2024届高考数学挑战模拟卷 【全国卷（理科）】(含答案)

这是一份2024届高考数学挑战模拟卷 【全国卷（理科）】(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数（其中i为虚数单位），则( )
A.B.2C.D.5
3．如图是甲,乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图,则下列说法错误的是( )
A.甲的数学成绩最后3次逐渐升高
B.甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数
C.甲有5次考试成绩比乙高
D.甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差
4．记为等差数列的前n项和,若,则( )
A.28B.30C.32D.36
5．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于( )
A.B.C.D.
6．从2，3，4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大于的概率为( )
A.B.C.D.
7．若，则( )
A.B.C.或-1D.或1
8．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，直三棱柱称为“堑堵”；再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为“阳马”，这个三棱锥称为“鳖臑”.某“阳马”的三视图如图所示，则它最长侧棱的值是( )
A.1B.2C.D.
9．定义：若，则称是函数的k倍伸缩仿周期函数.设，且是的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的，都有，则实数m的最大值为( )
A.12B.C.D.
10．在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
11．若，，，则( )
A.B.C.D.
12．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，设数列的前n项和为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13．函数的图象在点处的切线方程是____________.
14．已知向量，，，，则___________.
15．过双曲线右焦点F作直线l,且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,垂足为A,直线l与另一条渐近线交于点B.且点A,B位于x轴的异侧,O为坐标原点,若的内切圆的半径为,则双曲线C的离心率为____________.
16．已知函数有正零点,则正实数a的取值范围为_____________．
三、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
（1）求的面积；
（2）证明：是钝角三角形.
18．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，，，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩x（单位：分）和物理成绩y（单位：分），绘制成如下散点图：
根据散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B.经调查得知，A考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据进行处理，得到一些统计量的值：
，，，，，
其中，分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，.y与x的相关系数.
（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为，试判断与r的大小关系，并说明理由；
（2）求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），估计B考生的物理成绩是多少（精确到个位）；
（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩.以剔除异常数据后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试求该地区5000名考生中，物理成绩在区间内的人数Z的数学期望.（精确到个位）
附：①线性回归方程中，，.
②若，则，.
③.
20．在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被C截得的线段长为.
(1)求C的方程;
(2)已知直线与圆相切,且与C相交于M,N两点,F为C的右焦点,求的周长L的取值范围.
21．已知函数,.
（1）讨论的单调性;
（2）若函数有两个零点,.
（i）求m的取值范围;
（ii）求证：.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于O,A两点,与曲线交于O,B两点,当取得最大值时,求直线l的直角坐标方程.
23．已知函数.
（1）解不等式;
（2）设函数,若函数与的图象无公共点,求参数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由,,则,故选B.
2．答案：A
解析：，则.
故选：A.
3．答案：C
解析：对于A,由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高,故A说法正确;
对于B,甲的数学成绩在130分以上的次数为6次,乙的数学成绩在130分以上的次数为5次,故B说法正确;
对于C,甲有7次考试成绩比乙高,故C的说法错误;
对于D,由折线图可知,甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同,甲的最低成绩为120分,
乙的最低成绩为110分,因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差,D说法正确,
故选:C
4．答案：D
解析：因为为等差数列的前n项和,,
所以.
故选:D.
5．答案：D
解析：直线l的斜率存在，设为k，直线l过点，得直线l的方程为，即.由直线l与圆相切，得，解得，不妨取，设，，易知，联立消去y整理得，则，，则，故选D.
6．答案：B
解析：从2，3，4三个数中任选2个，作为圆柱的高和底面半径，有，，，，，，共6种情况，圆柱的体积，即，满足条件的有，，，3种情况，所以此圆柱的体积大于的概率.故选B.
7．答案：A
解析：因为，
所以解得，所以.
8．答案：D
解析：设“阳马”为四棱锥，如图所示.由三视图得，，，平面BCDE，四边形BCDE是矩形.因为平面BCDE，所以，，则，，.故最长的侧棱长为.故选D.
9．答案：B
解析：，
当时，，故，
故当时，，，
，故，
当时，恒成立；
当时，，，即，
故，即，即实数m的最大值为.
故选：B.
10．答案：C
解析：令，O分别是正四棱台的上、下底面的中心，连接，，，上底面外接圆半径，下底面外接圆半径，则棱台的高为.设外接球的半径为R，显然球心M在所在的直线上.当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图①，设，，则，由，得，解得，舍去，则棱台两底面在球心同侧，球心M在线段的延长线上，如图②.设，，则，由，得，解得，所以，所以该正四棱台的外接球的体积为.故选C.
