初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形测试题

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形测试题，共12页。
B.当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
C.当∠AOB=90∘时，四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
2. 如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角再展开，要使展开所得的四边形是正方形，那么剪口（图中虚线）应与折痕成多少度的角( )

A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )

A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当AC=BD时，它是矩形
D.当∠ABC=90∘时，它是正方形

4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，O为AC的中点，连接BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO，连接AD，CD．下列说法错误的是( )

A.四边形ABCD一定是平行四边形
B.四边形ABCD可能是菱形
C.四边形ABCD一定是矩形
D.四边形ABCD一定是正方形

5. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从下列四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )
①AB=BC；②∠ABC=90∘；③AC=BD；④AC⊥BD.
A.选①②B.选①③C.选②③D.选②④
6. 如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（ ）
A.当∠ABC=90∘时，四边形MNPQ为正方形
B.当AC=BD时，四边形MNPQ为菱形
C.当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形
D.四边形MNPQ一定为平行四边形
7. 将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形可以使它的形状改变．当∠B=60∘时，如图(1)，测得AC=2；当∠B=90∘时，如图(2)，此时AC的长为________.
图(1) 图(2)
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，AC=6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为________．

9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件________时，四边形DECF是正方形．

10. 如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB:AD＝________时，四边形MENF是正方形．

11. 点P是四边形ABCD内一点，若PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则给△APB添加一个条件________使四边形EFGH为正方形.


12. 如图，在正方形ABCD的内侧，作等边 △EBC，则∠DAE的度数是________．

13. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接DF.
(1)求证： △CDG≅△FAG；
(2)若∠ABC=45∘，AB=AC，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；
(3)在满足(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？说明理由．

15. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点．
(1)试判定四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)四边形ABCD的对角线满足什么条件，可使四边形EFGH为矩形，说明理由；
(3)四边形ABCD的对角线满足什么条件，可使四边形EFGH为菱形，说明理由；
(4)四边形ABCD的对角线满足什么条件，可使四边形EFGH为正方形，请说明理由．

16. 已知：如图， ▱ABCD中，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE交CD于点O．
(1)求证： CO=DO；
(2)取AB中点F，连接CF， △COE满足什么条件时，四边形AFCO是正方形？请说明理由．

17. 已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF.

18. 综合与实践：
背景阅读：宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等．
实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）：
第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸展平．
第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处．
第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形．
问题解决：
(1)请在图1中证明四边形MNCB是正方形；
(2)若MN=2，请通过计算BEBC来说明矩形BCDE是黄金矩形．

19. 综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠BEC=90∘ ，将Rt△BCE绕点B按逆时针方向旋转90∘ ，得到△BAE′（点C的对应点为点A）．延长CE交AE′于点F，连接DE，AE．试判断四边形BEFE′的形状．
探究展示：
勤奋小组发现四边形BEFE′的形状是正方形，并展示了如下的证明方法：
证明：由旋转可知：
∠E′=∠BEC=90∘ ，∠EBE′=________，
又∵ ∠BEC+∠BEF=180∘ ，∠BEC=90∘，
∴ ∠BEF=90∘，
∴ 四边形BEFE′是矩形（依据1）
由旋转可知，________，
∴ 四边形BEFE′是正方形．（依据2）
图1 图2
解决问题：
(1)请你将上述证明过程补充完整，并写出“依据1”“依据2”分别是指什么？
(2)智慧小组还发现：若AB=10，AF=2 ，还可以求出BE的长度，请你写出求解过程；
(3)创新小组受到智慧小组的启发，继续进行探究，发现：如图2，当DE=DC时，可以求出∠AEF的度数，请你帮创新小组解决这个问题．
参考答案与试题解析
一、 选择题
1.
【答案】
C
2.
【答案】
B
3.
【答案】
D
4.
【答案】
D
5.
【答案】
C
6.
【答案】
A
二、 填空题
7.
【答案】
22
8.
【答案】
3或32
9.
【答案】
AC=BC(或∠A=45​∘)
10.
【答案】
1:2
11.
【答案】
△APB是等腰直角三角形
12.
【答案】
15∘
三、 解答题
13.
【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即BF//CD，
∴∠AFG=∠DCG，∠FAG=∠CDG，
∵G点是AD的中点，
∴AG=DG，
在△AGF和△DGC中，
∠AFG=∠DCG，∠FAG=∠CDG，AG=DG,
∴ △FAG≅△CDG(AAS).
(2)解：四边形ACDF是正方形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD.
又∵ AB=AC,
∴ AC=CD.
由(1)知：△FAG≅△CDG，
∴AF=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即AF//CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
又∵ AC=CD，
∴ 四边形ACDF为菱形.
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45∘，
∴∠BAC=180∘−45∘−45∘=90∘，
∴∠CAF=90∘，
∴四边形ACDF是正方形.
14.
【答案】
(1)证明：∵ DE⊥BC，
∴ ∠DFB=90∘，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACB=∠DFB，
∴ AC//DE，
∵ MN//AB，即CE//AD，
∴ 四边形ADEC是平行四边形，
∴ CE=AD.
(2)解：四边形CDBE是菱形，理由如下：
∵ D为AB中点，
∴ AD=BD，
∵ CE=AD，
∴ BD=CE，
∵ BD//CE，
∴ 四边形CDBE是平行四边形，
∵ ∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴ CD=BD，
∴ 四边形CDBE是菱形.
(3)解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形，理由如下：
∵ ∠ACB=90∘，AC=BC，D为AB的中点，
∴ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90∘，
∴ 四边形CDBE是正方形．
15.
【答案】
解：(1)四边形EFGH是平行四边形，
证明：连接BD，如图，

∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH//BD ，EH=12BD，
同理： FG//BD,FG=12BD ，
∴EH//FG,EH=FG
∴四边形EFGH为平行四边形．
(2)四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形EFGH是矩形；
理由：若BD⊥AC，则EH⊥EF, 平行四边形EFGH是矩形．
(3)四边形ABCD的对角线相等时，四边形EFGH是菱形；
理由：若BD=AC，则EH=EF, 平行四边形EFGH是菱形．
(4)四边形ABCD的对角线相等且互相垂直时，四边形EFGH是正方形．
理由：若BD⊥AC，且BD=AC，则EH⊥EF,EH=EF, 平行四边形EFGH是正方形．
16.
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD//BC，
∴ ∠DAE=∠E，
∵CE=BC，
∴ CE=AD.
又∵ ∠AOD=∠COE，
∴ △AOD≅△EOC(AAS)，
∴ CO=DO.
(2)解：CO=EO，∠COE=90∘ ，四边形AOCF是正方形.
∵ CO=DO，
∴ CO=12CD.
又∵ F是AB的中点，
∴ AF=12AB.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ AF=CO，AF//CO，
∴ 四边形AFCO是平行四边形．
∵ △AOD≅△EOC，
∴ AO=EO．
∵ CO=EO，
∴ AO=CO,
∴ 平行四边形AFCO是菱形．
∵ ∠COE=90∘，
∴ 菱形AFCO是正方形.
17.
【答案】
证明(1)：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC，∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，
∴ ∠DAB+∠ABC=180∘，
∵ ∠DAC=∠DBC，
∴ ∠BAD=∠ABC，
∴ 2∠BAD=180∘，
∴ ∠BAD=90∘，
∴ 四边形ABCD是正方形．
(2)∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，AC=BD，CO=12AC，DO=12BD，
∴ ∠COB=∠DOC=90∘，CO=DO，
∵ DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE=90∘，∠EDH+∠DEH=90∘，
又∵∠ECO+∠DEH=90∘，
∴∠ECO=∠EDH，
∴△ECO≅△FDO(ASA)，
∴OE=OF.
18.
【答案】
解：(1)由矩形性质可知∠BMN=∠N=90∘，
由折叠可知∠MBC=∠N=90∘，MN=MB，
∴ ∠BMN=∠N=∠MBC=90∘，
∴ 四边形MNCB是矩形.
又∵ MN=MB，
∴ 矩形MNCB是正方形．
(2)∵ MN=2，∴ AC=1.
在△ABC中，AB=AC2+BC2=12+22=5.
由折叠知AD=AB=5，
∴ BE=CD=AD−AC=5−1.
又∵ DE=BC=MN=2，
∴ BEBC=5−12．
∴ 矩开BCDE为黄金矩形．
19.
【答案】
解：(1)由旋转可知：∠E′=∠BEC=90∘，∠EBE′=90∘，
又∵∠BEC+∠BEF=180∘，∠BEC=90∘，
∴∠BEF=90∘，
∴四边形BEFE′是矩形.(依据1)
由旋转可知，BE=BE′，
∴四边形BEFE′是正方形.(依据2)
依据1：有三个角是直角的四边形是矩形
依据2：有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)设BE=x，
∵ 四边形BEFE′是正方形，
∴BE′=E′F=BE=x，AE′=AF+E′F=2+x，
在Rt△AE′B中，AE′2+BE′2=AB2，
(2+x)2+x2=102，
解得x1=−8（舍得），x2=6.
∴BE的长为6.
(3)∵AD=DE=DC，
∴∠DAE=∠AED， ∠CED=∠DCE，
∴∠AEC=∠AED+∠CED
=12(180∘−∠ADE)+12(180∘−∠CDE)
=180∘−12(∠ADE+∠CDE)
=180∘−12∠ADC
=180∘−12×90∘
=135∘.
∴∠AEF=180∘−∠AEC=180∘−135∘=45∘.