2023-2024学年江苏省南通市启东市长江中学八年级（下）3月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市启东市长江中学八年级（下）3月月考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是( )
A. 3，4，5B. 6，8，11C. 1，2， 2D. 5，12，15
2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对边平行D. 对角相等
3.下列命题正确的是．( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
4.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，BF平分∠ABC，交CD边于F，AD=8，AB=10，则EF的长为( )
A. 2B. 4C. 5D. 6
5.如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC=8cm，宽AB=6cm，那么折叠后重合部分的面积是
( )
A. 48cm2B. 24cm2C. 18.75cm2D. 18cm2
6.在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD=120°.若AB=3，则BC的长为
( )
A. 3B. 3C. 3 3D. 6
7.有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB.请同学们计算一下这块草坪的面积
( )
A. 24m2B. 36m2C. 48m2D. 60m2
8.如图、在Rt▵ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3.若S1+S2−S3=18.则图中阴影部分的面积为
( )
A. 6B. 92C. 5D. 72
9.如图，∠MON=90∘，长方形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为
( )
A. 2+1B. 5+2C. 1455D. 2
10.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
(1)AE=BF；(2)AE⊥BF；(3)AO=OE；(4)SΔAOB=S四边形DEOF中正确的有
( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在▱ABCD中，AB:BC=3:5，它的周长是32，则BC= ．
12.已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为 ．
13.如图，已知Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CD=3cm，则AB= cm．
14.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC，则∠DAE的度数为 ．
15.如图，矩形ABCD 的 对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB=6，BC=8，则AE= ．
16.如图，在菱形ABCD中，∠B=45∘，BC= 2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．
17.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6cm，BC=12cm，点E为BC上一点，EC=7，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是 ．
18.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=8，E，F分别是边BC和对角线BD上的点，且BE=DF，则AE+AF的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，▱ABCD 的 对角线AC,BD相交于点O，点E，F分别是线段AO,BO的中点，若AC+BD=24cm，▵OAB的周长是18cm，求线段EF的长度．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，AD是BC边上的中线，且AD=4，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE．
(1)求证：△AEC是直角三角形．
(2)求BC边的长．
21.(本小题8分)
如图，在▵OAB中，∠1=∠2.延长AO至点C，且AO=CO，延长BO至点D，且BO=DO，顺次连接BC,CD,DA得到四边形ABCD．
(1)补全图形；
(2)所得四边形ABCD为____(从①矩形；②菱形；③正方形中选择，只填写序号即可)，请说明理由．
22.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB=4，AD=8，求MD的长．
23.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE=CD，连接AE，OE．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)若AD=DE=4，求OE的长．
24.(本小题8分)
一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
25.(本小题8分)
小明在学完了平行四边形这个章节后，想对“四边形的 不稳定性”和“四边形的判定”有更好的理解，做了如下的探究：他将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形ABCD和平行四边形HEFG(如图1)，且BC，EF在一条直线上，点D落在边HE上．经小明测量，发现此时B、D、G三个点在一条直线上，∠F=67.5∘，DG=2．
(1)求HG的长度；
(2)设BC的长度为a，CE=________(用含a的代数式表示)；
(3)小明接着探究，在保证BC，EF位置不变的前提条件下，从点A向右推动正方形，直到四边形EFGH刚好变为矩形时停止推动(如图2).若此时DE2=8( 2−1)，求BF的长度．
26.(本小题8分)
已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点(不与C，D重合).连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
(1)若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH=∠DCH；
②猜想：△GFC的形状并说明理由．
(2)取DF中点M，连接MG.若MG=2.5，正方形边长为4，求BE 的 长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵32+42=52，∴能作为直角三角形三条边；
B、∵62+82≠112，∴不能作为直角三角形三条边；
C、∵12+( 2)2≠22，∴不能作为直角三角形三条边；
D、∵52+122≠152，∴不能作为直角三角形三条边．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解此题的关键．
【详解】解：矩形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分且相等；四个角都相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角相等；
故矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【详解】A、一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识先由平行四边形的性质得AB//CD，CD=AB=10，再证DE=AD=8，同理可得：CF=BC=8，即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，CD=AB=10，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=8，
同理可得：CF=BC=8，
∴EF=DE+CF−DC=8+8−10=6，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】由矩形的性质易得DE=BE，那么可用DE表示出C′E，利用Rt▵C′DE的三边关系即可求得DE长，然后三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//CB，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠C′BD=∠DBC
∴∠ADB=∠EBD，
∴DE=BE，
∴C′E=8−DE，
∵C′D=AB=6，
∴62+8−DE2=DE2，
∴DE=254，
∴S▵BDE=12DE×CD=18.75cm2．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长，本题得以解决．
【详解】解：∵∠AOD=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC，∠ABC=90°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OC，
∵AB=3，
∴AC=6，
∴BC= 62−32=3 3，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．正确做出辅助线、构造直角三角形是解题的关键数．
如图：连接AC，根据勾股定理可求得AC，再根据勾股定理的逆定理判定▵ACD是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答．
【详解】解：连接AC，如图，
∵AB⊥CB，
∴∠ABC=90∘，
∵AB=3米，BC=4米，
∴AC=5米，
∵AD=12米，CD=13米，
∴AC2+AD2=CD2，
∴▵ACD为直角三角形，
∴这块草坪的面积=S▵ABC+S▵ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36m2．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出S2−S3=S1是解题的关键．由勾股定理得出S2−S3=S1，再根据S1+S2−S3=18可得出S1的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：BC2−AC2=AB2，
即S2−S3=S1，
∵S1+S2−S3=18，
∴S1=9，
由图形可知，阴影部分的面积为12S1，
∴阴影部分的面积为92，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=4，BC=1，
∴OE=AE=12AB=2，
DE= AD2+AE2= 22+12= 5
∴OD的最大值为： 5+2．
故选B．