11．答案：D
解析：因为，，，所以令，则，，.，当时，，所以函数在上单调递减.又，所以，即.故选D.
12．答案：C
解析：设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，解得或（舍去），所以，从而，故，，两式相减，得，所以，所以
13．答案：
解析：,,所以,故所求切线方程为,即.
14．答案：5
解析：，，解得，.
15．答案：.
解析：如图所示：
设A在第一象限,
由题意可知,
其中d为点到渐近线的距离,,
所以,
设的内切圆的圆心为M,
则M在的平分线Ox上,
过M分别作于N,于T,
又因为于A,
所以四边形MTAN为正方形,
所以,
所以,
又因为,
所以,,
所以,
所以,
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：由已知可得,,定义域为.
因为等价于.
令,则在R上恒成立,
所以,在R上单调递增.
由可知,,
根据的单调性可知,,所以有.
因为,所以.
令,,则.
由可得,.
由可得,,所以在上单调递增;
由可得,,所以在上单调递减.
所以,在处取得唯一极小值,也是最小值,
所以,,所以.
故答案为：.
17．答案：（1）2
（2）证明见解析
解析：（1）在中，，
由正弦定理可得，
即.
，，，
，
的面积为.
（2）证明：由（1）知，
.
又，
或
当，，时，，
为钝角，此时是钝角三角形；
当，，时，同理可得B为钝角，此时是钝角三角形.
综上，是钝角三角形.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在直四棱柱中，底面，底面ABCD，
.
又，，平面，平面.
平面，.
易知四边形是正方形，.
又，平面，平面.
（2），，两两垂直，以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
易知平面的一个法向量为，
，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19．答案：（1），理由见解析
（2）81分
（3）3415
解析：（1）.
理由如下：由题图可知，y与x呈正相关，
①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度.
②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，
③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，
④42个数据点更贴近其回归直线，
⑤44个数据点与其回归直线更离散.
（以上理由任选其一作答即可）
（2）设y关于x的线性回归方程为.
由题中数据可得，，
所以.
又因为，
所以，
，
所以.
将代入，得，
所以估计B考生的物理成绩为81分.
（3），，
所以，又因为，
所以，
所以.
所以，
故该地区5000名考生中，物理成绩在区间内的人数Z的数学期望为3415.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意可知,点在椭圆上,
则有,解得.
所以C的方程为.
（2）由题意知,,设,,
由与圆相切,得,即.
由消去y并整理得.
该方程的判别式,
由韦达定理得.
于是
,
而.
同理,.
所以
.
显然,下面对的符号进行讨论：
①当时,.（*）
令,则且.
代入（*）化简得.
因为,所以,解得,当且仅当时取等号.
②当时,.
综上,周长L的取值范围为.
21．答案：（1）当时,在上单调递增;
当时,在内单调递减,在单调递增.
（2）（i）（ii）见解析
解析：（1）函数,
当时,则在上单调递增;
当时,令,得.
当时,单调递减,
当时,单调递增;
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在内单调递减,在单调递增.
（2）（i）由题意可得：,
令,整理可得,
设,则,
且,可知,
令,解得;令,解得;
则在内单调递减,在内单调递增,
由题意可知：有两个零点,则,解得,
若,令,则,
则,
可知在内有且仅有一个零点;
且当x趋近于趋近于,可知内有且仅有一个零点;
即,符合题意,综上所述：m的取值范围为.
（ii）由（i）可知：令,,
则,
令,,
则,
因为,则,
可知在内单调递增,则,
可得在内恒成立,可知在内单调递增,
则,即,,
不妨设,则,
且,在内单调递减,可得,即,证毕.
22．答案：（1）的极坐标方程:,的直角坐标方程:
（2）
解析：（1）曲线的参数方程为(为参数)消去参数,
可得直角坐标方程:,
又由,可得曲线的极坐标方程为,
由可得,则的直角坐标方程:；
（2）联立方程组,可得,
联立方程组,可得,
所以
当时,取得最大值,
此时直线l的直角坐标方程为.
23．答案：（1）或
（2）
解析：（1）,
若,即或或,
解之得或,
则原不等式的解集为或;
（2）函数,
若函数与的图象无公共点,即在上无解,
可得:无解,即在上无解,
即,,
因为函数,
当时,,
所以,即m的取值范围为.