（理科）（解析版）-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）

这是一份（理科）（解析版）-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合和集合，根据并集的定义求解即可.
【详解】，，
，，
.
故选：C.
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】应用复数模的求法、乘方和除法运算化简，即可确定对应点所在象限.
【详解】由题设，对应点为在第四象限.
故选：D
3．下列结论正确的有（ ）
①是的充要条件
②的最小值为2
③命题“，”的否定是“，”
④关于x的不等式有解，实数a的范围是或.
A．①②③④B．①③④C．②③④D．③④
【答案】B
【分析】由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得求参数范围判断④.
【详解】①由，即同号，故；由，即同号，故，对；
②由，
显然，即不成立，最小值不为2，错；
③由特称命题的否定为全称命题,则，，对；
④由题设，可得或，对.
故选：B
4．（河北省石家庄市2023届高三三模数学试题）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数奇偶性和单调性的定义进行辨析即可.
【详解】由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，
由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增，
选项中四个函数定义域均为，，都有
对于A，，故为奇函数，满足性质①，
∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②；
对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；
对于C，，故为奇函数，满足性质①，
令，，解得，，
∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；
对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②.
故选：A.
5．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AM与CN所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令，利用向量法求线线角即可.
【详解】直三棱柱中，，
如图，以为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
令，则，
，
.
令与所成角为.
则.
故选：C.

6．2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（ ）
A．8B．12C．14D．20
【答案】C
【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.
【详解】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：
①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有种，
②两所敬老院各安排两名志愿者，则有种，
故共有种方案，
故选：C
7．某同学将函数的部分图象进行平移后，得到（其中）的部分图象如图所示，则这种平移可能是（ ）

A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
【答案】D
【分析】根据图象的特点及三角函数图象变换计算验证即可.
【详解】若向左平移个长度单位得，
显然当时，，与图象不符，即A错误；
若向右平移个长度单位得，
显然当时，，与图象不符，即B错误；
若向左平移个长度单位得，
显然当时，，与图象不符，即C错误；
若向右平移个长度单位得，
显然当时，，当时，，
与图象相符，即D错误；
故选：D
8．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】队伍进入决赛是指通过初赛和复赛阶段，又每个阶段至少一人通过则队伍通过，三人均未通过则该阶段队伍未通过.结合对立事件的概率与相互独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】设某个阶段甲、乙、丙三人通过比赛分别记为事件，
由题意知，，
设队伍通过某个阶段为事件，
至少一人通过该阶段比赛则队伍通过，则其对立事件为三人均未通过该阶段比赛，
即，且三人每次通过与否互不影响，
则
.
设这支队伍进入决赛为事件，则队伍在初赛和复赛两个阶段都通过，
由题意知，队伍通过每个阶段的概率都相等，
则.
故选：B.
9．我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设得利用向量夹角公式求得，根据新定义及正余弦齐次运算可求目标函数值.
【详解】由题意得
则，
又，
∴，
∴，，
，
故选：
10．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性可说明C错误；判断函数的单调性结合选项中图象可判断D错误；判断函数的周期性可判断A，B。
【详解】由于，，
故，
即为奇函数，图像关于原点对称，故C中图象错误；
令，由于在上单调递增，
故在上单调递增，同理推得在上单调递增，
故在上单调递增，D错误；
由于的最小正周期依次为，
故的最小正周期为，
故在上的图象和在上的图像平移后应该重合，
B中图象不满足，故B错误，
只有A中图象符合函数满足的上述性质，A正确，
故选：A
11．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】连接、、，则，，设点，则，分析可得，可得出的取值范围，由可求得的取值范围.
【详解】连接、、，则，，
由切线长定理可知，，
又因为，，所以，，
所以，，则，
设点，则，且，
所以，，
所以，，故，
故选：B.
12．，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数单调性比较大小即得.
【详解】依题意，，
令，
求导得，
因此函数在上单调递增，，即，则；
令，求导得，
因此函数在上单调递增，，即，则，
所以.
故选：B
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线，实数 ．
【答案】
【分析】利用三点共线，得到向量的线性关系，列出相应的方程组，解出的值，即得答案.
【详解】，，
，
，，三点共线，
存在，使得，
，
,
,
是平面内两个不共线的非零向量，
，解得，
实数的值为.
故答案为：.
14．双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为 .
【答案】
【分析】由双曲线方程可得焦点坐标和渐近线方程，进而为等腰直角三角形，进而可得面积.
【详解】由双曲线，
则，渐近线方程为，
所以，
又，
所以是以为底的等腰直角三角形，
所以，
所以，
故答案为：.
15．在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得．
【详解】中，由余弦定理得，
解得（舍去），
是角平分线，则，
所以，，
又由余弦定理得：
，
，
而，
因此，
，
，．
故答案为：．

