2024九年级数学下册提练第2招与圆的切线有关的计算与证明的常见类型习题课件新版冀教版

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第2招 与圆的切线有关的计算与证明的常见类型冀教版 九年级下册如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求AC的长；解题秘方：看到切线，就想作过切点的半径；看到直径，就想直径所对的圆周角是直角；看到判定切线，就想：若已知直线与圆有公共点，则采用判定定理法，即连半径，证垂直；解：连接CD，如图．∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10.(2)求证：DE是⊙O的切线．解题秘方：若未知直线与圆有公共点，则采用数量关系法，即作垂直，证半径．1. [2022·泰州] [新考法·构造直角三角形法]如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在优弧AB上，且与点A，B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为________．32°2. [2023·孝感]如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F.(1)求证：AB＝AC；证明：如图，连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE.∵DE⊥AC，∴OD∥AC.∴∠C＝∠ODB.∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)若AE＝3，DE＝6，求AF的长．解：如图，连接DF，DA，∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C. ∴DF＝DC.∵DE⊥CF，∴FE＝EC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°.∵DE⊥AC，∴∠C＋∠CDE＝90°，∠AED＝90°.∴∠C＝∠ADE，∠AED＝∠CDA＝90°.∴△DAE∽△CDE.∴DE：CE＝AE：DE.∵AE＝3，DE＝6，∴6CE＝36.∴CE＝12.∴EF＝EC＝12.∴AF＝EF－AE＝12－3＝9.3. [新考法·方程思想]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.证明：如图，连接OD，CD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直径的长．解：设⊙O的半径长为x，在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3，∴⊙O的直径长为6.4.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；证明：如图，连接OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APC.【点拨】连接OB，根据切线的性质和角平分线的定义可证明；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.【点拨】先证△OBD是等边三角形，再通过计算得 ∠DBP＝∠C，最后根据平行线的判定可证明．5. [2023·北京三帆中学模拟]如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC.以O为圆心，OA为半径作⊙O，OB与⊙O交于点E.(1)求证：BC是⊙O的切线；证明：∵OA＝OC，BA＝BC，OB＝OB，∴△AOB≌△COB(SSS) ，∴∠OAB＝∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，又∵OC为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线． (2) 延长BO交⊙O于点D，点F为OA的中点，连接AD，EF，AC.①补全图形；解：补全图形如图所示． ②若EF∥AB，求证：AD＝AC.∴∠AOC＝120°，∠AOD＝120°.∴∠AOC＝∠AOD.∴AD＝AC.