初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形巩固练习

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形巩固练习，共17页。试卷主要包含了2　特殊的平行四边形等内容，欢迎下载使用。
18.2.3 正方形
基础过关全练
知识点1 正方形的定义及性质
1.(2023四川自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD的两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( )
A.(3,-3) B.(-3,3)
C.(3,3) D.(-3,-3)
2.(2023河南周口期末)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE交对角线AC于点F,连接DF,若∠ABE=25°,则∠EFD的度数为( )
A.40° B.50° C.55° D.65°
3.【教材变式·P67T1(3)】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ABE,连接ED,则∠BED的度数为( )
A.15° B.35°
C.45° D.55°
4.如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD交于点O,E是AC延长线上一点,且CE=CO,连接BE,则BE的长度为( )
A.3 B.102 C.5 D.25
5.(2021湖南邵阳中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.
(1)证明:△ADE≌△CBF;
(2)若AB=42,AE=2,求四边形BEDF的周长.
知识点2 正方形的判定
6.(2021广西玉林中考)如图,一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:
a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.
顺次添加的条件:
①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.
则正确的是( )
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
7.(2023黑龙江龙东地区中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件: ,使得矩形ABCD为正方形.
8.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,
DE∥AC.若AC=2,则点E到边CD的距离为 .
9.(2022湖南邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.
10.(2022广东深圳模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F.
(1)求证:四边形AFDE为正方形;
(2)若AD=22,求四边形AFDE的面积.
能力提升全练
11.(2022山东青岛中考,7,★☆☆)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为( )
A.62 B.6 C.22 D.23
12.(2023山东青岛二十六中期中,6,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③OA=OB;
④AC⊥BD.从所给的四个条件中任意选择两个为一组,能判定▱ABCD是正方形的有( )
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
13.(2022重庆中考A卷,9,★★☆)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )
A.45° B.60° C.67.5° D.77.5°
14.(2021湖南常德中考,7,★★☆)如图,已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,AE与DF交于点P,连接CP,则下列结论成立的是 ( )
A.BE=12AE B.PC=PD
C.∠EAF+∠AFD=90° D.PE=EC
15.(2023重庆中考B卷,9,★★☆)如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,E为正方形内一点,连接BE,BE=BA,连接CE并延长,与∠ABE的平分线交于点F,连接OF,若AB=2,则OF的长度为( )
A.2 B.3 C.1 D.2
16.(2022江苏无锡中考,16,★★☆)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG= .
17.【新考法】(2023天津中考,17,★★★)如图,在边长为3的正方形ABCD的外侧,作等腰三角形ADE,EA=ED=52.
(1)△ADE的面积为 ;
(2)若F为BE的中点,连接AF并延长,交CD于点G,则AG的长为 .
18.(2023广西南宁期末,22,★★☆)如图,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:D是BC的中点.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是正方形?并说明理由.
19.(2023浙江绍兴中考,22,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
20.(2022山东潍坊诸城一模,21,★★☆)如图,E是正方形ABCD的对角线BD上的点,连接AE、CE.
(1)求证:AE=CE;
(2)若将△ABE沿AB翻折得到△ABF,则当点E在BD上的何处时,四边形AFBE是正方形?请证明你的结论.
素养探究全练
21.【几何直观】下图是一张矩形纸片ABCD,按照下面步骤进行折叠:
第一步:如图①,将矩形纸片沿AM折叠,使得点D的对应点N落在AB上,连接MN,然后把纸片展开.
第二步:如图②,将四边形ADMN沿PQ对折,使AD与NM重合.将纸片展开,得到折痕PQ,然后连接NQ.
第三步:如图③,折叠纸片使得NQ落在DC上,折痕为EQ,点N的对应点为F.
(1)求证:四边形ADMN是正方形;
(2)求图③中四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比值.

答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵正方形OBCD的边长为3,
∴DC=BC=3,DC与BC分别垂直于y轴和x轴.
∵点C在第一象限,∴点C的坐标为(3,3).