10.【答案】B
【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE>BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF−S△AOF=S△DAE−S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
AB=DA∠BAD=∠ADEAF=DE
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以(1)正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以(2)正确；
连接BE，
∵BE>BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以(3)错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF−S△AOF=S△DAE−S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以(4)正确．
故选：B．
11.【答案】10
【解析】【分析】设AB=3x,BC=5x，然后根据周长等于32列方程．
【详解】解：设AB=3x,BC=5x
由题意得，23x+5x=32解得x=2
所以BC=10．
故答案为10．
12.【答案】6
【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，
∴菱形的面积为12×3×4=6
故答案为：6
13.【答案】6
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半进行求解即可．
【详解】解：∵Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CD=3cm，
∴AB=2CD=6cm，
故答案为：6．
14.【答案】22.5°
【解析】【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE，继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC的度数，进一步即可求得∠DAE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45∘，
∴∠ACE=180∘−45∘=135∘，
又∵AC=CE，
∴∠CAE=∠CEA=12×180∘−135∘=22.5∘，
则∠DAE=∠DAC−∠CAE=45∘−22.5∘=22.5∘．
故答案为：22.5°
15.【答案】254
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．连接CE，由矩形的性质可得∠CDE=90∘，AD=BC=8，AB=DC=6，AO=OC，由OE⊥AC，AO=OC，可知OE垂直平分AC，则可得AE=CE；设DE=x，则AE=CE=8−x，在Rt△CDE中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．
【详解】解：连接CE，如图：
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴∠CDE=90∘，AD=BC=8，AB=DC=6，AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
设DE=x，则AE=CE=8−x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2=CE2，
∴x2+62=8−x2，
解得：x=254．
故答案为：254．
16.【答案】12
【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识．连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【详解】连接AF，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC= 2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是▵AEF的中位线，
∴GH=12AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB=90∘，
∵∠B=45∘，
∴▵ABF是等腰直角三角形，
∴AF= 22AB= 22× 2=1，
∴GH=12，
即GH的最小值为12，
故答案为：12．
17.【答案】73
【解析】【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：①当点Q在线段CE上，AP=QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=7−2t，解得t=73；
②当Q在线段BE上，AP=QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=2t−7，解得t=7>6(不合题意舍去)，
综上所述，t=73时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：73．
18.【答案】8 2
【解析】【分析】如图，BC的下方作∠CBT=30∘，使得BT=AD，连接ET，AT.证明ΔADF≅ΔTBESAS，推出AF=ET，AE+AF=AE+ET，根据AE+ET≥AT求解即可．
【详解】解：如图，BC的下方作∠CBT=30∘，使得BT=AD，连接ET，AT．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴∠ADC=∠ABC=60∘，∠ADF=12∠ADC=30∘，
∵AD=BT，∠ADF=∠TBE=30∘，DF=BE，
∴ΔADF≅ΔTBESAS，
∴AF=ET，
，AB=AD=BT=2，
∴AT= AB2+BT2= 82+82=8 2，
∴AE+AF=AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥8 2，
∴AE+AF的最小值为8 2，
故答案为8 2．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD．
∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12厘米．
∵▵OAB的周长是18厘米，
∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO,BO的中点，
∴EF是▵OAB的中位线．
∴EF=12AB=3厘米．

