2021春•九龙坡区期中）平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，2），B（x，y），且AB∥x轴，若点B到y轴的距离是到x轴距离的2倍，则点B的坐标为（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）B．（﹣4，2）或（﹣4，﹣2）
C．（4，2）或（4，﹣2）D．（﹣4，﹣2）或（4，﹣2）
【变式训练18】（2021春•椒江区期末）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为2n（n为正整数）记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为12时，m的值为 ，点B的横坐标为2022时，m的值为 ．
【变式训练19】（2021春•黄山期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），
①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 E、F ；
②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【变式训练20】（2021春•饶平县校级期末）如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1＝∠D，请写出∠ACB和∠BED数量关系以及证明．
知识点5：两点间的距离公式
【典例分析05】（2016秋•萧山区校级月考）在平面直角坐标系中，
（1）已知点P（a﹣1，3a+6）在y轴上，求点P的坐标；
（2）已知两点A（﹣3，m），B（n，4），若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围；
（3）在（1）（2）的条件下，如果线段AB的长度是5，求以P、A、B为顶点的三角形的面积S．
【思路引导】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；
（2）根据第一象限内点的横坐标是正数，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等解答；
（3）先确定出点P到AB的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【完整解答】解：（1）∵点P（a﹣1，3a+6）在y轴上，
∴a﹣1＝0，
解得a＝1，
所以，3a+6＝3×1+6＝9，
故P（0，9）；
（2）∵AB∥x轴，
∴m＝4，
∵点B在第一象限，
∴n＞0，
∴m＝4，n＞0；
（3）∵AB＝5，A、B的纵坐标都为4，
∴点P到AB的距离为9﹣4＝5，
∴以P、A、B为顶点的三角形的面积S＝×5×5＝12.5．
【变式训练21】（2019春•东湖区校级期末）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．已知动点P（x，y），定点Q（2，1）满足d（P，Q）＝2，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（ ）个
A．4B．6C．8D．10
【变式训练22】（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为 ．
【变式训练23】（2018春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，点A（﹣m，5）和点B（﹣m，﹣3）之间的距离为 ．
【变式训练24】（2015秋•灌云县校级月考）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（﹣2，3）、B（4，﹣5），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣2，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），请判定此三角形的形状，并说明理由．
（4）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，3）、B（0，1）、C（2，2），请判定此三角形的形状，并说明理由．
知识点6：坐标与图形变化-平移
【典例分析06】（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，把点（2，﹣1）向左平移1个单位后所得的点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（2，﹣2）C．（1，﹣1）D．（3，﹣1）
【思路引导】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【完整解答】解：平移后的坐标为（2﹣1，﹣1），即坐标为（1，﹣1），
故选：C．
【变式训练25】（2021秋•方城县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0），（0，1），将线段AB平移至A'B'，那么a+b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练26】（2021春•西宁期末）在平面直角坐标系中，将点A（0，﹣1）沿y轴平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【变式训练27】（2021秋•泰宁县期中）将点P（﹣3，y）向下平移3个单位后到Q（﹣3，﹣2），则y＝ ．
【变式训练28】（2021春•碑林区校级月考）如图，直线l1：y＝x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1平移到直线l2，直线l2与x轴交于点C，点A与点C，点B与点D分别是平移前后的对应点，若线段AB在平移过程中扫过的图形面积为20，求点D的坐标．
【变式训练29】（2021春•饶平县校级期末）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）写出点A、B的坐标：
A（ ， ）、B（ ， ）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（ ， ）、B′（ ， ）、C′（ ， ）．
（3）△ABC的面积为 ．