16．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个结论：
①；
②直线与平面的夹角不变；
③三棱锥的体积不变；
④点到，，，四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为
【答案】①③④
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①②④的正确性，根据锥体体积公式判断③的正确性，
【详解】对于③，，的面积为定值，
到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积不变，所以③正确.
以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的边长为，设，，
，，
,
，所以，所以①正确.
，平面的一个法向量为，
设直线与平面的夹角为，
则不是定值，所以②错误.
，，
，，
，
所以点到，，，四点的距离相等，所以④正确.
故答案为：①③④
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别是否有关，随机抽取70名学生，得到如下的列联表：
附：．
(1)根据表中提供的数据，判断是否有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关？
(2)在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中男生人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据卡方的计算公式即可与临界值比较作答，
（2）根据超几何分布的概率计算，求解概率，即可求解分布列.
【详解】（1）依题意得列联表：
所以，（4分）
所以有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关．（6分）
（2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，女生与男生的人数的比值为，所以在倾向“坐标系与参数方程”的学生抽取的7人中男生有3人．
所以的取值为，
则．（9分）
故的分布列为：
所以．（12分）
18．（12分）从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知为数列的前项和，，，且________.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得数列为等比数列，公比为，进而结合等差中项、等比中项、等比数列的前项和公式求解即可；
（2）分为奇数和为偶数两种情况结合等差、等比数列的前项和公式分别进行求和，进而求解.
【详解】（1）由，，
当时，，
两式相减得，即，
所以数列为等比数列，公比为.（3分）
选①，由，，成等差数列，
可得，即，
解得，所以.（6分）
选②，由，，成等比数列，
得，即，
解得，所以.（6分）
选③，由，得，
所以.（6分）
（2）当为奇数时，，
记前项和中的奇数项之和为，
则.（9分）
当为偶数时，，
记前项和中的偶数项之和为，
则，
故.（12分）
19．（12分）如图，在三棱柱中，，，，，且平面．

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得平面，从而即可证明；
（2）建立以为原点，分别以，，所在直线为，，轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为，四边形是平行四边形，
所以四边形是菱形，所以．（2分）
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．（5分）
（2）解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，

所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，，
所以，（9分）
设二面角的大小为，
因为，
所以，
所以二面角的正弦值为．（12分）
20．（12分）已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得，再表示出点到直线的距离，由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（3分）
（2）
设，联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，所以
，
即，则，（6分）
， ，
把韦达定理代入可得：，
整理得，（9分）
又，
而点到直线的距离，
所以，
把代入，则，可得是定值1．（12分）
21．（12分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）构造函数多次求导，通过分类讨论逐次不同阶段研究导函数的符号与函数的单调性关系，最终还原为原函数的单调性分析，验证在处函数的极大（小）值的情况即可.
【详解】（1）由，
则，
所以，即切线斜率为，
又，则切点为.
切线方程为，
所以曲线在点处的切线方程为．（3分）
（2）根据题意得，，
则．
由0为的极小值点，可知．
设，
则．（5分）
（ⅰ）当时，，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以0是的极小值点，符合题意．（7分）
（ⅱ）当时，设，
则，
所以在上单调递增，，
，
所以存在，使得，
所以当时，，单调递减，即单调递减；
当时，，单调递增，即单调递增.
又，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以0是的极小值点，符合题意．（9分）
（ⅲ）当时，，且在上单调递增，
所以当时，，单调递减，即单调递减；
当时，，单调递增，即单调递增.
又，所以，单调递增，不符合题意．
（ⅳ）当时，，在上单调递增，，
所以存在，使得，
所以当时，，单调递减，又，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以0是的极大值点，不符合题意．
综上，的取值范围是．（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．
(1)将的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线与曲线分别交于两点（异于极点），点，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；
（2）分别求得的极坐标方程，联立射线，从而得到，，进而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为曲线的参数方程为（t为参数），
则，，
两式相减，得的普通方程为：；
曲线的参数方程为（为参数），
所以的普通方程为：.（5分）
（2）因为，
所以曲线的极坐标方程为，即，
联立，得，
所以射线与曲线交于A，（7分）
而的普通方程，可化为，
所以曲线的极坐标方程为，即，
联立，得，
所以射线与曲线交于B，
又点，所以，
则．（10分）
选修4-5：不等式选讲
23．已知a、b均为正数，设.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值为6，求的值，并求的最小值.
【答案】(1)；
(2)1
【分析】（1）根据经验值性质分类讨论去掉绝对值符号求解；
（2）同经验值性质求最小值得，再利用“1”的代换求最小值.
【详解】（1）由已知不等式为，
时，不等式为，，所以；
时，不等式为，，不成立；
时，不等式为，，所以，
综上，不等式的解集为；（5分）
（2），即的最小值是，
所以，又，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
所以所求最小值为1. （10分）倾向“坐标系与参数方程”
倾向“不等式选讲”
男生
15
25
女生
20
10
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
倾向“坐标系与参数方程”
倾向“不等式选讲”
合计
男生
15
25
40
女生
20
10
30
合计
35
35
70
0
1
2
3