【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形的中位线的性质成为解题的关键．
根据平行四边形的性质可得OA=OC,OB=OD，进而得到OA+OB=12，再根据三角形的周长可得AB=6厘米，最后根据三角形中位线的性质即可解答．
20.【答案】(1)∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
又∵DE=AD，∠ADB=∠CDE
∴△ABD≌△ECD，
∴EC=AB=6，
∵AE=8，AC=10
∴△AEC中，AE2+EC2=AC2
∴△AEC是直角三角形．
(2)在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2=62+42=52
∴CD=2 13
∴BC=2CD=4 13．

【解析】【分析】(1)首先证明△ABD≌△ECD，推出EC=AB=6，由AE2+EC2=AC2，推出△AEC是直角三角形．
(2)在Rt△CDE中，求出CD，根据BC=2CD即可解决问题．
21.【答案】解：(1)
如图，四边形ABCD即为所求．
(2)
结论：四边形ABCD是矩形．
理由：∵∠1=∠2，
∴OA=OB，
∵OA=OC,OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=2OA,BD=2OB,OA=OB，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

【解析】【分析】本题考查了矩形的判定；
(1)根据题意作图即可；
(2)根据矩形的判定即可得到四边形ABCD是矩形．
22.【答案】解：(1)
∵四边形ABCD是矩形
∴AD//BC，∠A=90∘，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在▵DMO和▵BNO中
∠MDO=∠NBOBO=DO∠MOD=∠NOB
∴▵DMO≌▵BNO(ASA)，
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
(2)
∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=(8−x)2+42，
解得：x=5，
答：MD长为 5．

【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定，以及勾股定理的应用和矩形的性质．
(1)根据矩形性质求出AD/​/BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证▵DMO≌▵BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
(2)根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，即可列方程求得．
23.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AB//CD,AB=CD
∴AB//DE
又∵DE=CD
∴AB=DE
∴四边形ABDE为平行四边形
(2)∵AD=DE=4，DE=CD
∴▵ADE为等腰直角三角形，AD=CD=4
∴四边形ABCD为正方形
∴AO=12AC，∠OAD=∠DAE=45∘
∴∠OAE=90∘
∴AC=AE= AD2+DE2= 42+42=4 2
∴AO=12AC=2 2
∴OE= AE2+OA2= 32+8=2 10

【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可以得到AB//CD,AB=CD，从而得到AB//DE,AB=DE，所以四边形ABDE为平行四边形；
(2)由AD=DE得到四边形ABCD为正方形，▵ADE为等腰直角三角形，从而得到∠OAE=90∘，由勾股定理可以求得OE．
24.【答案】解：(1)
如图：
作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90∘
∴∠AOE=∠OBF
在▵AOE和▵OBF中，∠OEA=∠BFO∠AOE=∠OBFOA=OB,
∴▵AOE≅▵OBFAAS，
∴OE=BF，AE=OF
即OE+OF=AE+BF=CD=17m
∵EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7m，
∴2EO+EF=17，
则2×EO=10，
所以OE=5m，OF=12m，
所以OM=OF+FM=15m
(2)
由勾股定理得OB=OA=ON= OF2+BF2=13，
∴MN=15−13=2m．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．

