2024届新高考数学（理科）精英模拟卷 【全国卷】

这是一份2024届新高考数学（理科）精英模拟卷 【全国卷】，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．若，则( )
A.B.C.D.
3．已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则曲线在处的切线方程是( )
A.B.C.D.
4．设有下面四个命题：，；，；，；，.其中真命题为( )
A.B.C.D.
5．已知是等差数列的前n项和，若，则( )
A.2B.3C.4D.6
6．设向量a，b满足，，a与b的夹角为，则( )
A.B.C.D.3
7．已知函数图象的一个对称中心为，则为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移1个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移1个单位长度D.向右平移个单位长度
8．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有( )
A.54种
B.240种
C.150种
D.60种
9．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的表面积为( )
A.B.C.D.
10．已知圆，为圆C的动弦，且满足，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是( )
A.B.C.D.
11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M.若与C的焦距的比值为，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
12．如图,已知菱形ABCD中,,,E为边BC的中点,将沿AE翻折成（点位于平面ABCD上方）,连接和,F为的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是( )

①平面平面
②与的夹角为定值
③三棱锥体积最大值为
④点F的轨迹的长度为
A.①②B.①②③C.①②④D.②③④
二、填空题
13．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为__________.
14．设x,y满足约束条件,则的最小值为________.
15．已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是___________.
16．已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________.
三、解答题
17．已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求C；
（2）记面积为S，求的取值范围.
18．如图，三棱锥中，，，E为BC的中点.
（1）证明：；
（2）点F满足，求二面角的正弦值.
19．已知点F是抛物线的焦点,点在C上,且.
（1）求C的方程;
（2）过点F作两条互相垂直的直线,,交C于A,B两点,交C于M,N两点.求证:为定值.
20．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.
（1）当时，
①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
②甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲、乙两人各答2道题，若甲答对题的个数比乙答对题的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
21．已知函数，其中实数.
（1）当时，求函数的单调性；
（2）若函数有唯一零点，求实数a的值.
22．在平面直角坐标系中，已知直线，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线C和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线C分别交于O，A两点，直线与曲线C分别交于O，B两点，求的面积.
23．已知函数,.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）当时,若存在,使得成立,求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以,
又因为全集,
所以.
故选:D.
2．答案：D
解析：，所以，故选D.
3．答案：B
解析：由题得，的最小值.，，曲线在处的切线方程是，即.故选B.
4．答案：C
解析：，，所以命题为假命题；当时，，所以命题为假命题；当时，均为非负整数，所以命题为真命题；因为，所以命题为假命题.故选C.
5．答案：B
解析：由题意，，解得，设等差数列的公差为，
则.
故选：B.
6．答案：B
解析：，①.又，②.由①②得，，.
7．答案：A
解析：因为函数图象的一个对称中心为，所以，，所以，，又，所以，所以.因为，所以为了得到的图象，只需将函数的图象向左平移1个单位长度.
8．答案：C
解析：根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况：
①三组人数为1、1、3，此时有种方法；
②三组人数为2、2、1，此时有种方法.所以不同的报名方法有种.
9．答案：D
解析：由多面体的三视图得到多面体的直观图如图所示：
它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成.
其中三角形的底，高为，所以其面积为；
梯形与梯形全等，上底，下底，高为，所以其面积为；
三角形ABC的底，高为3，所以其面积为；
底面为矩形，，，其面积为.所以该多面体的表面积.
故选D.
10．答案：A
解析：由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为，G为弦MN的中点，可得，
又由两动点P，Q在直线上，且，
设PQ的中点，当M，N在圆C上运动时，且恒为锐角，
可得以C为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，以2为半径的圆相外离，
则，即，解得或，
所以线段PQ中点的横坐标取值范围是.故选A.
11．答案：D
解析：设双曲线的半焦距为c，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为2c，故其方程为，令，则，结合A在y轴正半轴上，得，令，则或，故.故，故直线.设，由题意知，故，整理得，故，故，所以，
故，解得或，又因为，则，则，.故选D.
12．答案：C
解析：对于①：由,,E为边BC的中点知且,
易知,,而,EC,面,
故面,又面,所以面面,故①正确;
对于②：若是的中点,又F为的中点,则且,
而且,所以且,即为平行四边形,
故,所以与的夹角为或其补角,
若G为AB中点,即,由①分析易知,
故与CF的夹角为,故②正确;
对于③：由上分析知：翻折过程中当面ABCD时,最大,
此时,故③错误;
对于④：由②分析知：且,故F的轨迹与G到的轨迹相同,
由①知：B到的轨迹为以E为圆心,为半径的半圆,而G为AB中点,
故G到的轨迹为以AE中点为圆心,为半径的半圆,所以F的轨迹长度为,故④正确.
故选：C.
13．答案：
解析：随机抛掷一枚骰子共有6种不同的结果，其中事件A“不大于4的偶数点出现”包括出现2，4两种结果，，事件B“小于5的点数出现”的对立事件为，，，且事件A和事件是互斥件，.故答案为.
14．答案：2
解析：由约束条件作出可行域,如图阴影部分,
结合图可知,平移直线,当平移到经过点A时,直线在y轴上的截距最小,
即取得最小值,
联立,得,即,
将的坐标代入直线,即得的最小值为2,
故答案为:2
15．答案：
解析：因为函数对任意给定的实数，，恒成立，即恒成立，所以函数在R上为减函数.又函数是R上的奇函数，所以，则由不等式，得或即或解得.所以原不等式的解集为.
16．答案：
解析：因为函数，所以当时，.因为数列是正项等比数列，且，所以，所以1，同理可得，令，则，所以，故.
17．答案：（1）60°
（2）
解析：（1），由正弦定理得，，
又，，，，；
（2）
，其中，，
锐角，，从而得；
综上，，.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连接AE，DE，，E为BC的中点，.
又，，
与均为等边三角形，
，.
又，平面，平面，
平面，
又平面，.
（2）设，则，，，.
又，，平面，平面，平面.
以E为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，，
.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则.
设二面角的平面角为，
则.
又，
，
二面角的正弦值为.
19．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）抛物线C的准线方程为,
依题意,,解得或,而,则,
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）知,直线,的斜率均存在,
不妨设直线的方程为,,,
由消去y得,显然,
则,,
因此,
由,得直线的斜率为,同理得,
所以.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）①记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲自己答对了某道题”，则，，所以.
②随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，
由①知，
则，
所以，则随机变量X的概率分布为
故.
（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，，1，2，
其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，
则，，，，
所以甲答对题的个数比乙答对题的个数多的概率
，
所以，
即甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值为.
21．答案：（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
解析：（1），，
.
令，
，
在上单调递增，即在上单调递增.
，令，则，
令，则，在上单调递减，在上单调递增.
（2），
，令，
则，
在上单调递增，即在上单调递增.
设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，，即，
，
又，
存在唯一的，使得，即①.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，.
又函数有唯一的零点，
，即②.
由①②得，即.
令，
则.
，
函数在上单调递减，在上单调递增，而，则.
代入①得.综上，.
22．答案：（1），
（2）
解析：（1）直线过原点且倾斜角为，
直线的极坐标方程为.
曲线C的参数方程为（为参数），
曲线C的普通方程为，
曲线C的极坐标方程为.
（2）把代入，得，，
把代入，得，，即，
.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,
则由,得;由,得无解;
由,得.
所以不等式的解集为;
（2）当时,,则
若存在,使成立,则,,
所以a的取值范围为.
X
0
1
2
3
4
P