2.A ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,∠BAD=90°,
在△ABF和△ADF中,AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,
∴△ABF≌△ADF(SAS),∴∠ADF=∠ABE=25°,
∵∠AEB=90°-∠ABF=65°,
∴∠EFD=∠AEB-∠ADF=65°-25°=40°,故选A.
3.C 在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,
在等边△ABE中,AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°,
∴AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°,
∴∠AED=∠ADE=12×(180°-150°)=15°,
∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°.故选C.
4.C ∵正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴OB=OC,OB⊥OC,∴OB2+OC2=BC2,
∵正方形ABCD的边长为2,即BC=2,
∴OB=OC=1(舍负),∵CE=OC,∴OE=2,
∴在Rt△OBE中,BE=12+22=5.故选C.
5.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∠DAE=∠BCF=45°,
在△ADE和△CBF中,AD=CB,∠DAE=∠BCF,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AD=AB=42,∴BD=AB2+AD2=(42)2+(42)2=8,∴AC=BD=8,∴DO=BO=4,OA=OC=4,∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF=4-2=2,∴四边形BEDF为平行四边形.∵∠DOE=90°,∴四边形BEDF是菱形,
∵DE=DO2+EO2=42+22=25,∴4DE=85,∴四边形BEDF的周长为85.
6.C ①由a得,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,添加c得,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,再添加d得,有一个角是直角的菱形是正方形,故①正确;
②由b得,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,添加d得,有一个角是直角的平行四边形是矩形,再添加c得,有一组邻边相等的矩形是正方形,故②正确;
③由a得,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,添加b得,一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形,再添加c得,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,不能得到四边形是正方形,故③不正确.故选C.
7.答案 AB=AD(答案不唯一)
解析 添加AB=AD.(答案不唯一)
理由:∵四边形ABCD是矩形,AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.
8.答案 0.5
解析 如图,连接EO,交CD于H,
∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形,在正方形ABCD中,AC⊥BD,OD=OC,∴∠COD=90°,∴四边形OCED是正方形.
∴EH=12CD,OE⊥CD,∵AC=2,∴AB=BC=CD=1,∴EH=12CD=0.5,即点E到边CD的距离为0.5.
9.证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,∴EF=AC,
∴四边形AECF是正方形.
10.解析 (1)证明:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE是平行四边形.∵AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD,
∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,∴四边形AFDE是菱形.
∵∠BAC=90°,∴四边形AFDE是正方形.
(2)∵四边形AFDE是正方形,∴AF=DF=DE=AE,∠AED=90°,
∴AE2+DE2=AD2,∵AD=22,∴AE=DE=2(舍负),∴四边形AFDE的面积为2×2=4.
能力提升全练
11.B ∵四边形ABCD为正方形,AB=2,∴AC=22,
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形,
∴∠AOE=90°,AE=AC=22,AO=2,
∴OE=AE2-OA2=6.故选B.
12.B ∵AB=BC,∠ABC=90°,∴▱ABCD是正方形,故①②为一组,能判定▱ABCD是正方形;∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形,∵AC⊥BD,
∴矩形ABCD是正方形,故②④为一组,能判定▱ABCD是正方形;在▱ABCD中,AC=2OA,BD=2OB,∵OA=OB,∴AC=BD,
∵AC⊥BD,∴▱ABCD是正方形,故③④为一组,能判定▱ABCD是正方形;∵OA=OB,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,故①③为一组,能判定▱ABCD是正方形.故选B.
13.C ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BA,∠DAF=∠ABE=90°,在△DAF和△ABE中,AD=BA,∠DAF=∠ABE,AF=BE,∴△DAF≌△ABE(SAS),
∴∠ADF=∠BAE,∵AE平分∠BAC,四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,∠ADC=90°,∴∠ADF=22.5°,
∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=90°-22.5°=67.5°,故选C.
14.C ∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,
∴AF=BE,∠DAF=∠ABE=90°,
在△AFD和△BEA中,AF=BE,∠DAF=∠ABE=90°,AD=BA,
∴△AFD≌△BEA(SAS),∴∠FDA=∠EAB.