【解析】【分析】(1)作AE⊥OM，BF⊥OM，可证ΔAOE≅ΔBFO，可得AE=OF，OE=BF，则AE−BF=EF=7，且AE+BF=17可求AE=OF=12，OE=BF=5，即可求OM的长．
(2)根据勾股定理可求OA=OB=ON=13，即可求MN的长．
25.【答案】(1)解：∵正方形ABCD，
∴∠CBD=45∘,
∵▱HEFG, ∠F=67.5∘，
∴HG//EF, ∴ ∠H=67.5∘，
∴∠HGD=∠DBC=45∘,
∴∠GDH=67.5∘=∠GHD,
∴ΔHDG为等腰三角形
∴HG=DG=2

(2)如图，作∠KEC=45∘,K在CD上，
则CE=CK,
∵ 平行四边形HEFG,
∴HE//GF,
∴∠F=∠DEC=67.5∘,

∴KD=KE,
设CE=x,
∴CK=x,EK=DK= 2x,
∴x+ 2x=a,
∴x=a1+ 2=( 2−1)a.
故答案为：( 2−1)a.
(3)由于在推动过程中CD的长度保持不变，
∴CD=a
∴RtΔCDE中，由勾股定理可得
DE2=CD2−CE2
∴8( 2−1)=a2−( 2−1)2a2
a2=4，又a>0，∴a=2，
∴BC=2,CE2=CD2−DE2=4(3−2 2)=2( 2−1)2,
∴CE=2 2−2, (负根舍去)
∴BF=BC+CE+EF=2 2+2.．

【解析】【分析】(1)利用正方形与平行四边形的性质证明ΔHDG为等腰三角形可得答案，
(2)作∠KEC=45∘,K在CD上，利用等腰直角三角形的性质可得答案，
(3)利用勾股定理求解a，进而求解CE,从而可得答案．
26.【答案】(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADH和△CDH中，AD=CD∠ADH=∠CDHDH=DH,
∴△ADH≌△CDH，
∴∠DAH=∠DCH．
②△GFC是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，CG⊥HC，
∴∠ADF=∠HCG=90°，
∴∠DAH+∠AFD=DCH+∠DCG=90°，
∵∠DAH=∠DCH，∠HFD=∠CFG，
∴∠CFG=∠GCF，
∴CF=CG，
∴△GFC是等腰三角形．
(2)如图，当点F在线段CD上时，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CEF+∠CFG=90°，∠GCE+∠GCF=90°，
∵∠CFG=∠GCF，
∴∠CEF=∠GCE，
∴CG=EG，
∵CG=FG，
∴FG=EG，
∵点M是DF的中点，
∴GM是△DFE的 中位线，
∵GM=2.5，
∴DE=2GM=5，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CE= DE2−CD2= 52−42=3，
∴BE=BC+CE=4+3=7．
如图，当点F在DC的延长线上时，连接DE，
同理可得：MG为△DFE的中位线，
∴DE=2GM=5，
∴CE= DE2−CD2=3，
∴BE=BC−CE=4−3=1，
综上所述：BE的长为1或7．

【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADH=∠CDH，利用SAS可证明△ADH≌△CDH，即可得∠DAH=∠DCH；
②由正方形的性质可得∠DAH+∠AFD=90°，由CG⊥HC可得∠DCH+∠FCG=90°，根据∠AFD=∠CFG，可得∠CFG=∠FCG，即可证明CG=FG，可得△GFC是等腰三角形；
(2)当点F在线段CD上时，连接DE，根据正方形的性质及角的和差关系可得∠E=∠GCE，即可证明CG=EG，由△GFC是等腰三角形可得CG=GF，可得点G为EF中点，即可证明GM是△FDE的中位线，根据中位线的性质可求出DE的长，利用勾股定理可求出CE的长，进而根据BE=BC+CE即可求出BE的长；当点F在DC延长线上时，连接DE，同理可得MG为△FDE的中位线，可求出DE的长，利用勾股定理可求出CE的长，根据BE=BC−CE即可求出BE的长．