2024届新高考数学精英模拟卷 【新结构版】

这是一份2024届新高考数学精英模拟卷 【新结构版】，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知向量，，且，则( )
A.B.C.D.8
2．已知复数z满足,则复数z的虚部为( )
A.iB.1C.D.
3．下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的统计表：
由上表数据求得线性回归方程，若规定：维修费用y不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( )
A.8B.9C.10D.11
4．规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：
①；
②；
③若整数a，b属于同一“家族”，则；
④若，则整数a，b属于同一“家族”.
其中，正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
5．已知正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，若在上有两个不同的根，（），则的值为( )
A.B.C.D.
7．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．已知圆与圆交于A，B两点，且四边形OACB的面积为3r，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则的值可能为( )
A.B.C.D.
10．已知，下列不等式恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
11．已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是( )
A.
B.若，则直线MN恒过定点
C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为
D.若，则直线MN的斜率为
三、填空题
12．已知，则___________.
13．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______.
14．已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
16．如图，在四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
（1）证明：平面平面ACD；
（2）设，，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
17．以双曲线的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点.
（1）求C的方程.
（2）在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A，B两点时，直线，的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.
18．现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同.第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n次取出的球是红球的概率为.
（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；
（2）求的解析式.
19．设是定义在R上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求m的取值范围；
（3）设p，，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，得，解得，所以，所以.
2．答案：D
解析：设复数,,
又,可得,解得,
所以复数z的虚部为.
故选:D.
3．答案：C
解析：，，因为过点，所以，即.所以回归方程为.由题意得，解得.又因为，所以该设备使用年限的最大值约为10.故选C.
4．答案：C
解析：因为，所以，故①正确；因为，所以，故②错误；若a与b属于同一“家族”，则，，(其中)，故③正确；若，设，则，不妨令，，则(，)，所以a与b属于同一“家族”，故④正确.选C.
5．答案：C
解析：由题意得对任意实数a，b以及任意实数x恒成立.由已知条件及基本不等式，得，当且仅当，即，时等号成立.又，所以，则.因此实数m的取值范围是.故选C.
6．答案：D
解析：设的最小正周期为T，由图象可知，，所以，
则，于是，又的图象过点，
所以，，所以，
又，则，，则，由，
得，则，
又当时，，所以，得，
则，，
结合知，所以，所以.
故选：D.
7．答案：B
解析：如图，因为是边长为6的正三角形，则其外接圆的半径，解得，
又，
设圆柱的母线长为l，则，解得，
所以圆柱的外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故选：B.
8．答案：C
解析：如图所示，
圆C的标准方程为，圆心为，半径为3，由题意可知，，，，所以，所以，所以.设，则M为AB的中点，故四边形OACB的面积，则，故，所以，所以，又因为，所以，解得，因此，.故选C.
9．答案：CD
解析：因为为第一象限角，所以，，所以，.又，所以是第二象限角，所以.因为为第三象限角，所以，，所以，，又，所以是第二象限角或第三象限角.
当是第二象限角时，，此时
；
当是第三象限角时，，此时.
10．答案：AB
解析：令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即，A正确；令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即，B正确；令，，则，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此当时，与的大小不能确定，C错误；当时，，，D错误.
11．答案：AD
解析：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；设，，因为直线MN斜率必存在，设直线MN的方程为，代入得，，，，所以，解得，所以直线MN恒过定点，故B选项错误；外接圆圆心的纵坐标为，外接圆半径为，故C选项错误；
因为，所以直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，如图，过M，N分别向准线作垂线MA，NB，过N向MA作垂线NC，设，则，，，，，，，故D选项正确.故选AD.
一题多解：对于D选项，因为，，所以，.又，，解得，.不妨设，由，得，，则，，.根据对称性知，故D正确.
12．答案：256
解析：的展开式的通项为，
所以，，，，，
则，
令，得.
13．答案：
解析：由，得A为线段的中点，且点P在椭圆外，所以，
则，又，所以为线段的中点，所以，
设，则，又，所以，
由椭圆的定义可知：，得，
如图，延长交椭圆C于点Q，连接，则由椭圆的对称性可知，
，又，故，
由余弦定理可得：，
在中，，由余弦定理可得，
即，
所以椭圆C的离心率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由，得，
所以.设，
则.
设，则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得，即在上单调递减，
又，，，
所以当时，，即，所以.
当，2时，，即，所以.综上，，
所以，即，所以的取值范围为.
15．答案：（1）见解析
（2）证明见解析
解析：（1）由，得，
①当时，，在R上单调递减；
②当时，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
（2）证明：由（1）知，当时，，
要证当时，，可证，
因为，即证.
设，则，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，即，
所以当时，.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在中，，E为AC的中点，
.
在与中，
，，，
，，
又E为AC的中点，，
又，，平面，平面BED，
又平面ACD，
平面平面.
（2）由（1）知是等腰三角形，又，
为等边三角形，，，
在等腰中，，又，，
以E为原点，EA，EB，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接EF，
则，，，，
，，
设平面ABD的法向量为，
则令，得，
易知的面积最小时，，
在中，由知，
，，
，，
，易得，
设CF与平面ABD所成的角为，
则，
与平面ABD所成的角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）存在满足条件的定点
解析：（1）双曲线C的渐近线方程为，
圆F与直线切于点，所以代入得，①
设，直线FQ有斜率，则，即，②
又，③
由①②③解得，，，
所以双曲线C的方程为.
（2）假设存在满足条件的定点，因为直线l不与坐标轴垂直，
故设l的方程为，，.
由消去x整理得，
则即，
且，
因为，所以直线，的斜率为，.
设（为定值），即，
即，
即，
整理得，
所以，
所以.
因为t，为定值，且上式对任意m恒成立，
所以，
解得，.
将代入式解得或且.
综上，存在满足条件的定点.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）分别设第次取出红球、绿球和篮球的概率为：、和，其中，，
由题意知：，，，
若第k次取出红球，且第次取出蓝球的概率为：，
若第k次取出绿球，且第次取出蓝球的概率为：，
若第k次取出蓝球，且第次取出蓝球的概率为：，
所以第次取出蓝球的概率为：，
由于，
可得：，
若设数列，上式即为：，
配凑为：，，其中，
数列是一个以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，即，
即第3次取出的球是蓝球的概率为：.
（2）同上，分别设第次取出红球、绿球和篮球的概率为：、和，其中，，
由题意知：，，，
若第k次取出红球，且第次取出红球的概率为：，
若第k次取出绿球，且第次取出红球的概率为：，
若第k次取出蓝球，且第次取出红球的概率为：，
所以第次取出红球的概率为：，
由于，
可得：，
由已知，记第n次取出的球是红球的概率为，
上式即为，有，，
其中，，
数列是一个以为首项，为公比的等比数列，
则，
的解析式为：.
19．答案：（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当，时成立.
x
2
3
4
5
6
y
3.4
4.2
5.1
5.5
6.8