∵∠FDA+∠AFD=90°,∴∠EAB+∠AFD=90°,
即∠EAF+∠AFD=90°,故C中结论成立,
根据已知条件无法证明A、B、D中结论成立,故选C.
15.D 如图,连接AF,
∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AB=BE=2,∠ABC=90°,
∴∠BEC=∠BCE,AC=AB2+BC2=22,∴∠EBC=180°-2∠BEC,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=2∠BEC-90°,∵BF平分∠ABE,
∴∠ABF=∠EBF=12∠ABE=∠BEC-45°.∴∠BFE=∠BEC-∠EBF=45°,在△BAF与△BEF中,AB=EB,∠ABF=∠EBF,BF=BF,∴△BAF≌△BEF(SAS),
∴∠BFA=∠BFE=45°,∴∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°,
∵O为对角线AC的中点,∴OF=12AC=2,故选D.
16.答案 1
解析 连接AG,EG,如图,易知AG=EG.
∵E是CD的中点,∴DE=CE=4,设CG=x,则BG=8-x,在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8-x)2=42+x2,解得x=7,∴BG=8-7=1.
17.答案 (1)3 (2)13
解析 (1)过E作EM⊥AD于M,如图,
∵EA=ED=52,AD=3,
∴AM=DM=12AD=32,
∴EM=AE2-AM2=2,
∴△ADE的面积为12AD·EM=12×3×2=3.
(2)延长EM交AG于N,交BC于P,过点N作NH⊥DC于H,如图,
∵四边形ABCD是正方形,∴BC∥AD,∴EP⊥BC,
∴四边形ABPM是矩形,∴PM=AB=3,AB∥EP,
∴EP=5,∠ABF=∠NEF,
∵F为BE的中点,∴BF=EF,
在△ABF与△NEF中,∠ABF=∠NEF,BF=EF,∠AFB=∠NFE,
∴△ABF≌△NEF(ASA),∴EN=AB=3,∴MN=1,
∵NH⊥CD,∴∠GHN=∠NMA=90°,NH∥AD,
∴∠GNH=∠NAM,易知四边形MNHD为矩形,
∴NH=DM=AM,∴△GNH≌△NAM,∴AN=NG,
∵AM=MD,∴GD=2MN=2,
∴AG=AD2+GD2=13.
18.解析 (1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,
∵点E为AD的中点,∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD,
∵AF=BD,∴CD=BD,∴D是BC的中点.
(2)当△ABC满足AB=AC,∠BAC=90°时,四边形AFBD是正方形.理由如下:
∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ADB=90°,AD=BD=12BC,∴平行四边形AFBD是正方形.
19.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD,
∵GE⊥CD,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH⊥EF.理由如下:
连接GC交EF于点O,如图,
∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°,
∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,由(1)得∠DAG=
∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
20.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°,
在△ABE和△CBE中,AB=CB,∠ABE=∠CBE,BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE.
(2)点E在BD的中点处时,四边形AFBE是正方形.证明如下:
由翻折得∠F=∠AEB,AF=AE,BF=BE,
∵AB=AD,∠BAD=90°,E是BD的中点,∴AE=12BD=BE=DE,AE⊥BD,
∵BF=BE,AE=AF,∴AE=BE=AF=BF,∴四边形AFBE是菱形,
∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°,∴四边形AFBE是正方形.
素养探究全练
21.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAN=∠D=90°,由折叠可得∠ANM=∠D=90°,AD=AN,∴四边形ADMN是正方形.
(2)∵四边形ADMN为正方形,∴AD=DM=MN,设AD=DM=MN=2a,
∵将正方形ADMN对折后,AD与MN重合,∴DQ=QM=a,在Rt△NQM中,由勾股定理得NQ=QM2+NM2=a2+(2a)2=5a,由折叠可得QF=NQ=5a,易得四边形NQFE为菱形,∵四边形NQFE与四边形ADMN的高都为2a,
∴S四边形NQFE∶S四边形ADMN=QF∶DM=5a∶2a=52.